Uendeligt små og uendelige store

Uendeligt lille - en numerisk funktion eller sekvens, der har tendens til ( hvis grænse er lig) nul .

Uendeligt stor - en numerisk funktion eller sekvens, der har tendens til (hvis grænsen er) uendeligheden af et bestemt tegn.

I ikke- standardanalyse defineres infinitesimals og infinitesimals ikke som sekvenser eller variabler, men som en speciel slags tal.

Calculus of infinitesimals og larges

Infinitesimalregning - beregninger udført med infinitesimale størrelser, hvor det afledte resultat betragtes som en uendelig sum af infinitesimaler. Infinitesimalregningen er et generelt begreb for differential- og integralregning , som danner grundlaget for moderne højere matematik . Begrebet en uendelig størrelse er tæt forbundet med begrebet en grænse.

Uendeligt lille

En sekvens kaldes infinitesimal hvis . For eksempel er en talfølge uendelig lille. $a_n$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ $a_{n}={\dfrac {1}{n}}$

En funktion kaldes infinitesimal i et område af et punkt, hvis . $x_{0}$ $\lim \limits _{{x\to x_{0}}}f(x)=0$

En funktion siges at være infinitesimal ved uendelig , hvis enten . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=0$ $\lim \limits _{{x\til -\infty }}f(x)=0$

Også uendeligt lille er en funktion, der er forskellen mellem en funktion og dens grænse, altså hvis , så , . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=a$ $f(x)-a=\alfa (x)$ $\lim \limits _{{x\to +\infty }}(f(x)-a)=0$

Vi understreger, at en infinitesimal værdi skal forstås som en variabel værdi (funktion), der kun i processen med sin ændring [når man stræber efter (fra )] bliver mindre end et vilkårligt tal ( ). Derfor er for eksempel et udsagn som "en milliontedel er en uendelig lille værdi" ikke sandt: Det giver ingen mening at sige om et tal [absolut værdi], at det er uendeligt lille. [en] $x$ $-en$ $\lim \limits _{{x\to a}}f(x)=0$ $\varepsilon$

Uendeligt stor

I alle nedenstående formler indebærer uendelighed til højre for lighed et bestemt tegn (enten "plus" eller "minus"). Det vil sige, at for eksempel en funktion , der er ubegrænset på begge sider, ikke er uendelig stor for . $x\sin x$ $x\til +\infty$

En sekvens kaldes uendeligt stor , hvis . $a_n$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty$

En funktion siges at være uendelig stor i et kvarter af punktet hvis . $x_{0}$ $\lim \limits _{{x\to x_{0}}}f(x)=\infty$

Funktionen siges at være uendelig stor ved uendelig , hvis enten . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=\infty$ $\lim \limits _{{x\to -\infty }}f(x)=\infty$

Ligesom i tilfældet med infinitesimals, skal det bemærkes, at ingen enkelt værdi af en uendelig stor mængde kan kaldes "uendelig stor" - en uendelig stor mængde er en funktion , der kun kan blive større end et vilkårligt taget tal i processen med dets ændre sig .

Egenskaber for infinitesimals

Den algebraiske sum af et endeligt antal uendeligt små funktioner er en uendeligt lille funktion.
Produktet af infinitesimals er uendeligt.
Produktet af en infinitesimal sekvens med en afgrænset en er infinitesimal. Som en konsekvens er produktet af en infinitesimal med en konstant infinitesimal.
Hvis er en infinitesimal tegnbevarende sekvens, så er en uendelig stor sekvens. $a_n$ $b_{n}={\dfrac {1}{a_{n}}}$

Sammenligning af infinitesimals

Definitioner

Antag, at vi har infinitesimal for den samme værdi og (eller, hvilket ikke er vigtigt for definitionen, infinitesimal sekvenser). $x\ til a$ $\alfa(x)$ $\beta(x)$

Hvis , så er en uendelig højere størrelsesorden af lillehed end . Udpeg eller . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0$ $\beta$ $\alfa$ $\beta =o(\alpha )$ $\beta\prec\alpha$
Hvis , Så er en infinitesimal af en lavere størrelsesorden af mindre end . Følgelig eller . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty$ $\beta$ $\alfa$ $\alpha =o(\beta )$ $\alpha\prec\beta$
Hvis (grænsen er endelig og ikke lig med 0), så er og uendelige små mængder af samme størrelsesorden . Dette betegnes som eller som samtidig udførelse af relationer og . Det skal bemærkes, at man i nogle kilder kan støde på en betegnelse, når ensartetheden af ordrer er skrevet i form af kun én relation "big o", som er en fri brug af dette symbol. $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c$ $\alfa$ $\beta$ $\alfa\asymp\beta$ $\beta =O(\alpha )$ $\alpha =O(\beta )$
Hvis (grænsen er finit og ikke lig med 0), så har en infinitesimal størrelse th orden af lillehed i forhold til en infinitesimal . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c$ $\beta$ $m$ $\alfa$

For at beregne sådanne grænser er det praktisk at bruge L'Hospitals regel .

Sammenligningseksempler

For , værdien har den højeste orden af lillehed med hensyn til , siden . På den anden side har den laveste størrelsesorden med hensyn til , siden . ${x\til 0}$ $x^{5}$ $x^{3}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0$ $x^{3}$ $x^{5}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty$

Ved hjælp af O -symboler kan de opnåede resultater skrives i følgende form .

x^{5}=o(x^{3})

$\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{2}+6x}{x}}=\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x+6 }{1}}=\lim \limits _{{x\to 0}}(2x+6)=6,$ det vil sige for funktioner og er uendelige små mængder af samme orden. $x\ til 0$ $f(x)=2x^{2}+6x$ $g(x)=x$

I dette tilfælde vil indtastningerne og

2x^{2}+6x=O(x)

x=O(2x^{2}+6x).

Ved , en infinitesimal mængde har en tredje orden af lillehed med hensyn til , da , infinitesimal er af anden orden, infinitesimal er af størrelsesordenen 0,5. ${x\til 0}$ $2x^{3}$ $x$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{3}}{x^{3}}}=2$ $0{,}7x^{2}$ $\sqrt{x}$

Tilsvarende værdier

Definition

Hvis , så uendeligt store eller uendeligt store mængder og kaldes ækvivalente (betegnet som ). $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=1$ $\alfa$ $\beta$ $\alpha \thicksim \beta$

Det er klart, at ækvivalente mængder er et specialtilfælde af uendeligt små (uendeligt store) mængder af samme størrelsesorden.

For gælder følgende ækvivalensrelationer (som en konsekvens af de såkaldte bemærkelsesværdige grænser ): $\alpha (x){\xhøjrepil[ {x\til x_{0}}]{}}0$

$\sin \alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
${\mathrm {tg}}\,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
$\arcsin {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x);$
${\frac {\pi }{2}}-\arccos {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x)$
${\mathrm {arctg}}\,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
$\log _{a}(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)\cdot {\frac {1}{\ln {a))}$ , hvor , ; $a>0$ $a\neq 1$
$\ln(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x);$
$a^{{\alpha (x)}}-1\thicksim \alpha (x)\cdot \ln {a}$ , hvor ; $a>0$
$e^{{\alpha (x)}}-1\thicksim \alpha (x);$
$1-\cos {\alpha (x)}\thicksim {\frac {\alpha ^{2}(x)}{2));$
$(1+\alpha (x))^{\mu }-1\thicksim \mu \cdot \alpha (x),\quad \mu \in \mathbb{R}$ , så brug udtrykket:

{\sqrt[ {n}]{1+\alpha (x)))\ca. {\frac {\alpha (x)}{n))+1

, hvor .

\alpha (x){\xhøjrepil[ {x\til x_{0}}]{}}0

Sætning

Grænsen for kvotienten (forholdet) af to infinitesimale eller uendeligt store mængder ændres ikke, hvis en af dem (eller begge) erstattes af en ækvivalent værdi .

Denne sætning er af praktisk betydning for at finde grænser (se eksempel).

Eksempler på brug

Finde $\lim \limits _{{x\til 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}.$

Udskiftning med den tilsvarende værdi opnår vi

\sin 2x

2x

\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}=\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x}{x}}= 2.

Finde $\lim \limits _{{x\to {\frac {\pi }{2)))){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x)).$

Siden når vi får

\sin(4\cos x)\thicksim {4\cos x}

x\to {\dfrac {\pi }{2}}

\lim \limits _{{x\to {\frac {\pi }{2)))){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x))=\lim \limits _{{ x\to {\frac {\pi }{2}}}}{\dfrac {4\cos x}{\cos x}}=4.

Beregn . ${\sqrt {1{,}2}}$

Ved at bruge formlen :, mens vi brugte en lommeregner (mere nøjagtige beregninger), fik vi:, således var fejlen 0,005 (mindre end 1%), det vil sige, at metoden er nyttig på grund af dens enkelhed med et groft estimat af aritmetik rødder tæt på én.

{\sqrt {1{,}2}}\ca. 1+{\frac {0{,}2}{2}}=1{,}1

{\sqrt {1{,}2}}\ca. 1{,}095

Historie

Begrebet "uendeligt lille" blev diskuteret i oldtiden i forbindelse med begrebet udelelige atomer, men kom ikke ind i den klassiske matematik. Den blev genoplivet igen med fremkomsten i det 16. århundrede af "metoden af udelelige" - opdelingen af den undersøgte figur i uendelige små sektioner.

Algebraiseringen af infinitesimalregningen fandt sted i det 17. århundrede. De begyndte at blive defineret som numeriske værdier, der er mindre end enhver endelig (positiv) værdi og alligevel ikke lig med nul. Analysekunsten bestod i at tegne en relation indeholdende infinitesimals ( differentialer ) og derefter integrere den .

Begrebet infinitesimals blev stærkt kritiseret af old school matematikere . Michel Rolle skrev, at den nye beregning er " et sæt geniale fejl "; Voltaire påpegede giftigt, at denne calculus er kunsten at beregne og nøjagtigt måle ting, hvis eksistens ikke kan bevises. Selv Huygens indrømmede, at han ikke forstod betydningen af højere ordens differentialer .

Tvisterne i Paris Academy of Sciences om spørgsmålene om retfærdiggørelse af analyser blev så skandaløse, at Akademiet engang forbød sine medlemmer overhovedet at tale om dette emne (dette vedrørte hovedsageligt Rolle og Varignon). I 1706 trak Rolle offentligt sine indsigelser tilbage, men diskussionerne fortsatte.

I 1734 udgav den berømte engelske filosof, biskop George Berkeley , en opsigtsvækkende pamflet, kendt under den forkortede titel "The Analyst ". Dens fulde titel er: " Analytiker eller ræsonnement henvendt til en vantro matematiker, hvor det undersøges, om emnet, principperne og konklusionerne af moderne analyse er klarere opfattet eller tydeligere udledt end de religiøse sakramenter og trosartikler ." Analytikeren indeholdt en vittig og i mange henseender retfærdig kritik af infinitesimalregningen. Berkeley anså analysemetoden for at være inkonsistent med logik og skrev, at " hvor nyttig den end måtte være, kan den kun betragtes som en slags formodning; fingerfærdighed, kunst eller rettere underfund, men ikke som en metode til videnskabeligt bevis .” Ved at citere Newtons sætning om stigningen af nuværende mængder "i begyndelsen af deres fødsel eller forsvinden", Berkeley ironisk nok: " disse er hverken endelige mængder eller uendelige små eller endda ingenting. Kunne vi ikke kalde dem fantomer af døde størrelser?.. Og hvordan kan man tale om et forhold mellem ting, der ikke har nogen størrelse?.. Den, der kan fordøje den anden eller tredje flux [afledte], den anden eller tredje forskel, bør ikke , som det forekommer mig, at finde fejl ved noget i teologien .

Det er umuligt, skriver Berkeley, at forestille sig øjeblikkelig hastighed, det vil sige hastighed i et givet øjeblik og på et givet punkt, fordi begrebet bevægelse omfatter begreber om (endelig ikke-nul) rum og tid.

Hvordan får analysen de rigtige resultater? Berkeley kom til den konklusion, at dette skyldes tilstedeværelsen af flere fejl i de analytiske konklusioner af gensidig kompensation, og illustrerede dette med eksemplet med en parabel. Ironisk nok var nogle store matematikere (såsom Lagrange ) enige med ham.

Der var en paradoksal situation, hvor rigor og frugtbarhed i matematik forstyrrede hinanden. På trods af brugen af ulovlige handlinger med dårligt definerede begreber, var antallet af direkte fejl overraskende lille - intuitionen hjalp. Og alligevel udviklede den matematiske analyse sig hurtigt gennem det 18. århundrede uden i det væsentlige nogen begrundelse. Dens effektivitet var fantastisk og talte for sig selv, men betydningen af forskellen var stadig uklar. Den uendelige stigning af en funktion og dens lineære del blev især ofte forvekslet.

Igennem det 18. århundrede blev der gjort en enorm indsats for at rette op på situationen, og århundredets bedste matematikere deltog i dem, men kun Cauchy var i stand til på overbevisende måde at bygge analysens fundament i begyndelsen af det 19. århundrede. Han definerede strengt de grundlæggende begreber – grænse, konvergens, kontinuitet, differential osv., hvorefter de egentlige infinitesimaler forsvandt fra videnskaben. Nogle resterende finesser blev forklaret senere af Weierstrass . På nuværende tidspunkt er begrebet "uendeligt lille" i matematik i langt de fleste tilfælde ikke relateret til tal, men til funktioner og sekvenser .

Som skæbnens ironi kan man betragte fremkomsten i midten af det 20. århundrede af ikke-standardanalyse , som beviste, at det oprindelige synspunkt - de faktiske infinitesimals - også er konsistent og kunne være grundlaget for analysen. Med fremkomsten af ikke-standardanalyse blev det klart, hvorfor matematikere fra det 18. århundrede, der udførte handlinger, der var ulovlige fra den klassiske teoris synspunkt, alligevel fik korrekte resultater.

Se også

Noter

↑ Uendeligt små og uendeligt store mængder // Håndbog i matematik (til mellemskole) / Tsypkin A. G., red. Stepanova S. A. - 3. udg. — M.: Nauka, Ch. udgave af Phys.-Math. Litteratur, 1983. - S. 337-340. - 480 s.

Litteratur

Uendeligt små og uendelige store mængder // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.