Produktregel

Produktreglen eller Leibniz- identiteten er en karakteristisk egenskab for differentielle operatører .

\delta (f\ gange g)=(\delta f)\ gange g+f\ gange (\delta g).

Ofte indgår Leibniz-identiteten som et aksiom i definitionen af differentiering.

Eksempler

For afledt $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$
Til differential $d(f\cdot g)=(df)\cdot g+f\cdot (dg)$

Variationer og generaliseringer

Multiple afledt

For den -te afledte er der en generaliseret Leibniz-formel : $n$

\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{ (nk)}}g^{{(k)}}},

hvor er binomiale koefficienter .

C_{n}^{k}

Graderet algebra

En operation på en graderet algebra opfylder den graderede Leibniz-identitet , hvis for nogen , ${\displaystyle \delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\to \oplus _{k}\Omega ^{k+l))$ ${\displaystyle \Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k))$ ${\displaystyle K\in \Omega ^{k))$ $F\in \Omega$

\delta _{l}(K\kile F)=\delta _{l}(K)\kile F+(-1)^{kl}K\kile \delta _{l}(F)

hvor er multiplikationen i . De fleste afledninger på differentialformers algebra opfylder denne identitet. $\kile$ $\Omega$

Associativ algebra

Følgende identitet er sand i associativ algebra : Denne identitet er Leibniz-reglen for en operator. Af denne grund kaldes en operator en iboende afledning i algebra. Operatøren har en lignende egenskab $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C].$ $D_{A}=[A,\cdot ].$ $D_{A}$ ${\tilde D}_{A}=[\cdot ,A].$

Følgelig, $[A,B_{1}B_{2}\dots B_{n}]=[A,B_{1}]B_{2}\dots B_{n}+B_{1}[A,B_{ 2}]\dots B_{n}+\dots +B_{1}B_{2}\dots [A,B_{n}].$

Se også

Multiplikationsregel (kombinatorik)