Vektor rum

Vektorrum ( lineært rum ) er en matematisk struktur , som er et sæt af elementer, kaldet vektorer , for hvilke operationerne med addition med hinanden og multiplikation med et tal - en skalar [1] er defineret . Disse operationer er underlagt otte aksiomer . Skalarer kan være elementer i et reelt , komplekst eller et hvilket som helst andet talfelt . Et særligt tilfælde af et sådant rum er det sædvanlige tredimensionelle euklidiske rum , hvis vektorer for eksempel bruges til at repræsentere fysiske kræfter. I dette tilfælde skal vektoren som et element i vektorrummet ikke specificeres som et rettet segment. Generaliseringen af begrebet "vektor" til et element i et vektorrum af enhver art forårsager ikke blot ikke forvirring af termer, men giver os også mulighed for at forstå eller endda forudse en række resultater, der er gyldige for rum af vilkårlig natur [ 2] .

Vektorrum er genstand for undersøgelse i lineær algebra . Et af de vigtigste kendetegn ved et vektorrum er dets dimension. Dimension er det maksimale antal lineært uafhængige elementer i rummet, det vil sige, at ty til en groft geometrisk fortolkning, antallet af retninger, der ikke kan udtrykkes gennem hinanden ved hjælp af kun addition og multiplikation med en skalar. Vektorrummet kan udstyres med yderligere strukturer, såsom normen eller prikproduktet . Sådanne rum optræder naturligt i calculus , overvejende i form af uendelig-dimensionelle funktionsrum hvor vektorerne funktioner Mange problemer i analyse kræver at finde ud af, om en sekvens af vektorer konvergerer til en given vektor. Overvejelse af sådanne spørgsmål er mulig i vektorrum med en ekstra struktur, i de fleste tilfælde - en passende topologi , som giver os mulighed for at definere begreberne nærhed og kontinuitet . Sådanne topologiske vektorrum , især Banach- og Hilbert-rum , giver mulighed for dybere studier.

De første værker, der forudså indførelsen af konceptet med et vektorrum, dateres tilbage til det 17. århundrede . Det var dengang, at analytisk geometri , læren om matricer , systemer af lineære ligninger og euklidiske vektorer modtog deres udvikling .

Definition

Lineær , eller vektor , rum over et felt er en ordnet firdobbelt , hvor $V(F)$ $F$ $(V,F,+,\cdot )$

$V$ er et ikke- tomt sæt af elementer af vilkårlig natur, som kaldes vektorer .
$F$ er et felt, hvis elementer kaldes skalarer .
Operationen af vektoraddition er defineret , som forbinder hvert par af elementer i mængden med et enkelt element i mængden , kaldet deres sum og betegnet med . $V\ gange V\til V$ $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ $V$ $V$ $\mathbf {x} +\mathbf {y}$
Funktionen af multiplikation af vektorer med skalarer er defineret , som forbinder hvert element i feltet og hvert element i mængden med et enkelt element i mængden , betegnet med eller . $F\ gange V\ til V$ $\lambda$ $F$ $\mathbf {x}$ $V$ $V$ $\lambda \cdot \mathbf {x}$ $\lambda \mathbf {x}$

De givne operationer skal opfylde følgende aksiomer - aksiomerne for et lineært (vektor) rum:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ for enhver ( kommutativitet af tilføjelse ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ for enhver ( associativitet af tilføjelse ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$
der er et sådant element , der for enhver ( eksistensen af et neutralt element med hensyn til addition ), kaldet nulvektoren , eller blot nul , mellemrum ; $\mathbf {0} \i V$ $\mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {0} +\mathbf {x} =\mathbf {x}$ $\mathbf {x} \i V$ $V$
for enhver er der et sådant element , der kaldes vektoren modsat vektoren ; $\mathbf {x} \i V$ $-\mathbf {x} \i V$ $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ $\mathbf {x}$
$\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x}$ ( associativitet af multiplikation med en skalar );
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ( unitarity: multiplikation med et neutralt (ved multiplikation) element i et felt bevarer en vektor $F$ ).
$(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ ( distributivitet af multiplikation af en vektor med en skalar med hensyn til addition af skalarer );
$\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$ ( distributivitet af multiplikation af en vektor med en skalar med hensyn til addition af vektorer ).

Således definerer additionsoperationen strukturen af en (additiv) Abelian-gruppe på sættet . $V$

Vektorrum defineret på det samme sæt af elementer, men over forskellige felter, vil være forskellige vektorrum (for eksempel kan sættet af par af reelle tal være et todimensionelt vektorrum over feltet med reelle tal eller endimensionelt over feltet af komplekse tal ). $\mathbb {R} ^{2}$

De enkleste egenskaber

Vektorrummet er en abelsk gruppe ved addition.
Det neutrale element er det eneste, der stammer fra gruppeegenskaber. $\mathbf {0} \i V$
$0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0}$ for enhver . $\mathbf {x} \i V$
For ethvert modsat element er det eneste, der følger af gruppeegenskaberne. $\mathbf {x} \i V$ $-\mathbf {x} \i V$
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ for enhver . $\mathbf {x} \i V$
$(-\alpha )\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x} )=-(\alpha \mathbf {x} )$ for enhver og . $\alfa \i F$ $\mathbf {x} \i V$
$\alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$ for enhver . $\alfa \i F$

Relaterede definitioner og egenskaber

Underrum

Algebraisk definition: Et lineært underrum eller et vektorunderrum er en ikke-tom delmængde af et lineært rum, således at det i sig selv er et lineært rum i forhold til dem, der er defineret i operationerne addition og multiplikation med en skalar. Mættet af alle underrum er normalt betegnet som . For at en delmængde skal være et underrum, er det nødvendigt og tilstrækkeligt at $K$ $V$ $K$ $V$ $\mathrm {Lat} (V)$

for enhver vektor tilhørte vektoren også for enhver ; $\mathbf {x} \i K$ $\alpha \mathbf {x}$ $K$ $\alfa \i F$
for alle vektorer tilhørte vektoren også . $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \i K$ $\mathbf {x} +\mathbf {y}$ $K$

De sidste to udsagn svarer til følgende:

for alle vektorer tilhørte vektoren også en hvilken som helst .

\mathbf {x} ,\mathbf {y} \i K

\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y}

K

\alfa ,\beta \i F

Især er et vektorrum, der kun består af én nulvektor, et underrum af ethvert rum; ethvert rum er et underrum af sig selv. Underrum, der ikke falder sammen med disse to, kaldes egentlige eller ikke-trivielle .

Underrumsegenskaber

Skæringspunktet mellem enhver familie af underrum er igen et underrum;
Summen af underrum er defineret som et sæt, der indeholder alle mulige summer af elementer : ${\displaystyle \{K_{i}\mid i\in 1\ldots N\))$ $K_{i}$ $\sum _{i=1}^{N}{K_{i}}:=\{\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\ldots +\mathbf {x} _{N}\midt \mathbf {x} _{i}\i K_{i}\quad (i\i 1\ldots N)\}$ .
- Summen af en endelig familie af underrum er igen et underrum.

Lineære kombinationer

Formens formelle udtryk

\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}

kaldes [3] en lineær kombination af elementer med koefficienter . $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\in V$ $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\i F$

Faktisk gælder denne definition (og dem, der er givet nedenfor) ikke kun for kombinationer af vektorer, men også for kombinationer af andre objekter, for hvilke sådanne summer overhovedet giver mening (for eksempel kombinationer af punkter i et affint rum ).

Den lineære kombination kaldes:

ikke-triviel , hvis mindst en af dens koefficienter er ikke-nul.
barycentrisk , hvis summen af dens koefficienter er lig med 1 [4] ,
konveks , hvis summen af dens koefficienter er lig med 1, og alle koefficienter er ikke-negative,
afbalanceret , hvis summen af dens koefficienter er 0.

Basis. Dimension

Vektorer kaldes [5] lineært afhængige, hvis der er en ikke-trivial lineær kombination af dem, hvis værdi er lig med nul; det er $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$

\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _ {n}=\mathbf {0}

for nogle ikke-nul koefficienter $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\i F.$

Ellers kaldes disse vektorer lineært uafhængige .

Denne definition tillader følgende generalisering: et uendeligt sæt af vektorer fra kaldes lineært afhængige , hvis nogle endelige delmængder af det er lineært afhængige, og lineært uafhængige , hvis nogen af dets endelige delmængder er lineært uafhængige. $V$

Det kan vises [6] at antallet af elementer ( potens ) af det maksimale lineært uafhængige sæt af elementer i et vektorrum ikke afhænger af valget af dette sæt. Dette tal kaldes rummets rang eller dimension , og selve dette sæt kaldes basis ( Hamel-grundlaget eller det lineære grundlag ). Grundens elementer kaldes basisvektorer . Rummets dimension er oftest angivet med symbolet . ${\rm {dim}}$

Dimensionen af et vektorrum er således enten et ikke-negativt heltal (især lig med nul, hvis rummet kun består af én nulvektor) eller uendelig (mere præcist styrken af et uendeligt sæt). I det første tilfælde kaldes vektorrummet endeligt -dimensionelt , og i det andet - uendeligt -dimensionelt (for eksempel er rummet af kontinuerlige funktioner uendeligt-dimensionelt ). Traditionelt hører studiet af endelig-dimensionelle vektorrum og deres afbildninger til lineær algebra , og studiet af uendelig-dimensionelle vektorrum til funktionel analyse . I det andet tilfælde spilles en væsentlig rolle af spørgsmålet om nedbrydeligheden af et givet element i et givet uendeligt system af funktioner, det vil sige konvergensen af de tilsvarende uendelige summer, for hvilke et uendeligt dimensionelt vektorrum betragtes sammen med en ekstra struktur, der gør det muligt at bestemme konvergens, for eksempel med en metrik eller topologi .

Basisegenskaber:

Ethvert lineært uafhængigt element i -dimensionelt rum danner grundlaget for dette rum. $n$ $n$
Enhver vektor kan repræsenteres (entydigt) som en endelig lineær kombination af grundlæggende elementer: $\mathbf {x} \i V$

\mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf { x} _{n}

Lineær skal

Det lineære spænd for en delmængde af et lineært rum er skæringspunktet mellem alle underrum , der indeholder . ${\mathcal {V}}(X)$ $x$ $V$ $V$ $x$

Det lineære spænd er et underrum af . $V$

Det lineære spænd kaldes også underrummet genereret af . Det siges også, at det lineære spænd er det rum, som mængden spænder over . $x$ ${\mathcal {V}}(X)$ $x$

Det lineære spænd består af alle mulige lineære kombinationer af forskellige endelige delsystemer af elementer fra . Især hvis er et endeligt sæt, så består det af alle lineære kombinationer af elementer . Således hører nulvektoren altid til det lineære spænd. ${\mathcal {V}}(X)$ $x$ $x$ ${\mathcal {V}}(X)$ $x$

Hvis er et lineært uafhængigt sæt, så er det et grundlag og bestemmer dermed dets dimension. $x$ ${\mathcal {V}}(X)$

Isomorfisme

To lineære rum og kaldes isomorfe , hvis en en-til-en overensstemmelse kan etableres mellem vektorerne og på en sådan måde, at følgende betingelser er opfyldt: $V'(F)$ $V''(F)$ $x'\in V'$ $x''\in V''$

hvis vektor svarer til vektor , og vektor svarer til vektor , så svarer vektor til vektor $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {y} ''\in V''$ $\mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''$
hvis vektoren svarer til vektoren og er et element i feltet , så svarer vektoren til vektoren [7] $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\lambda$ $F$ $\lambda \mathbf {x} '\in V'$ $\lambda \mathbf {x} ''\in V''$

Eksempler

Et nulrum, hvis eneste element er nul.
Rummet for alle funktioner med endelig støtte danner et vektorrum med dimension lig med magt . $X\ til F$ $x$
Feltet med reelle tal kan ses som et kontinuumdimensionalt vektorrum over feltet af rationelle tal .
Ethvert felt er et endimensionelt rum over sig selv.
Mellemrummene af matricer og tensorer danner et lineært rum.

Yderligere strukturer

Se også

Noter

↑ Forveksle ikke begreberne "multiplikation med en skalar" og " skalær produkt ".
↑ Ilyin, Poznyak, 2010 , s. 45.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. otte.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. 198.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. 16.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. fjorten.
↑ Shilov G. E. Introduktion til teorien om lineære rum. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - s. 70

Litteratur

Gelfand I. M. Forelæsninger over lineær algebra. - 5. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 319 s. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Gelfand I. M. Forelæsninger over lineær algebra. 5. udg. - M . : Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 s. - ISBN 5-7913-0016-6 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineær algebra og geometri. 2. udg. — M .: Nauka , 1986. — 304 s.
Kostrikin A.I. Introduktion til algebra. Del 2: Lineær algebra. - 3. - M . : Nauka ., 2004. - 368 s. — (Universitets lærebog).
Maltsev AI Fundamentals af lineær algebra. - 3. — M .: Nauka , 1970. — 400 s.

Postnikov M. M. Lineær Algebra (Forelæsninger om geometri. Semester II). - 2. — M .: Nauka , 1986. — 400 s.
Streng G. Lineær algebra og dens anvendelser. — M .: Mir , 1980. — 454 s.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineær algebra. 6. udg. - M. : Fizmatlit, 2010. - 280 s. - ISBN 978-5-9221-0481-4 .
Halmos P. Finite-Dimensional Vector Spaces. — M .: Fizmatgiz , 1963. — 263 s.
Faddeev D. K. Forelæsninger om Algebra. - 5. - Sankt Petersborg. : Lan , 2007. - 416 s.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. - 1. — M .: Fizmatlit , 2009. — 511 s.
Schreier O., Shperner G. Introduktion til lineær algebra i en geometrisk præsentation = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (oversat fra tysk). - M. - L .: ONTI , 1934. - 210 s.

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet