Flag (matematik)

Et flag er en kæde af indlejrede underrum af et vektorrum (eller et rum af en anden type, for hvilket dimensionsbegrebet er defineret ), med formen $L$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{k}=L,

hvor

0=\dim L_{0}<\dim L_{1}<\dim L_{2}<\cdots <\dim L_{k}=\dim L.

Konceptet med et komplet (eller maksimalt ) flag, hvori , og dermed et tal, oftest stødes på . Normalt, i definitionen af et komplet flag, en yderligere betingelse for retningsbestemmelsen af hvert par af tilstødende underrum i kæden tilføjes (se definitionen nedenfor). $\dim L_{i}=i$ $k=\dim L.$

Begrebet et flag bruges hovedsageligt i algebra og geometri (nogle gange også kaldet filtrering ).

Fuldt flag

Et komplet flag i et vektorrum af endelig dimension er en sekvens af underrum $L$ $n$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

hvor underrummet kun består af nulvektoren, falder underrummet sammen med alt , og hvert par af nabounderrum er rettet , dvs. af de to halvrum , som underrummet deler sig i, vælges et (med andre ord er parret af disse halvrum ordnet ). $L_0$ $L_{n}$ $L$ $(L_{n}=L)$ $(L_{i},L_{i-1})$ $L_{i-1}$ $L_{i}$

Hver basis af et vektorrum definerer et komplet flag i det. Vi sætter nemlig (her betyder de trekantede parenteser den lineære envelope af vektorerne imellem dem), og for at indstille retningsbestemmelsen af parret vælger vi det halve rum, der indeholder vektoren . $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $L$ $L_{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ $(L_{i},L_{i-1})$ $e_{i}$

Korrespondancen mellem baser og fulde flag konstrueret på denne måde er ikke en-til-en: forskellige baser af rummet kan definere det samme flag i det (f.eks. i figuren til højre definerer baserne og på planet samme fulde flag). Men hvis vektorrummet er euklidisk , så opnår vi , der opererer ikke med vilkårlige, men kun med ortonormale baser af dette rum, en en-til-en overensstemmelse mellem ortonormale baser og fulde flag. ${\displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\displaystyle e_{1},e'_{2))$ $L$

Derfor er der for to komplette flag i det euklidiske rum en unik ortogonal transformation , der kortlægger det første flag til det andet. $L$ $A:L til L$

Flag i affine rum og Lobachevsky-geometri

Komplette flag er defineret på lignende måde i affint rum og Lobachevskii dimensionsrum : $n$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

hvor underrummet kun består af et punkt (affin space eller Lobachevsky space), kaldet midten af flaget , falder underrummet sammen med alt , og hvert par er rettet . $L_0$ $L_{n}$ $L$ $(L_{n}=L)$ $(L_{i},L_{i-1})$

For alle to komplette flag i et euklidisk affint rum eller Lobachevsky-rum, er der en bevægelse af dette rum, der fører det første flag til det andet, og en sådan bevægelse er unik. Sophus Lie kaldte denne ejendom for rummets frie mobilitet . Helmholtz-Lie-sætningen siger, at kun tre typer rum (tre "store geometrier") har denne egenskab: Euclid , Lobachevsky og Riemann . [en]

Nest

I et uendeligt dimensionelt rum V er ideen om et flag generaliseret til en rede. Et sæt underrum, velordnet efter inklusion af lukkede underrum, kaldes nemlig en rede .

Litteratur

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineær algebra og geometri, - M .: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.

Noter

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. - ch. XII, § 1. - M .: Fizmatlit, 2009.