Rum af kontinuerlige funktioner

Rummet af kontinuerlige funktioner er et lineært normeret rum , hvis elementer er kontinuerte funktioner på segmentet (normalt betegnet , nogle gange eller eller ). Normen i dette rum er defineret som følger: $[a,b]$ ${\mathrm {C} [a,b]$ $C^{0}[a,b]$ $C^{(0)}[a,b]$ $C(a,b)$

||x||_{{\mathbf {C} [a,b]}=\max _{t\in [a,b]}|x(t)|

Denne norm kaldes også Chebyshev-normen eller ensartet norm , da konvergens i denne norm svarer til ensartet konvergens .

Egenskaber

Hvis en sekvens af elementer fra konvergerer i dette rum til en eller anden grænsefunktion , så for . $x_{n}$ ${\mathrm {C} [a,b]$ $x(t)$ $x_{n}\rightrightarrows x$ $n\til\infty$
- Derfor: — Banach space . ${\mathrm {C} [a,b]$
Rummet af kontinuerte funktioner kan adskilles : en tællig overalt tæt mængde i det danner mængden af alle polynomier med rationelle koefficienter. Denne erklæring er opnået som en konsekvens af Weierstrass tilnærmelsessætning .
Parallelogram-identiteten holder ikke i den, så normen i den genererer ikke noget skalært produkt . ${\mathrm {C} [a,b]$

Variationer og generaliseringer

På samme måde er dette rum også bygget over regioner og deres lukninger . I tilfælde af et ikke-kompakt sæt skal maksimum erstattes af den mindste øvre grænse .

Så rummet af kontinuerte afgrænsede funktioner ( vektorfunktioner ) er sættet af alle kontinuerte afgrænsede funktioner med normen introduceret på det: $C(X,Y)$ $x:X\to Y$

\|x\|_{C(X,Y)}=\sup _{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.

Sammen med Chebyshev-normen betragtes ofte rummet af kontinuerlige funktioner med en integreret norm:

\|x\|=\int \limits _{a}^{b}|x(t)|\,dt

I denne norms forstand danner det rum af funktioner, der er kontinuert i et interval, ikke længere et komplet lineært rum . Fundamental, men ikke konvergent i den, er for eksempel rækkefølgen $x_{n}$

x_{n}(t)={\begin{cases}1,\quad t\geqslant {\frac {1}{n))\\nt,\quad t\in (-{\frac {1 }{n)),{\frac {1}{n)))\\-1,\quad t\leqslant -{\frac {1}{n))\end{cases))

Dens færdiggørelse er rummet af opsummerbare funktioner . $L_{1}[a,b]$

Litteratur

Kolmogorov A. N., Fomin S. I. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse. — M .: Nauka , 2004 .
L. A. Lyusternik, V. I. Sobolev. Elementer af funktionsanalyse. — M .: Nauka , 1965 .
M. Reed, B. Simon. Metoder til moderne matematisk fysik. Vol. 1 Funktionsanalyse. — New York London: Academic Press, 1973 .
Yosida K. Funktionel analyse. — M .: Mir, 1967 .