Begræns langs filteret

Grænsen langs filteret ( grænse på basis af filteret, grænse på basen ) er en generalisering af begrebet grænse .

Filterdefinition

Lad et sæt være givet Et ikke-tomt system af delmængder af sættet kaldes en filterbasis (base) af sættet, hvis $x.$ ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$

for enhver $B\in {\mathfrak {B}}$ $B\neq \varnothing ;$
for nogen der findes sådan at $B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B))$ $B_{3}\in {\mathfrak {B))$ $B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}.$

Definition af grænse

Overalt nedenfor er filtergrundlaget (basen) for sættet . ${\mathfrak B}$ $x$

Grænse for en numerisk funktion

Lad . Et tal kaldes grundgrænsen for en funktion if $f:X \to \mathbb{R}$ $A\in \mathbb {R}$ $f$ ${\mathfrak {B)),$

for enhver der eksisterer sådan, at for al uligheden

\varepsilon >0

B\in {\mathfrak {B}}

x\in B

|f(x)-A|<\varepsilon .

Basisgrænsenotation: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=A.$

Grænse for en funktion med værdier i metrisk rum

Lad være et metrisk rum og . Et punkt kaldes grænsen for en funktion i forhold til basen if $(M,\rho)$ $f:X\to M$ $a\in M$ $f$ ${\mathfrak {B)),$

for enhver der eksisterer sådan, at for al uligheden

\varepsilon >0

B\in {\mathfrak {B}}

x\in B

\rho (f(x),a)<\varepsilon .

Betegnelse: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.$

Grænse for en funktion med værdier i et topologisk rum

Lad være et topologisk rum og . Et punkt kaldes grænsen for en funktion i forhold til basen if $(M,{\mathcal {T))$ $f\colon X\to M$ $a\in M$ $f$ ${\mathfrak {B)),$

for ethvert område af punktet eksisterer der sådan , at inklusionen gælder for alle .

V

-en

B\in {\mathfrak {B}}

f(B)\subset V

x\in B

f(x)\in V

Betegnelse: $\lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.$

Kommentar. Den sidste "lighed" er korrekt at bruge kun i tilfælde, hvor rummet er Hausdorff . Grænsen for en funktion med værdier i et ikke-Hausdorff-rum kan være flere forskellige punkter på én gang (og dermed er grænse-entydighedsteoremet overtrådt). $(M,{\mathcal {T))$

Eksempler

Sædvanlig grænse

Lad være et topologisk rum , og lad derefter systemet af sæt $(X,{\mathcal {T}})$ $M\subset X.$ $en \i M'.$

{\mathfrak {B}}=\venstre\{M\cap {\dot {U}}\equiv M\cap U\setminus \{a\}\mid a\in U\in {\mathcal { T}}\right\}

er grundlaget for mængdefilteret og betegnes med eller blot Grænsen for en funktion over mængdens basis kaldes grænsen for funktionen i et punkt og betegnes med . $M$ $M\ni x\to a$ $x\to a.$ $x\to a$ $M$ $-en$ $\lim \limits _{x\to a}f(x)$

Ensidige grænser

Lad og derefter det indstillede system $M\subset {\mathbb {R}),$ $a\in {\bigl (}M\cap (a,\infty){\bigr )}'.$

{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\))

er grundlaget for filteret og er betegnet med eller Grænsen kaldes funktionens højre grænse som har tendens til $x\to a+$ $x\to a+0.$ $\lim \limits _{x\to a+}f(x)$ $f$ $x$ $en.$

Lad og derefter det indstillede system $M\subset {\mathbb {R}),$ $a\in {\bigl (}M\cap (-\infty ,a){\bigr )}'.$

{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\))

er grundlaget for filteret og er betegnet med eller Grænsen kaldes den venstre grænse for funktionen som har tendens til at $x\to a-$ $x\to a-0.$ $\lim \limits _{x\to a-}f(x)$ $f$ $x$ $en.$

Grænser ved uendelig

Lad og derefter det indstillede system $M\subset {\mathbb {R}),$ $\sup M=\infty .$

{\mathfrak {B}}=\{M\cap (T,\infty )\mid T\in \mathbb {R} \}.

er grundlaget for filteret og er betegnet med eller Grænsen kaldes grænsen for funktionen, da den har en tendens til uendelig. $x\til \infty$ $x\to +\infty .$ $\lim \limits _{x\to \infty }f(x)$ $f$ $x$

Lad og derefter det indstillede system $M\subset {\mathbb {R}),$ $\inf M=-\infty .$

{\mathfrak {B}}=\{M\cap (-\infty ,T)\mid T\in \mathbb {R} \}.

er grundlaget for filteret og betegnes Grænsen kaldes grænsen for funktionen som tendens til minus-uendelighed. $x\to -\infty .$ $\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)$ $f$ $x$

Sekvensgrænse

Indstil system hvor ${\mathfrak {B}}=\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty },$

B_{n}=\{n,n+1,n+2,\ldots \}\quad n\in \mathbb {N} ,

er grundlaget for filteret og betegnes Funktionen kaldes en numerisk sekvens, og grænsen er grænsen for denne sekvens. $n\to \infty .$ $n\in \mathbb {N} \mapsto f_{n}\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f_{n))$

Riemann-integralet

Lad Vi kalder en samling af punkter en mærket partition af et segment . Vi kalder partitionens diameter et tal. Derefter systemet af sæt $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$ $[a,b]$ $T=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b,\;x_{n-1}\leqslant \xi _{ n}\leqslant x_{n}\;n\in \mathbb {N} \}.$ $T$ $d(T)=\max \limits _{i\in \{1,\ldots ,n\}}(x_{i}-x_{i-1}).$

{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{T\mid d(T)<\delta ,\delta >0\))

er et grundlag for filteret i rummet af alle mærkede partitioner . Vi definerer funktionen ved ligheden ${\mathfrak {T}}$ $[a,b].$ $S_{f}:{\mathfrak {T}}\to \mathbb {R}$

S_{f}(T)=\sum \limits _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})\quad T \i {\mathfrak {T}.

Så kaldes grænsen for Riemann-integralet af funktionen på intervallet $\lim \limits _{\mathfrak {B}}S_{f}(T)$ $f$ $[a,b].$

Litteratur

Kudryavtsev L. D. Matematisk analysekursus (i to bind), - M . : Higher school, bind II - 584 s. - 1981.