Riemann sum

Riemann-summen er en af mekanismerne til at bestemme integralet gennem en sum af formen . Anvendes i definitionen af Riemann-integralet . Opkaldt efter opdageren, Bernhard Riemann . $\sum f(x)\Delta x$

Definition

Lade være en funktion defineret på en delmængde på den reelle linje . er et lukket interval indeholdt i . er en partition , hvor . $f:D\rightarrow R$ $D$ $R$ $I=[a,b]$ $D$ $P={[x_{0},x_{1}),[x_{1},x_{2}),...[x_{n-1},x_{n}]}$ $jeg$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n}=b$

Riemann-summen af en splitfunktion er defineret som følger: $f$ $P$

S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})

hvor . Valget i dette interval er vilkårligt. Hvis for alle , så kaldes venstre Riemann sum . Hvis , så kaldes den rigtige Riemann sum . Hvis , så kaldes den gennemsnitlige Riemann sum . Gennemsnitsværdien af venstre og højre Riemann sum kaldes trapezsum . ${\displaystyle x_{i-1}\leqslant x_{i}^{*}\leqslant x_{i))$ $x_{i}^{*}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1))$ $jeg$ $S$ ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i))$ $S$ $x_{i}^{*}={\frac {1}{2}}(x_{i}+x_{i-1})$ $S$

Hvis Riemann-summen er repræsenteret som:

S=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1})

hvor er den nøjagtige øvre grænse for mængden på intervallet, så kaldes den øvre Riemann sum . Tilsvarende, hvis er den nøjagtige nedre grænse for det indstillede interval , så kaldes det den nedre Riemann-sum . $v_{i}$ $f$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S$ $v_{i}$ $f$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S$

Enhver Riemann-sum med en given partition (når du vælger en hvilken som helst værdi fra intervallet ) er mellem den nedre og øvre Riemann-sum. $x_{i}^{*}$ $[x_{i-1},x_{i}]$

Hvis der for en funktion og et segment er en grænse for Riemann-summer, når partitionstrinnet har tendens til nul (uanset valget af ), så kaldes denne grænse for Riemann-integralet af funktionen på segmentet og betegnes med . $f$ $[a;b]$ $x_{i}^{*}$ $f$ $[a;b]$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Litteratur

V.A. Ilyin , V.A. Sadovnichy , Bl. H. Sendov . Matematisk analyse. Indledende kursus. - 2., revideret. - Publishing House of Moscow University, 1985. - T. 1. - 660 s.