Darboux integral

Darboux-integralet er en af måderne at generalisere Riemann-integralet til enhver funktion afgrænset til et interval. Der er øvre og nedre Darboux-integraler. Darboux-integraler er geometrisk de øvre og nedre områder under grafen.

Definition

For at definere Darboux-integraler skal vi først introducere hjælpebegrebet Darboux-summer.

Lad en funktion af en reel variabel defineres på et segment . $[a,b]$ $f$

En partition af et segment er et begrænset sæt af punkter i dette segment, som inkluderer punkterne og . [1] For at gøre det nemmere for yderligere indgange introducerer vi notation. Vi betegner partitionspunkterne som , og nummererer dem i stigende rækkefølge (startende fra nul): $\tau$ $[a,b]$ $-en$ $b$ $\tau$ $x_{i}$

\tau =\venstre\{{{x}_{0},\ldots {x}_{n}}\right\},\ a={{x}_{0}}<{{x }_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b

Sættet af alle partitioner i segmentet vil blive betegnet med . $[a;b]$ $T$

Et delvist segment af partitionen kaldes et segment . $\Delta _{i}$ $[x_{i-1},x_{i}]$

\Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]

Lad os betegne længden af partitionens partielle segment som . $\Delta x_{i}$

{\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1))

Diameteren af en skillevæg er den maksimale længde af et delsegment af skillevæggen . [2] $d$ $\Delta x_{i}$

d=\max \Delta x_{i}

De nøjagtige sider af funktionen på partitionens delsegmenter vil blive betegnet med og . $m_i$ $M_{i}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Derefter kaldes den nederste Darboux-sum af en funktion på en partition $s(f,\tau )$ $f$ $\tau$

{\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))

Den øvre Darboux sum kaldes $S(f,\tau )$

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}

[3]

Så er det nederste Darboux-integral $JEG_*$

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

Det øvre Darboux-integral kaldes $jeg^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[fire]

Alternative definitioner

Der er også alternative definitioner af Darboux-integraler. Normalt er de bevist som egenskaber.

Det nedre Darboux-integral er grænsen for de nedre Darboux-summer, da skillevægsdiameteren har en tendens til nul, og den øverste er grænsen for de øvre. [5]

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Det nedre Darboux-integral er den nedre grænse for integral-summen , da skillevægsdiameteren har en tendens til nul, og den øverste er den øvre grænse. [6]

I_{*}=\varliminf _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau,\xi)

I^{*}=\varlimsup _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

Egenskaber

Egenskaber for Darboux-summer

For enhver vilkårlig to partitioner af det samme segment overstiger den nedre Darboux-sum på den ene partition ikke den øvre Darboux-sum på den anden partition. [7]

\forall \tau _{1},\tau _{2}\in T\quad s(f,\tau _{1})\leq S(f,\tau _{2})

De nederste Darboux-summer er afgrænset ovenfra, og de øvre summer er afgrænset nedefra. [fire]

Når nye point tilføjes til den eksisterende partition, kan den nederste Darboux-sum ikke falde på nogen måde, og den øverste kan ikke stige på nogen måde. [7]

{\begin{aligned}s(f,\tau ')\geq s(f,\tau )\\S(f,\tau ')\leq S(f,\tau )\end{aligned} }\quad \tau '

- slibning .

\tau

Ændringen i disse beløb kan desuden gives følgende skøn. Lad d være diameteren , raffinementet opnås ved at tilføje højst punkter til og de nøjagtige sider af funktionen på segmentet . Derefter

\tau

\tau '

l

\tau

M

m

f

[a;b]

s(f,\tau ')-s(f,\tau )\leq (Mm)ld

S(f,\tau )-S(f,\tau ')\leq (Mm)ld

[5]

Lad være den integrale sum. For enhver vilkårlig partition med markerede punkter er følgende ulighed sand: $\sigma (f,\tau ,\xi )$ $(\tau ,\xi )$

s(f,\tau )\leq \sigma (f,\tau ,\xi )\leq S(f,\tau )

[otte]

Darboux-summer er nøjagtige sider af integral-summer på en given partition. [7] Lad være sættet af alle mulige markerede punkter på partitionen . Derefter $\Xi$ $\tau$

s(f,\tau )=\inf _{\xi \in \Xi}\sigma (f,\tau ,\xi )

S(f,\tau )=\sup _{\xi \in \Xi}\sigma (f,\tau ,\xi )

Egenskaber for Darboux-integraler

For enhver funktion, der er afgrænset til et interval, eksisterer Darboux-integraler og er endelige. [9] For en funktion ubegrænset ovenfra er det øvre integral , for en funktion ubegrænset nedefra er det nederste integral . $+\infty$ $-\infty$
Følgende uligheder gælder for summer og integraler

s(f,\tau )\leq I_{*}\leq I^{*}\leq S(f,\tau )

[9]

Darboux' hovedlemma. Grænsen for lavere Darboux-summer, da partitionsdiameteren har tendens til nul, eksisterer for enhver afgrænset funktion og er lig med det nedre Darboux-integral. Grænsen for øvre Darboux-summer eksisterer for enhver afgrænset funktion, da partitionsdiameteren har en tendens til nul og er lig med det øvre Darboux-integral. [5]

\exists \lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

\exists \lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Darboux' hovedlemma fastslår ækvivalensen af den første og anden definition af Darboux-integraler.

Darboux-kriterium. Riemann-integrerbarhed på en funktion afgrænset til dette interval er ækvivalent med ligheden mellem de øvre og nedre Darboux-integraler på dette interval. $[a;b]$ $f$

f

— Riemann integrerbar [10]

\Leftrightarrow I_{*}=I^{*}

Variationer og generaliseringer

Multiple Darboux integral

I analogi med det multiple Riemann-integral kan man også definere det multiple Darboux-integral. Lad være et Jordan-målbart sæt og være dets opdeling med et begrænset antal Jordan-målbare sæt. Lad os betegne sættene af denne partition som . $G$ $\tau$ $\Delta _{i}$

\tau =\left\{{{\Delta }_{1},\ldots {\Delta }_{n}}\right\}

Vi betegner Jordan-målet med . $\Delta x_{i}$ $\Delta _{i}$

Sættet af alle partitioner vil blive betegnet med . $G$ $T$

Skillevægsdiameteren er defineret som maksimum af diametrene for skillevægssættene (diameteren på skillevægssættet er den mindste øvre grænse for afstandene mellem dets punkter). $d$

\max _{i=1}^{n}\sup _{x,y\in \Delta _{i}}|xy|

De nøjagtige sider af funktionen på partitionssættene er angivet med og . $m_i$ $M_{i}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Derefter kaldes den nederste Darboux-sum af en funktion på en partition $s(f,\tau )$ $f$ $\tau$

{\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))

Den øvre Darboux sum kaldes $S(f,\tau )$

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}

[elleve]

Så er det nederste Darboux-integral $JEG_*$

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

Det øvre Darboux-integral kaldes $jeg^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[12]

Alle de ovennævnte egenskaber ved Darboux-summer og Darboux-integraler, samt alternative definitioner, er bevaret. [13]

Noter

↑ Ilyin, 1985 , s. 330.
↑ Ilyin, 1985 , s. 331.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 190.
↑ 1 2 Ilyin, 1985 , s. 337.
↑ 1 2 3 Ilyin, 1985 , s. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 208.
↑ 1 2 3 Ilyin, 1985 , s. 336.
↑ Ilyin, 1985 , s. 335.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , s. 191.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 553.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 559.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 548.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 550.

Litteratur

Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov Bl. X. Matematisk analyse. Indledende kursus. - 2. udg., revideret .. - M . : MGU, 1985. - 662 s. Med.
Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N. Forelæsninger om matematisk analyse: Lærebog for universiteter og ped. universiteter. - M . : Højere skole, 1999. - 695 s. Med. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Kursus i matematisk analyse. I 3 bind. Bind 1. Differential- og integralregning af funktioner af flere variable . - M . : Bustard, 2003. - 704 s. (Russisk)

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler