I matematik er en trigonometrisk substitution en substitution af trigonometriske funktioner for andre udtryk. I calculus er trigonometrisk substitution en metode til at beregne integraler. Desuden kan man bruge trigonometriske identiteter til at simplificere nogle integraler , der indeholder et radikalt udtryk [1] [2] . Som med andre metoder til integration ved substitution, når man beregner det definitive integral , kan det være lettere fuldt ud at udlede antiderivatet , før man anvender grænserne for integration.
Lad , og brug identiteten .
I integreret
Kan bruges
Derefter
Ovenstående trin kræver, at og . Vi kan vælge som hovedroden og pålægge en begrænsning ved hjælp af den inverse sinusfunktion .
For et decideret integral skal du finde ud af, hvordan grænserne for integration ændrer sig. For eksempel, hvis ændres fra til , så ændres fra til , så ændres fra til . Derefter
Der kræves en vis omhu, når man vælger grænser. Fordi ovenstående integration kræver det , kan værdien kun ændres fra til . Hvis man ignorerer denne begrænsning, kunne man vælge at gå fra til , hvilket faktisk ville resultere i en negativ værdi.
Alternativt kan man fuldt ud evaluere de ubestemte integraler, før man anvender grænsebetingelserne. I dette tilfælde giver antiderivatet
ligesom før.
Eksempel 2Integral
kan evalueres ved fremlæggelse
hvor , så at og over området af arcsine , så at og .
Derefter
For et bestemt integral ændres grænserne efter substitutionen og bestemmes ved hjælp af en ligning med værdier i området . Eller du kan anvende grænsevilkårene direkte på antiderivatformlen.
For eksempel det bestemte integral
kan estimeres ved at erstatte , med estimater defineret ved , og .
Derefter
På den anden side giver en direkte anvendelse af grænsevilkårene til den tidligere opnåede formel for antiderivater
ligesom før.
I integreret
du kan skrive
så integralet bliver
forudsat .
For et bestemt integral ændres grænserne efter substitutionen og bestemmes ved hjælp af en ligning med værdier i området . Eller du kan anvende grænsevilkårene direkte på antiderivatformlen.
For eksempel det bestemte integral
kan estimeres ved at erstatte , med estimater defineret ved , og .
Derefter
I mellemtiden giver en direkte anvendelse af grænsevilkårene til formlen for antiderivater
ligesom før.
Eksempel 2Integral
kan evalueres ved fremlæggelse
hvor , så at og over området af buetangens , så at og .
Derefter
Det kuberede sekantintegral kan beregnes ved hjælp af integration af dele . Som resultat
Lad og brug identiteten
Type integraler
kan også beregnes ved partielle fraktioner i stedet for ved trigonometriske substitutioner. Dog integralen
det er forbudt. I dette tilfælde vil en passende erstatning være:
hvor , så og , forudsat , så og .
Derefter
Du kan beregne integralet af sekantfunktionen ved at gange tælleren og nævneren med og integralet af den kuberede sekant med dele [3] . Som resultat
Hvis , hvilket sker, når med et givet område af lysbue , så , hvilket i dette tilfælde betyder .
Substitution kan bruges til at fjerne trigonometriske funktioner.
For eksempel,
Den sidste substitution er kendt som Weierstrass substitutionen , som bruger halvvinkel tangentformler .
For eksempel,
Substitutioner af hyperbolske funktioner kan også bruges til at forenkle integraler [4] .
I integralet kan man lave en substitution ,
Derefter ved hjælp af identiteterne og
ledig
Trigonometri | |
---|---|
Generel |
|
Vejviser | |
Love og teoremer | |
Matematisk analyse |
Integralregning | ||
---|---|---|
Hoved | ||
Generaliseringer af Riemann-integralet | ||
Integrale transformationer |
| |
Numerisk integration | ||
måle teori | ||
relaterede emner | ||
Lister over integraler |