Dekomponering af en rationel brøk til de simpleste

Dekomponering af en rationel brøk til de simpleste er en repræsentation af en rationel brøk som summen af et polynomium og de simpleste brøker. Dekomponeringen til de simpleste bruges i mange problemer, for eksempel til integration [1] , udvidelse i en Laurent-serie [2] , beregning af den inverse Laplace-transformation af rationelle funktioner [3] .

Definition

En rationel brøk kaldes den enkleste , hvis dens nævner er graden af et irreducerbart polynomium, og graden af dens tæller er mindre end graden af dette irreducible polynomium. [fire]

Repræsentationen af en brøk i formen , hvor er et polynomium, og brøkerne er simple, kaldes nedbrydningen af en brøk til simple . ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}(x)}{ Q_{i}(x)}}$ $G(x)$ ${\frac {P_{i}(x)}{Q_{i}(x)))$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$

En sådan repræsentation findes for enhver rationel brøk over et felt og er unik op til en permutation af termer.

Nedbrydningsmetoder

Valg af hele delen

Enhver rationel brøk over et felt kan entydigt repræsenteres som summen af et polynomium (kaldet heltalsdelen af brøken) og en egenbrøk (kaldet brøkdelen). [5] Til gengæld kan enhver egenbrøk dekomponeres til summen af kun simple brøker uden et polynomium. Problemet med at nedbryde en brøk til den enkleste kan således løses i to trin: først nedbrydes til summen af heltals- og brøkdelene (denne procedure kaldes udvælgelsen af heltalsdelen), og hvorfor dekomponerer brøkdelen til summen af de enkleste.

Valget af heltalsdelen sker ved at dividere polynomiet i tælleren med polynomiet i nævneren i en kolonne. Den resulterende ufuldstændige kvotient er heltalsdelen, og resten divideret med udbyttet er brøkdelen.

Divisionsalgoritmen i en kolonne ved hver iteration modtager en ny værdi af resten og kvotienten. Før vi starter, sætter vi værdien af resten lig med udbyttet, og værdien af kvotienten lig med 0.

Hvis graden af resten er mindre end divisorens grad, afsluttes algoritmen.
Lad være det resterende led med den højeste grad, være divisorleddet med den højeste grad. Så lægger vi til kvotienten og trækker fra resten og går til trin 1. [6] ${\displaystyle ax^{n))$ ${\displaystyle bx^{m))$ ${\frac {a}{b}}x^{nm}$ ${\frac {a}{b}}x^{nm}Q(x)$

Således får vi i slutningen den ufuldstændige kvotient og resten . Som et resultat , , hvor er en egentlig brøk, der udvider sig til en sum af simple brøker. Problemet blev reduceret til udvidelsen til summen af de simpleste regulære brøker. $G(x)$ $R(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)))$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$

På trods af at de fleste metoder til at nedbryde en egentlig brøk til de simpleste også kan anvendes på en ukorrekt, er alle disse metoder meget mere komplicerede end at opdele polynomier i en kolonne. Foreløbig at finde koefficienterne for heltalsdelen ved at dividere i en kolonne reducerer antallet af koefficienter, der skal søges efter ved "komplekse" metoder, og forenkler derved beregningerne.

Metode til ubestemte koefficienter

Metoden med ubestemte koefficienter er at skrive udvidelsen ned til de simpleste med ukendte koefficienter, sammensætte et ligningssystem for disse koefficienter og løse det. Lad være en egentlig brøk i irreducible notation, være dekomponering af nævneren i irreducible faktorer. Så har nedbrydningen til simpleste formen . Gang begge sider af ligningen med . Vi får polynomiers lighed . Polynomier er ens, når deres koefficienter ved samme potenser er ens. Ved at sidestille dem får vi et system af lineære algebraiske ligninger over med ligninger og ukendte. Løser vi det, får vi de ønskede værdier . [7] ${\frac {P(x)}{Q(x)))$ $Q(x)=(Q_{i_{1}}(x))^{m_{1}}...(Q_{i_{n}}(x))^{m_{n}}$ $Q(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m_{i}}{\frac {A_{ij}}{(Q_{i}(x))^{j}}}$
$Q(x)$ $P(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m_{i}}A_{ij}(Q_{1}(x))^{ m_{1}}...(Q_{i-1}(x))^{m_{i-1}}(Q_{i}(x))^{m_{i}-j}(Q_{i +1}(x))^{m_{i+1}}...(Q_{n}(x))^{m_{n}}$
$A_{{ij}}$ $n$ $n$ $A_{{ij}}$

De resulterende ligninger er ofte ret besværlige. Derfor forsøger de i praksis ved substitution at opnå simplere ligninger. Det generelle skema for denne teknik er som følger: lighed multipliceres med et eller andet polynomium, og derefter erstattes en bestemt værdi i det i stedet for x. Oftest ganges med og erstatte dens rod. Således forsvinder næsten alle led, og der opnås en ret simpel ligning, som gør det muligt at beregne en af koefficienterne næsten med det samme. Denne teknik giver dig mulighed for at finde koefficienter ved højere potenser af lineære faktorer. [8] Du kan endda bruge en rod, der ikke hører til hovedfeltet, som en inline-rod. For eksempel bruger reelle tal ofte kompleks rodsubstitution og sidestiller derefter de reelle og imaginære dele af ligningen. Du kan gøre det samme for et vilkårligt felt. Denne ligning er dog ikke nødvendig, de manglende ligninger kan fås på andre måder. Uendelighedssubstitution bruges også nogle gange: de ganges med et af de lineære polynomier, der er inkluderet i udvidelsen , og erstatter uendelighed (her bliver brøkens rigtighed afgørende). Denne teknik giver dig mulighed for blot at finde koefficienterne ved den første grad af lineære faktorer. [9] Generelt kan transformationen af ligningen og den efterfølgende substitution være hvad som helst, det er kun vigtigt at denne substitution giver mening og ikke gør termerne til uendeligheder. For eksempel, når du substituerer roden af nævneren, skal du først gange ligningen med et polynomium, der eliminerer division med 0, og når du erstatter uendelighed, skal du se, så der ingen steder kommer et heltalsled, der indeholder . ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m_{i}}{\frac {A_{ij}}{(Q_{i}(x))^{j}}}$
$Q(x)$

$Q(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$
$x$

At løse et system af lineære algebraiske ligninger er en ret besværlig proces, hvorfor der i praksis bruges mindre universelle, men enklere metoder.

Heavisides cover-metode

Heaviside-metoden består i direkte at beregne koefficienterne ved hjælp af følgende formel. Lad der være en lineær faktor i nedbrydningen til irreducerbare faktorer og være dens mangfoldighed. Dekomponeringen til simpleste termer indeholder udtryk af formen , hvor . Derefter $Q(x)$ $xa$ $m$ ${\frac {B_{j}}{(xa)^{j}}}$ $1\leq j\leq m$

$B_{m}={\frac {P(x)(xa)^{m}}{Q(x)}}{\Bigr |}_{x=a}$ er Heaviside formlen [10]

Heaviside-formlen giver dig mulighed for straks at opnå de fleste koefficienter uden besvær, hvorfor den er meget udbredt i praksis. Hvis nævneren af en brøk dekomponeres i lineære faktorer, kan Heaviside-metoden bruges til at opnå hele ekspansionen på én gang. Hvis ikke, så kræver beregningen af de resterende koefficienter brug af andre metoder, for eksempel metoden med ubestemte koefficienter.

Lagranges metode

Lagrange-metoden tilbyder en anden formel til beregning af koefficienterne. Lade være roden af nævneren af multiplicitet 1. Så er koefficienten ved lig med $-en$ $EN$ ${\frac {1}{xa))$

$A={\frac {P(x)}{Q'(x)}}{\Bigr |}_{x=a}$ er Lagrange-formlen. [elleve]

I lighed med Heaviside-metoden giver Lagrange-metoden dig mulighed for straks at finde nedbrydningen til den enkleste, hvis nævneren er opdelt i lineære faktorer.

Generalisering af Lagranges formel

Lagranges formel kan generaliseres for multiplicitetsroden : $m$

${\displaystyle A_{m}=m!{\frac {P(x)}{Q^{(m)}(x))){\Bigr |}_{x=a))$ , hvor er koefficienten ved . [12] $Er}$ ${\displaystyle {\frac {1}{(xa)^{m))))$

Enhver koefficient, der kan findes ved hjælp af denne formel, kan således findes ved hjælp af Heaviside-formlen og omvendt.

Udtagning af gentagne multiplikatorer

En måde at finde de resterende koefficienter uden at bruge metoden med ubestemte koefficienter er at tage gentagne faktorer ud. [13] Overvej det med et eksempel.

Lad os udvide brøken . Lad os tage de gentagne faktorer ud. . Den rigtige faktor består kun af lineære faktorer, hvilket betyder, at den kan udvides ved hjælp af Heaviside eller Lagrange metoden. Lad os nedbryde. . Lad os udvide parenteserne. . Vi kender allerede nedbrydningen af den rigtige fraktion til simple. er den ønskede nedbrydning. ${\frac {1}{(s+1)^{2}(s+2)))$
${\frac {1}{s+1}}\left({\frac {1}{(s+1)(s+2)))\right)$
${\frac {1}{s+1}}\left({\frac {1}{s+1}}-{\frac {1}{s+2}}\right)$
${\frac {1}{(s+1)^{2}}}-{\frac {1}{(s+1)(s+2)))$
${\frac {1}{(s+1)^{2}}}-{\frac {1}{s+1}}+{\frac {1}{s+2}}$

Rekursiv metode

Metoden er at finde alle de højeste simple udtryk med den højeste grad ved at bruge Heaviside-metoden (eller generaliseret Lagrange), derefter trække fra den oprindelige brøk og gentage denne procedure for den resulterende brøk. [fjorten]

Lad os udvide brøken . Lad os finde de højeste simple udtryk: . Træk dem fra den oprindelige brøk. . Den resulterende brøk er summen af de resterende simple brøker, hvilket betyder, at disse resterende brøker ikke er andet end nedbrydningen af den resulterende brøk til simple. Vi finder igen de højeste simple udtryk. . Trække fra. . Resultatet er en egentlig brøk, hvilket betyder, at alle vilkårene for udvidelsen er fundet. . ${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3))))$
$-{\frac {1}{(x-1)^{2}}},{\frac {1}{(x-2)^{3}}}$
${\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}- {\frac {1}{(x-2)^{3}}}={\frac {x-4}{(x-2)^{2}(x-1)))$
$-{\frac {2}{(x-2)^{2}}},-{\frac {3}{x-1}}$
${\frac {x-4}{(x-2)^{2}(x-1)}}+{\frac {2}{(x-2)^{2}}}+{\ frac {3}{x-1}}={\frac {3}{x-2}}$
${\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}={\frac {1}{(x-2)^{3}}}- {\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {2}{(x-2)^{2}}}-{\frac {3}{x-1}} +{\frac {3}{x-2}}$

Den største vanskelighed ved denne metode er subtraktionen af fraktioner med dens efterfølgende reduktion. For at forenkle dette trin skal du udføre følgende trick.

Lad os finde det . Brøkens nævner er allerede kendt af os: den er divideret med produktet (uden at tage højde for multipliciteten). Derfor er opgaven at finde . For at gøre dette multiplicerer vi hele ligningen med . Vi får, hvad der er lig med summen af brøker. Men da summen af egenbrøker igen er en egenbrøk, vil summen af brøkdelene af disse brøker være lig med 0, og selve polynomiet vil være lig med summen af heltalsdelene. Således er det nok kun at finde den ufuldstændige kvotient af divisionen af disse brøker og ignorere resten. Med denne modifikation kaldes denne metode metoden til at kassere rester . [femten] ${\frac {R(x)}{D(x)}}={\frac {P(x)}{Q(x)))-\sum _{i=1}^{n}{ \frac {A_{i}}{(x-x_{i})_{i}^{m}}}$
$D(x)$ $Q(x)$ $(x-x_{i})$ $R(x)$ $D(x)$ $R(x)$

Lad os tage et eksempel fra oven. . Lad os gange med . Den første term er korrekt, så den kan kasseres. Vi betragter den heltallige del af det andet led. Lad os dividere med i en kolonne. Vi får . På samme måde er heltalsdelen af det sidste led −1. Vi lægger dem sammen og får det ønskede polynomium - .
${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}- {\frac {1}{(x-2)^{3))))$ $D(x)$
${\frac {1}{(x-1)(x-2)}}+{\frac {(x-2)^{2}}{x-1}}-{\frac {x- 1}{x-2}}$ ${\displaystyle (x-2)^{2))$ $x-1$ $x-3$ $x-4$

Simple transformationer

Nogle gange kan nedbrydning til det enkleste opnås blot ved at transformere udtryk. [16]

{\frac {x^{2}-1}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {x^{2}-(x^{2}+ 1)+x^{2}}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}- {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{\frac {(x^ {2}+1)-x^{2}}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}- {\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}+1}}

Metode til fradrag

Heaviside formlen kan generaliseres til en vilkårlig koefficient.

Lad der være en lineær faktor i nedbrydningen til irreducerbare faktorer og være dens mangfoldighed. Dekomponeringen til simpleste termer indeholder udtryk af formen , hvor . Derefter: $Q(x)$ $xa$ $m$ ${\displaystyle {\frac {B_{k}}{(xa)^{k))))$ $1\leq k\leq m$

$B_{k}={\frac {1}{(mk)!}}\left({\frac {P(x)(xa)^{m}}{Q(x)))\right) ^{(mk)}{\Bigr |}_{x=a}$ [12]

For multiplikatorer med høj multiplicitet kræver denne formel beregningen af den afledede af en rationel brøkdel af en høj orden, hvilket er en ret tidskrævende operation.

Koefficienter for højere grads polynomier

Hvis nævneren af den simpleste brøk indeholder et irreducerbart polynomium, der er højere end den første grad, kan kun metoden med ubestemte koefficienter bruges for at finde dens tæller af alle de nævnte metoder. Dette problem kan dog undgås ved at finde den elementære nedbrydning i den algebraiske lukning af feltet (eller mere præcist, i en hvilken som helst udvidelse, der indeholder nævnerdekomponeringsfeltet ), og derefter tilføje termer med konjugerede nævnere. Denne metode bruges meget ofte til at finde nedbrydningen til den enkleste over feltet af reelle tal. [17]

Overvej et eksempel. Lad os finde en nedbrydning . Lad os gå videre til feltet med komplekse tal og udvide nævneren til lineære faktorer. . Lad os bruge Heaviside-metoden. . Tilføj nu brøker med konjugerede nævnere. er den ønskede nedbrydning.
${\frac {1}{(x^{2}+1)(x+1)))$
${\frac {1}{(x+i)(xi)(x+1)}}$
${\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{x+1}}+{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2i(i+1)))}{ xi}}-{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2i(-i+1)}}}{x+i}}$
${\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{x+1}}+{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-x)}{ x^{2}+1}}$

Kombinationer af metoder

Ovenstående metoder giver mulighed for at beregne individuelle koefficienter, men de kræver ikke beregning af resten ved denne særlige metode. Du kan således kombinere disse metoder på enhver måde, du vil: beregn en koefficient ved Heaviside-metoden, en anden ved Lagrange-metoden, og resten ved metoden med ubestemte koefficienter, som allerede vil være meget enklere, end hvis alle koefficienterne var ukendte . Anvendelse af egnede metoder i de nødvendige tilfælde vil gøre det muligt enkelt og effektivt at finde nedbrydningen.

Variationer og generaliseringer

I den euklidiske ring

Begrebet den enkleste fraktion kan generaliseres på en indlysende måde for feltet af fraktioner af den euklidiske ring . Vi kalder en brøk en egen brøk, hvis den euklidiske norm for dens tæller er mindre end den euklidiske norm for dens nævner. Vi kalder en egenbrøk den enkleste, hvis dens nævner i en eller anden grad indeholder et irreducerbart element. Så defineres nedbrydningen af en brøk til de simpleste som en repræsentation i form af en sum af et element fra den euklidiske ring og de simpleste brøker.

For enhver fraktion fra feltet af fraktioner af den euklidiske ring er der en nedbrydning til de simpleste, men ikke for nogen euklidisk ring vil den altid være unik. [18] For eksempel, over heltal, kan brøker have flere udvidelser: (her er den euklidiske norm modulet af et heltal, er den enkleste brøk, så det er en simpel udvidelse af sig selv, men samtidig var vi i stand til at opnå en udvidelse mere). ${\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}$ ${\frac {1}{4))$

Den enkleste nedbrydning er unik for alle elementer af kvotientfeltet for en euklidisk ring, hvis og kun hvis denne ring enten er et felt eller er isomorf med en polynomialring over et felt (desuden er den euklidiske norm ækvivalent med graden af en polynomium). [19] .

I heltal

For heltal kan en alternativ definition af faktorisering overvejes. Vi kræver, at alle de enkleste udtryk er positive. Så for ethvert rationelt tal er der en unik faktorisering til de simpleste. [tyve]

For eksempel er den eneste nedbrydning i simpleste udtryk med positive simpleste udtryk. Hvis de negative elementære udtryk tillades, vil udvidelsen, som det allerede er blevet vist ovenfor, ikke længere være unik. ${\frac {77}{12}}=5+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{3}}$

Se også

Noter

↑ Zorich, 2019 , s. 292.
↑ Krasnov, 1971 , s. 51.
↑ Krasnov, 1971 , s. 125.
↑ Faddeev, 1984 , s. 187.
↑ Faddeev, 1984 , s. 184.
↑ Faddeev, 1984 , s. 168.
↑ Brazier, 2007 , s. 2.
↑ Gustafson, 2008 , s. 2.
↑ Gustafson, 2008 , s. 5.
↑ Gustafson, 2008 , s. 3.
↑ Hazra, 2016 , s. 28.
↑ 12 Bauldry , 2018 , s. 429.
↑ Gustafson, 2008 , s. fire.
↑ Man, 2009 , s. 809.
↑ Brazier, 2007 , s. 809.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 502.
↑ Bauldry, 2018 , s. 430.
↑ Bradley, 2012 , s. 1526.
↑ Bradley, 2012 , s. 1527.
↑ Bradley, 2012 , s. 1528.

Litteratur

Zorich V. A. Matematisk analyse. Del 1 . - 10. udg. — M. : MTsNMO, 2019. — 564 s. (Russisk)
Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funktioner af en kompleks variabel. operationel beregning. Stabilitetsteorien . - M . : Nauka, 1971. - 256 s. (Russisk)
Faddeev DK Foredrag om Algebra . - M . : Nauka, 1984. - 416 s. (Russisk)
Bauldry WC Partial Fractions via Calculus // Daniel Alpay Problemer , ressourcer og problemer i matematik undergraduate Studies: Journal. - 2018. - 9. maj ( bind 28 , udg. 5 ). — S. 425–437 . — ISSN 1051-1970 . - doi : 10.1080/10511970.2017.1388312 .
Gustafson GB Heviside's Method (eng.) (pdf). Grant B. Gustafson på math.utah.edu (2008). Hentet: 1. juli 2021.
Brazier RA, Boman EC Hvordan man beregner den partielle fraktionnedbrydning uden virkelig at prøve // AMATYC Review: Journal. - 2007. - Bd. 21 , nr. 1 . — S. 20–29 . — ISSN 0740-8404 .
Hazra M. Decomposition of Partial Fractions Using Lagrange Method // Research Journal Of Pure Science : tidsskrift. - 2016. - Bd. 5 , nr. 2 . — S. 27–32 . — ISSN 2348-5361 .
Yiu-Kwong mand. En forbedret Heaviside-tilgang til delvis brøkudvidelse og dens anvendelser // International Journal of MathematicalEducation in Science and Technology: tidsskrift. - 2009. - 4. august ( bind 40 , udg. 6 ). — S. 808–814 . - doi : 10.1080/00207390902825310 .
Bradley WT, Cook WJ To beviser for eksistensen og unikheden af den partielle brøknedbrydning (engelsk) // International Mathematical Forum: tidsskrift. - 2012. - Bd. 7 , nr. 31 . — S. 1517–1535 .
Kudryavtsev L. D. Kursus i matematisk analyse. I 3 bind. Bind 1. Differential- og integralregning af funktioner af flere variable . - M . : Bustard, 2003. - 704 s. (Russisk)