Universel trigonometrisk substitution

Universal trigonometrisk substitution , i engelsk litteratur kaldet Weierstrass substitution efter Karl Weierstrass , bruges i integration til at finde antiderivater , bestemte og ubestemte integraler af rationelle funktioner af trigonometriske funktioner. Uden tab af generalitet kan vi i dette tilfælde betragte sådanne funktioner som rationelle funktioner af sinus og cosinus. Substitutionen bruger tangenten til en halv vinkel .

Substitution

Overvej problemet med at finde en antiafledt rationel funktion af sinus og cosinus.

Lad os erstatte sin x , cos x og differentialet dx med rationelle funktioner af variablen t , og deres produkt differentialet dt , som følger: [1]

{\begin{aligned}\sin x&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\\[8pt]\cos x&={\frac {1-t^{2}}{1+ t^{2}}}\\[8pt]dx&={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}}\end{aligned}}

for x -værdier, der ligger i intervallet

-\pi <x<\pi .

Introduktion af notation

Vi antager, at variablen t er lig med tangenten af en halv vinkel:

t=\operatørnavn {tg}{\frac {x}{2}}.

I intervallet − π < x < π , giver dette

x=2\operatørnavn {arctg} (t),

og efter differentiering får vi

dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}}.

Formlen for tangenten af en halv vinkel giver for sinus

{\begin{aligned}\sin x=\sin \left(2\operatørnavn {arctg}(t)\right)&=2\sin(\operatørnavn {arctg}(t))\cos(\operatørnavn {arctg} (t))\\[6pt]&=2\,{\frac {t}{{\sqrt {1+t^{2))))}\,{\frac {1}{{\sqrt {1 +t^{2}}}}}={\frac {2t}{1+t^{2}}},\end{aligned}}

og for cosinus giver formlen

{\begin{aligned}\cos x=\cos \left(2\operatørnavn {arctg}(t)\right)&=\cos ^{2}(\operatørnavn {arctg}(t))-\sin ^{ 2}(\operatørnavn {arctg}(t))\\[6pt]&=\venstre({\frac {1}({\sqrt {1+t^{2))))}\right)^{2 }-\venstre({\frac {t}{{\sqrt {1+t^{2}}}}}\right)^{2}={\frac {1-t^{2}}{1+ t^{2}}}.\end{aligned}}

Eksempler

Første eksempel

Lad os finde integralet

\int {\frac {1}{3-5\cos x}}\,dx.

Ved at bruge Weierstrass-substitutionen opnår vi

\int {\frac {1}{3-5\venstre({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)))\cdot {\frac {2\ ,dt}{1+t^{2}}}=\int {\frac {dt}{4t^{2}-1}}=\int {\frac {dt}{(2t-1)(2t+ en )}}.

For at beregne det sidste integral bruger vi udvidelsen af brøker :

{\begin{aligned}&{}\quad \int \left({\frac {1/2}{2t-1}}-{\frac {1/2}{2t+1}}\,\right) dt\\[6pt]&={\frac 14}\ln \left|2t-1\right|-{\frac 14}\ln \left|2t+1\right|+{\tekst{konstant))= {\frac 14}\ln \venstre|{\frac {2t-1}{2t+1}}\right|+{\tekst{konstant}}\\[6pt]&={\frac 14}\ln \ venstre|{\frac {2\operatørnavn {tg}\left({\frac x2}\right)-1}{2\operatørnavn {tg}\left({\frac x2}\right)+1}}\right |+{\text{konstant}}.\end{aligned}}

Yderligere kan vi ifølge halvvinkeltangensformlen erstatte tg( x / 2) med sin x / (1 + cos x ), og så får vi

{\frac 14}\ln \venstre|{\frac {2\sin x-1-\cos x}{2\sin x+1+\cos x}}\right|+{\tekst{konstant)),

eller vi kan også erstatte tg( x /2) med (1 − cos x )/sin x .

Andet eksempel: bestemt integral

Forskellen mellem bestemt og ubestemt integration er, at når vi beregner det bestemte integral, skal vi ikke konvertere den resulterende funktion fra variablen t tilbage til en funktion fra variablen x , hvis vi korrekt ændrer integrationsgrænserne.

For eksempel,

\int _{0}^{{\pi /6}}{\frac {1}{5+4\sin x}}\,dx=\int _{0}^{{2-{\sqrt {3 }}}}{\frac {1}{5+4\left({\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}}\,{\frac {2\,dt}{ 1+t^{2}}}

Hvis x ændres fra 0 til π /6, ændres sin x fra 0 til 1/2. Det betyder, at værdien 2 t /(1 + t 2 ) lig med sin ændres fra 0 til 1/2. Så kan man finde grænserne for integration over variablen t :

{\frac {2t}{1+t^{2}}}={\frac 12},

gange begge sider af ligningen med 2 og med (1 + t 2 ), får vi:

1+t^{2}=4t.

Ved at løse andengradsligningen får vi to rødder

t=2\pm {\sqrt {3)).

Spørgsmålet opstår: hvilken af disse to rødder passer til vores tilfælde? Det kan besvares ved at se på adfærden

\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}

som en funktion af x og som en funktion af t . Når x ændres fra 0 til π , ændres sin x -funktionen fra 0 til 1 og derefter tilbage til 0. Denne funktion går gennem værdien 1/2 to gange - når der skiftes fra 0 til 1, og når der skiftes tilbage fra 1 til 0. Når t skifter fra 0 til ∞, funktionen 2 t /(1 + t 2 ) ændres fra 0 til 1 (når t = 1) og derefter tilbage til 0. Den passerer værdien 1/2 ved ændring fra 0 til 1 og når skifter tilbage: første gang ved t = 2 − √3 og derefter igen ved t = 2 + √3.

Efter at have lavet simple algebraiske transformationer får vi