Kategori teori

Kategoriteori er en gren af matematikken , der studerer egenskaberne ved relationer mellem matematiske objekter , der ikke afhænger af objekters indre struktur.

Kategoriteori er central i moderne matematik [1] , og har også fundet anvendelser inden for datalogi [2] , logik [3] og teoretisk fysik [4] [5] . Den moderne udlægning af algebraisk geometri og homologisk algebra bygger i det væsentlige på begreberne kategoriteori. Generelle kategoribegreber bruges også aktivt i det funktionelle programmeringssprog Haskell [6] .

Definition

Kategori er: ${\mathcal {C}}$

objektklasse ; _ $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$
for hvert par objekter er der givet et sæt morfismer (eller pile) , og hver morfisme svarer til de eneste og ; $EN$ $B$ ${\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}}}(A,B)$ $EN$ $B$
for et par morfismer og sammensætningen er defineret ; $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}}(B,C)$ $g\circ f\in {\mathrm {Hom}}(A,C)$
for hvert objekt er identitetsmorfismen angivet ; $EN$ $\mathrm {id} _{A}\in \mathrm {Hom} (A,A)$

og to aksiomer er opfyldt :

kompositionsoperationen er associativ : og $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
identitetsmorfismen virker trivielt: for $f\circ \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{B}\circ f=f$ $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$

Lille kategori

En klasse af objekter er ikke nødvendigvis en mængde i betydningen aksiomatisk mængdeteori . En kategori , hvori er et sæt og (sættet af alle morfismer i kategorien) er et sæt, kaldes lille . Derudover er det muligt (med en lille korrektion af definitionen) at overveje kategorier, hvor morfismer mellem to vilkårlige objekter også danner en klasse eller endda en større struktur [7] . I denne variant af definitionen siges en kategori, hvor morfismer mellem to faste objekter danner et sæt, at være lokalt lille . ${\mathcal {C}}$ $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})$

Eksempler på kategori

Sæt er en kategori af sæt . Objekter i denne kategori er sæt , morfismer er afbildninger af sæt.
Grp er en kategori af grupper . Objekter er grupper, morfismer er afbildninger, der bevarer gruppestrukturen ( gruppehomomorfismer ).
Vect K er kategorien af vektorrum over feltet K . Morfismer er lineære afbildninger .
Kategori af moduler .

Kategorier for andre algebraiske systemer er defineret på samme måde .

Top er en kategori af topologiske rum . Morfismer er kontinuerlige kortlægninger .
For enhver poset kan man konstruere en lille kategori, hvis objekter er sættets elementer , og mellem elementerne x og y er der en unik morfisme, hvis og kun hvis x ≤ y (selvfølgelig skal denne kategori skelnes fra kategorien af delvist bestilte sæt!).
Met er en kategori, hvis objekter er metriske rum, og hvis morfismer er korte afbildninger .

Kommutative diagrammer

Kommutative diagrammer er standardmetoden til at beskrive kategoriteoretiske udsagn . Et kommutativt diagram er en rettet graf med objekter i dets toppunkter og morfismer som pile , og resultatet af sammensætningen af pilene afhænger ikke af den valgte sti. For eksempel kan kategoriteoriens aksiomer (sammensætningens associativitet og identitetsmorfismeegenskaber) skrives ved hjælp af diagrammer:

Dualitet

For en kategori kan du definere en dobbelt kategori , hvor: ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}^{{op}}$

objekterne matcher objekterne i den oprindelige kategori;
morfismer opnås ved at "vende pilene": ${\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}^{{op}}}}(B,A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}} }(A,B)$

Dualitetsprincippet siger, at for ethvert udsagn om kategoriteori er det muligt at formulere et dobbelt udsagn ved at bruge pilevending, mens udsagnets sandhed ikke ændres. Ofte er et dobbeltbegreb betegnet med det samme udtryk med præfikset co- (se eksempler nedenfor).

Grundlæggende definitioner og egenskaber

Isomorfisme, endomorfi, automorfi

En morfisme kaldes en isomorfisme , hvis der eksisterer en morfisme sådan, at og . To objekter, mellem hvilke der er en isomorfi, siges at være isomorfe . Især identitetsmorfismen er en isomorfi, så ethvert objekt er isomorf for sig selv. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}}(B,A)$ $g\circ f=\mathrm {id} _{A}$ $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$

Morfismer, hvor begyndelsen og slutningen falder sammen, kaldes endomorfismer . Sættet af endomorfismer er en monoid med hensyn til kompositionens funktion med identitetselementet . ${\mathrm {End}}(A)={\mathrm {Hom}}(A,A)$ $\mathrm {id} _{A}$

Endomorfismer, der også er isomorfier, kaldes automorfier . Automorfierne af ethvert objekt danner en automorfigruppe efter sammensætning. ${\mathrm {Aut}}(A)$

Monomorfisme, epimorfi, bimorfi

En monomorfi er en sådan morfisme, at for enhverafden følger, at. Sammensætningen af monomorfismer er en monomorfi. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}}(X,A)$ $f\cirkel g_{1}=f\cirkel g_{2}$ $g_{1}=g_{2}$

En epimorfi er en morfismesådan, at for enhveraffølgende. Sammensætningen af epimorfismer er en epimorfi. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}}(B,X)$ $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ $g_{1}=g_{2}$

En bimorfi er en morfisme, der både er en monomorfi og en epimorfi. Enhver isomorfi er en bimorfi, men ikke enhver bimorfi er en isomorfi.

Monomorfisme, epimorfi og bimorfi er generaliseringer af begreberne henholdsvis injektiv , surjektiv og bijektiv kortlægning. Enhver isomorfisme er en monomorfi og en epimorfi; det modsatte er generelt set ikke sandt for alle kategorier.

Initial- og terminalobjekter

Det oprindelige (indledende, universelt frastødende) objekt i en kategori er et sådant objekt, hvorfra der er en unik morfisme til ethvert objekt i kategorien.

Hvis der findes initialobjekter i en kategori, så er de alle isomorfe.

På en dobbelt måde er et terminal eller universelt tiltrækkende objekt defineret - dette er et sådant objekt, som fra ethvert objekt i kategorien er en unik morfisme.

Et kategoriobjekt kaldes null , hvis det både er initialt og terminalt.

Eksempel: I kategorien Sæt er startobjektet et tomt sæt , terminalobjektet er ethvert sæt af ét element .

\varnothing

\{\cdot \}

Eksempel: Der er et null-objekt i kategorien Grp - dette er en gruppe af ét element.

Produkt og sum af objekter

Produktet (parret) af objekterne A og B er et objektmed morfismerogsådan, at der for ethvert objektmed morfismereren unik morfisme, således at diagrammet vist til højre er kommutativt. Morfismerkaldes projektioner . _ $A\ gange B$ $p_{1}:A\gange B\til A$ $p_{2}:A\gange B\til B$ $C$ $f_{1}:C\til A$ $f_{2}:C\til B$ $g:C\til A\gange B$ $p_{1}:A\gange B\til A$ $p_{2}:A\gange B\til B$

Summen eller biproduktet af objekter og er dobbelt defineret . De tilsvarende morfismer kaldes indlejringer . På trods af deres navn er de generelt ikke monomorfier . $A+B$ $EN$ $B$ $\imath _{A}:A\til A+B$ $\imath _{B}:B\til A+B$

Hvis et produkt og et biprodukt eksisterer, så er de unikt bestemt op til isomorfi.

Eksempel: I kategorien Mængde er produktet af A og B et direkte produkt i betydningen mængdelære , og summen er en usammenhængende forening .

A\ gange B

A \sqcup B

Eksempel: I kategorien Ring er summen tensorproduktet, og produktet er den direkte sum af ringene .

Nogle gange B

A\oplus B

Eksempel: I kategorien Vect K (endelig) er produktet og summen isomorfe - dette er den direkte sum af vektorrum .

A\oplus B

Det er let at definere produktet af enhver familie af objekter på en lignende måde . Uendelige produkter er generelt meget mere komplicerede end endelige produkter. For eksempel, mens endelige produkter og biprodukter i Vect K er isomorfe til direkte summer, er uendelige produkter og biprodukter ikke isomorfe. Elementerne i et uendeligt produkt er vilkårlige uendelige sekvenser af elementer , mens elementerne i et uendeligt biprodukt er sekvenser, hvor kun et begrænset antal led er ikke-nul. $\prod _{{i\in I}}A_{i}$ $\prod _{{i\in I}}V_{i}$ $v_{i}\in V_{i}$ $\coprod _{{i\in I}}V_{i}$

Funktioner

Funktioner er strukturbevarende kategoritilknytninger. Mere præcist,

En (kovariant) funktor forbinder hvert kategoriobjekt med et kategoriobjekt og hver morfisme med en morfisme , således at ${\mathcal {F}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ $f:A\til B$ $F(f):{\mathcal {F}}(A)\to {\mathcal {F}}(B)$

${\displaystyle F(\mathrm {id} _{A})=\mathrm {id} _{F(A)))$ og
$F(g)\cirkel F(f)=F(g\cirkel f)$ .

En kontravariant funktor , eller cofunctor , kan forstås som en kovariant funktor fra til (eller fra til ), altså "en funktor, der vender pile". Han forbinder nemlig med hver morfisme morfismen , og sammensætningsreglen er derfor omvendt: . ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}^{{op}}$ ${\mathcal {C}}^{{op}}$ ${\mathcal {D}}$ $f:A\til B$ $F(f):{\mathcal {F}}(B)\to {\mathcal {F}}(A)$ $F(g)\cirkel F(f)=F(f\cirkel g)$

Naturlige transformationer

Begrebet naturlig transformation udtrykker forholdet mellem to funktioner. Funktioner beskriver ofte "naturlige konstruktioner", i denne forstand beskriver naturlige transformationer "naturlige morfismer" af sådanne konstruktioner.

Hvis og er kovariante funktiontorer fra kategorien til , så tildeler den naturlige transformation hvert objekt i kategorien en morfisme på en sådan måde, at for enhver morfisme i kategorien er følgende diagram kommutativt: $F$ $G$ $C$ $D$ $\eta$ $x$ $C$ $\eta_X: F(X)\til G(X)$ $f:X\til Y$ $C$

To funktorer siges at være naturligt isomorfe , hvis der er en naturlig transformation mellem dem, sådan at det er en isomorfi for enhver . $\eta _{X}$ $x$

Nogle typer kategorier

Se også

Noter

↑ Helemsky, 2004 .
↑ Rydeheard, Burstall, 1988 .
↑ Goldblatt, 1983 .
↑ Rodin, 2010 .
↑ Ivanov .
↑ Kategoriteori i Haskell .
↑ J. Adámek, H. Herrlich, GE Strecker Abstrakte og konkrete kategorier: The joy of cats Arkiveret 25. marts 2010 på Wayback Machine , - New York: John Wiley and Sons, - 1990.

Litteratur

S. Maclane [Maclane S.] Kategorier for den arbejdende matematiker . - Moskva: Fizmatlit, 2004. (Russisk)
S. Maclane [Maclane S.] Homologi . - Moskva: Mir , 1966. - T. 114. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Russisk)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Kategorier . - 1969. - T. 06. - (VINITI - Resultater af videnskab og teknologi, Algebra-Topologi-Geometri). (Russisk)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Forelæsninger om kategoriteori . - Moskva: Nauka , 1970. (Russisk)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Fundamentals of kategoriteori . - Moskva: Nauka , 1974. (Russisk)
Bucur I., Deleanu A. Introduktion til teorien om kategorier og funktioner . - Moskva: Mir , 1972. - S. 259. (Russisk)
Faith [Faith C.] bind 1 // Algebra - ringe, moduler og kategorier . - Moskva: Mir , 1977. - T. 190. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Russisk)
Faith [Faith C.] bind 2 // Algebra - ringe, moduler og kategorier . - Moskva: Mir , 1977. - T. 191. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Russisk)
Gabriel [Gabriel P.], Zisman [Zisman M.] Kategorier af kvotienter og homotopi teori . - Moskva: Mir , 1977. - T. 35. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Russisk)
Goldblatt [Goldblatt R.] Topoi - kategorisk analyse af logik . - 1983. - T. 98. - ( Studies in logic & foundation of mathematics ). (Russisk)
Fulton E, MacPherson R. Kategorisk tilgang til studiet af rum med singulariteter / red. Buchstaber V. M .. - 1983. - T. 33. - ( Ny i fremmedvidenskab, matematik ). (Russisk)
Artamonov V. A., Salii V. N., Skornyakov L. A., Shevrin L. N., Shulgeifer E. G. General Algebra . - Moskva: Nauka , 1991. - T. 2. - 480 s. - ( Nyt i udenlandsk videnskab, matematik ). — 25.500 eksemplarer. — ISBN 5-02-014427-4 . (Russisk)
DE Rydeheard, RM Burstall. Beregningskategoriteori . _ - New York: Prentice Hall, 1988. - 257 s. — ISBN 0-13-162736-8 .
Helemsky A. Ya. Forelæsninger om funktionel analyse . - Moskva: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (Russisk)
R. Goldblatt. Topoi. Kategorisk analyse af logik = Topoi. Den kategoriale analyse af logik . - Moskva: Mir , 1983. - 488 s. (Russisk)
Rodin A. V. Kategoriteori og søgen efter nye matematiske grundlag for fysik // Filosofiens spørgsmål . - 2010. - Nr. 7 . - S. 67 .

Grene af matematik

Portal "Science"

Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementær algebra	Ligningsløsning
Lineær algebra	Vektorregning matricer Tensorregning Multilineær algebra
Generel algebra	Kommutativ algebra Repræsentationsteori Differentiel algebra Homologisk algebra Universal Algebra Kategori teori

Analyse
Klassisk analyse	Differentialregning Integralregning
Funktionsteori	Harmonisk analyse Kvaternion Analyse Kompleks analyse måle teori Teori om funktioner af en reel variabel funktionel analyse Variationsberegning
Differential- og integralligninger	Dynamiske systemer og ergodisk teori Differentialligninger almindelig i partielle derivater Integralligninger
Vektoranalyse Global Analyse Katastrofe teori Tilpasset analyse Glat infinitesimal analyse

Geometri og topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Ikke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Generel topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri og topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Anvendt matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriske metoder matematisk økonomi finansiel matematik Sandsynlighedsteori Operationsforskning Spilteori

Portal "Matematik"
Kategori "Matematik"