Dualitet (kategoriteori)

Dualitet i kategoriteori er forholdet mellem egenskaberne for kategori C og de såkaldte dobbelte egenskaber af dobbeltkategori C op . Tager vi udsagnet om kategori C og bytter billedet og præbilledet af hver morfisme, samt rækkefølgen, som morfismerne anvendes i, får vi den dobbelte udsagn om kategorien C op . Princippet om dualitet er, at sande udsagn efter en sådan operation bliver sande, og falske udsagn bliver falske.

Formel definition

Kategorieteoriens sprog defineres som et førsteordenssprog med to slags symboler, objekter og morfismer, med en genstands egenskab til at være et billede eller en prototype på en morfisme og et symbol for sammensætningen af morfismer.

Lad σ være et hvilket som helst ord i sproget. Dets dobbeltord σ op er dannet af følgende regler:

skift alle "billeder" med "forbilleder" i σ ,
omvendt rækkefølgen af sammensætning af morfismer, det vil sige, erstatte alle forekomster med . $g\circf$ $f \cirkel g$

Med andre ord skal du vende alle pile og omarrangere argumenterne for alle sammensætninger .

Dualitet er den observation, at σ gælder i en eller anden kategori C , hvis og kun hvis σ op gælder i C op .

Eksempler

En morfisme er en monomorfi , når den følger af . Ved at anvende dualitetens operation får vi den påstand, der følger af . For en morfisme betyder det præcis, at f er en epimorfi af . Egenskaben "at være en monomorfi" er således dobbelt med egenskaben "at være en epimorfi". $f\colon A\to B$ $f\cirkel g=f\cirkel h$ $g=h$ $g\cirkel f=h\cirkel f$ $g=h$ $f\colon B\to A$
Limit og colimit er to begreber.
Det indledende objekt og terminalobjektet er dobbeltbegreber.

Litteratur

I. M. Vinogradov. Dobbelt kategori // Matematisk encyklopædi. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1977-1985. (Russisk)
I. M. Vinogradov. Dualitetsprincippet // Matematisk encyklopædi. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1977-1985. (Russisk)
I. M. Vinogradov. S-dualitet // Matematisk Encyklopædi. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1977-1985. (Russisk)
McLane S. Kapitel 2. Konstruktioner i kategorier // Kategorier for den arbejdende matematiker = Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 43-67. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .