Generisk ejendom

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. december 2018; verifikation kræver 1 redigering .

På mange områder af matematikken kan en nyttig konstruktion ofte ses som den "mest effektive løsning" på et bestemt problem. Definitionen af ​​en universel egenskab bruger kategoriteoriens sprog for at gøre denne definition præcis og studere den med teoretiske metoder.

Denne artikel giver en generel beskrivelse af den generiske egenskab. For bedre at forstå dette koncept, vil det være nyttigt først at studere et par eksempler, hvoraf der er en hel del: direkte produkt og coproduct , free group , Grothendieck group , Stone-Cech compactification , tensor product , direct limit og invers limit , kerne og cokernel , Cartesian square , og codecartes square , equalizer og co-equalizer .

Motivation

Inden vi giver en formel definition, giver vi en motivation til at studere sådanne konstruktioner.

Formel definition

Lad U : D → C  være en funktion fra kategori D til kategori C , og lad X  være et objekt af kategori C . Overvej følgende dobbelte definitioner:

Den indledende (frastødende) pil fra X til U  er det indledende objekt i kategorien morfismer fra X til U . Med andre ord er det et par ( A , φ ), hvor A  er et objekt i kategorien D og φ: X → U ( A ) er en morfisme i kategorien C , således at følgende indledende egenskab gælder :

En terminal (attraktiv) pil fra U til X  er et terminalobjekt i kategorien morfismer fra U til X . Med andre ord er det et par ( A , φ ), hvor A  er et objekt i kategorien D og φ: U ( A ) → X  er en morfisme i kategorien C , således at følgende terminalegenskab gælder :

Udtrykket universel pil betyder "initial eller terminal pil", udtrykket generisk egenskab betyder "initial eller terminal egenskab".

Eksempler

Her vil der blive givet flere eksempler for at illustrere den generelle idé. Læseren vil være i stand til at konstruere mange flere eksempler ved at læse de artikler, der er citeret i indledningen.

Tensor algebraer

Lad C  være kategorien af ​​vektorrum over et felt K og D  kategorien af ​​associative algebraer over K . Overvej den glemsomme funktionær

U  : K -Alg → K -Vect

at tildele hver algebra det underliggende vektorrum.

Givet et vilkårligt objekt X fra K-Vect  — et vektorrum V  — kan man få dets tensoralgebra T(V) . Det er nemlig kendetegnet ved følgende universelle egenskab:

"Enhver lineær kortlægning fra V til en K - algebra A kan udvides unikt til en algebrahomomorfi T(V) → A ."

Dette udsagn beskriver den indledende egenskab af tensoralgebra, det vil sige, at parret ( T ( V ), i ), hvor i  : V → T ( V ) er standardindlejringen, er startpilen fra vektorrummet V til funktoren U . Vi har fået en funktor T fra K -Vect til K -Alg. Det betyder, at T er venstre adjunktfunktion til den glemsomme funktor U (se afsnittet om sammenhæng med adjunktfunktioner).

Virker

Et produkt i kategoriteori kan karakteriseres ved dets universelle egenskab. Lad nemlig X og Y  være objekter af kategorien D , og C  være produktet af kategorierne D × D . Vi definerer den diagonale funktion

Δ : D → D × D

som Δ( X ) = ( X , X ) og Δ( f  : X → Y ) = ( f , f ). Så hvis ( A , φ ) er en terminalpil fra Δ til ( X , Y ) er et objekt af kategori D × D , så er A  et objekt i kategori D , kaldet det direkte produkt af X × Y , og φ er en et par fremspring

π 1  : X × Y → X π 2  : X × Y → Y .

Egenskaber

Eksistens og unikhed

At definere en egenskab garanterer ikke eksistensen af ​​en genstand, der opfylder den. Hvis en sådan ( A , φ) eksisterer, så er den unik. Mere præcist er det unikt op til en unik isomorfi. Lad os tjekke dette for den indledende pilecase: hvis ( A ′, φ ) er et andet sådant par, så er der en unik isomorfi k : A → A ′ sådan, at φ′ = U ( k )φ. Dette kan let ses ved at erstatte ( Y , f ) fra definitionen af ​​initialegenskaben med ( A ′, φ′).

Tilsvarende formuleringer

Definitionen af ​​en universel pil kan omformuleres på mange måder. Lad U  være en funktion fra D til C , X  et objekt i kategori C. Så er følgende udsagn ækvivalente:

såvel som deres dobbelte formuleringer.

Forbindelse med tilstødende funktioner

Lad ( A 1 , φ 1 ) være startpilen fra X 1 til U og ( A 2 , φ 2 ) være startpilen fra X 2 til U . Ved den oprindelige egenskab svarer enhver morfisme h : X 1 → X 2 til en unik morfisme g : A 1 → A 2 , således at følgende diagram er kommutativt:

Hvis hvert objekt X i i kategori C tillader en initial pil i U , så svarer korrespondancen og definerer en funktion V fra C til D . Og afbildningerne φ i definerer så en naturlig transformation fra 1 C (identitetsfunktion C ) til UV . Funktionerne ( V , U ) danner et par adjunkter . Lignende udsagn er sande i den dobbelte situation af terminale morfismer fra U , i hvilket tilfælde ( U , V ) vil være et par adjoint-funktionorer.

Faktisk fås alle par af tilstødende funktorer fra konstruktioner af denne art. Lad F : С → D og G : D → C  være et par adjointfunktionorer med identitet η og count ε (se artiklen adjointfunktionorer ). Så er der universelle morfismer for hvert objekt i kategori C og D :

Universelle konstruktioner er mere generelle end konstruktioner af konjugerede funktorer: en universel konstruktion ligner et optimeringsproblem, og et par adjoint funktiontorer er kun defineret, hvis dette problem har en løsning for alle objekter i kategorien.

Historie

De universelle egenskaber ved mange topologiske konstruktioner blev beskrevet af Pierre Samuel i 1948. Senere blev de aktivt brugt af Bourbaki . Det nært beslægtede koncept med tilstødende funktioner blev uafhængigt foreslået af Daniel Kahn i 1958.

Noter

Litteratur