Kategori objekt

Kategoriobjekt - et grundlæggende, udefineret begreb for kategoriteori , brugt til at betegne elementer i en kategori, som kan være matematiske objekter , forenet af en given kategori til en mængde - disse kan for eksempel være mængder (objekter i kategorien af mængder ), algebraiske systemer af en bestemt klasse (for eksempel er ringe objekter af kategorien ringe ), topologiske rum (objekter af kategorien topologiske rum ), skemaer (objekter af kategorien af skemaer ).

Ud over klassen af objekter består hver kategori også af en klasse af morfismer — samlinger af transformationer af objekter; samtidig kan morfismer af én kategori betragtes som objekter i en anden, eller omvendt, det vil sige, at opdelingen af komponenterne i en kategori i objekter og morfismer kun giver mening inden for en fast kategori.

For en given kategori er klassen af dens objekter normalt betegnet med . Hvert objekt svarer til en enkelt enhedsmorfisme , desuden unik i denne kategori, det vil sige, at enhedsmorfismer af forskellige objekter ikke kan falde sammen. Takket være dette faktum er det muligt at definere begrebet en kategori uden at ty til introduktionen af objekter, men kun ved hjælp af morfismer. Derudover kaldes objekter i konstruktionerne af teorien om højere kategorier "0-morfismer", objektmorfismer (morfismer i sædvanlig forstand) - "1-morfismer", morfismer af morfismer - "2-morfismer" og så på og understreger derved genstandenes almene karakter og deres transformationer i et kategorisk sprog. Begrebet et kategoriobjekt er dog praktisk til at beskrive den tilsvarende slags elementer, så det bruges næsten altid. ${\mathcal C}$ $Ob_{{\mathcal C}}$ $A\in Ob_{{\mathcal C}}$ $1_{A}\kolon A\til A$

Nogle typer objekter

Et objekt kaldes et universelt tiltrækkende (terminalt) objekt, hvis der er en unik morfisme for et objekt . $P\in Ob\,{\mathcal C}$ $A\in Ob\,{\mathcal C}$ $A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}P$
Et objekt kaldes et universelt frastødende (initial, initial) objekt, hvis der er en unik morfisme for et objekt . $R\in Ob\,{\mathcal C}$ $A\in Ob\,{\mathcal C}$ $R{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A$
Et objekt kaldes null , hvis det både er universelt attraktivt og frastødende. $R\in Ob\,{\mathcal C}$

Litteratur

McLane S. Kapitel 1. Kategorier, funktorer og naturlige transformationer // Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .