Modulkategori
En kategori af moduler er en kategori, hvis objekter er højre (venstre eller tosidede, efter forudgående aftale) enhedsmoduler over en vilkårlig associativ ring K med enhed, og hvis morfismer er homomorfismer af K-moduler.
Denne kategori er det vigtigste eksempel på en abelsk kategori . Desuden er der for enhver lille Abel-kategori en fuldstændig nøjagtig indlejring i nogle kategorier af moduler. Egenskaberne for kategorien af moduler afspejler en række vigtige egenskaber ved ringen , en række vigtige egenskaber ved ringen er forbundet med denne kategori, især dens homologiske dimensioner og til dels dens indre struktur. Kategorien af moduler over en kommutativ endeligt genereret ring indeholder hele den algebro-geometriske karakteristik af det affine skema af spektret af en ring (en af Serres teoremer ).
Kategorier af moduler over forskellige ringe kan være ækvivalente (det vil sige have det samme sæt af klasser af isomorfe objekter, der er i samme forhold til hinanden). I dette tilfælde siges de tilsvarende ringe at være Morita-ækvivalente . For eksempel er kategorier af moduler over algebraer af matricer af forskellig rækkefølge ækvivalente med hinanden, men med et fælles felt. Alle svarer til kategorien af mellemrum over det samme felt.
Eksempler
- Hvis er ringen af heltal, så er kategorien af moduler kategorien af Abelske grupper.
- Hvis der er et felt , så er kategorien af moduler kategorien af vektorrum over .
Litteratur
- Face K. Algebra: Ringe, moduler, kategorier, bind 1,2. - M . : "Mir", 1977-79, - 688 s. + 464 s.
- Kash F. Moduler og ringe. - M . : "Mir", 1981, - 368 s.
- Lambek I. Ringe og moduler . - M . : "Mir", 1971, - 280 s.