Steinmetz' krop

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. januar 2022; checks kræver 14 redigeringer .

Et Steinmetz-legeme er et legeme opnået ved skæringspunktet mellem to eller tre cylindre med samme radius vinkelret på hinanden . Hver kurve dannet af skæringspunktet mellem cylindre er en ellipse.

Skæringspunktet mellem to cylindre kaldes en bicylinder . Topologisk set svarer bicylinderen til det firkantede osohedron . Der er også kroppe, der i formation ligner Steinmatz' legeme, for eksempel: skæringspunktet mellem tre cylindre kaldes en tricylinder, og halvdelen af en cykel kaldes en hvælving [1] . [2] Den hvælvede hvælving i arkitektur er også en hvælving.

Steinmetz-legemerne er opkaldt efter matematikeren Charles Proteus Steinmetz [3] , som løste problemet med at finde skæringsvolumenet. Dette problem blev dog løst længe før ham af Archimedes i det antikke Grækenland [4] [5] , Zu Chongzhi i det gamle Kina [6] og Piero della Francesca under den tidlige italienske renæssance [4] .

Cylinder

En bicylinder dannet af to cylindre med radier har et volumen: , og et overfladeareal [1] [7] . $r$ $V={\frac {16}{3}}r^{3}$ $S=16r^{2}$

Den øverste halvdel af cyklen er en firkantet version af den lukkede hvælving , en hvælvet krop hviler på en konveks polygon, hvis vandrette sektioner er reducerede kopier af basen. Der er lignende formler til beregning af volumen og overfladearealet af en lukket bue som de tilsvarende mængder (med nogle rationelle koefficienter) af et prisme med samme base [8] .

Udledning af volumenformlen

For at opnå volumenformlen er det praktisk at bruge den generelle idé om at beregne volumenet af en kugle - summeringen af tynde cylindriske lag. I vores tilfælde vil lagene være kvadratiske parallelepipeder (se figur). Så får vi:

V=\int _{-r}^{r}(2x)^{2}\mathrm {d} z=4\cdot \int _{-r}^{r}x^{2}\ mathrm {d} z=4\cdot \int _{-r}^{r}(r^{2}-z^{2})\mathrm {d} z={\frac {16}{3)) r^{3}

Det er kendt, at rumfanget af keglen indskrevet i halvkuglen (med halvkuglens højde og hvilende på bunden af halvkuglen), halvkuglen og cylinderen beskrevet rundt om kuglen (med halvkuglens højde) er relateret som 1: 2: 3. Lignende udsagn gælder for halvdelen af cyklen:

Forholdet mellem rumfanget af den indskrevne firkantede pyramide ( ), halvdelen af cyklen ( ) og det omskrevne rektangulære parallelepipedum ( ) er lig med 1: 2: 3. $a=2r,h=r,V={\frac {4}{3}}r^{3}$ $V={\frac {8}{3}}r^{3}$ ${\displaystyle a=2r,\,h=r,\,V=4r^{3))$

Analytisk udledning

Overvej cylinderformlerne:

$x^{2}+z^{2}=r^{2}$ og ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2))$

Volumen er givet ved formlen:

$V=\iiint _{V}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x$

Med grænser for integration:

$-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant z\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

$-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant y\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

$-r\leqslant x\leqslant r$

Ved udskiftning får vi:

$V=\int \limits _{-r}^{r}\int \limits _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2))))^{\sqrt {r^ {2}-x^{2}}}\int \limits _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{ 2))}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x=8r^{3}-{\frac {8r^{3}}{3}}={\frac {16r^ {3}}{3}}$

Bevis for områdeformlen

Den undersøgte overflade består af to røde og to blå cylindriske bicagoner. Den ene røde digon er delt i to af yz-planet og udfoldet på planet, således at halvdelen af cirklen (skæringen med yz-planet) udfoldes i den positive -akse, og den udfoldede tokant er afgrænset ovenfra af en bue . Derfor er arealet af denne udfoldede figur (halvdelen af diagonen) lig med: $\xi$ $\eta =r\sin \left({\frac {\xi }{r}}\right),\ 0\leqslant \xi \leqslant \pi r$

B=\int _{0}^{\pi r}r\sin \left({\frac {\xi}{r))\right)\mathrm {d} \xi =2r^{2}

og det samlede overfladeareal er:

A=8\cdot B=16r^{2}

Alternativt bevis for volumenformlen

Udgangen af volumen af en cykel (hvid) kan udføres ved at pakke i en terning (rød). Skæringspunktet mellem et plan (parallelt med cylinderens akser) og en bicylinder danner en firkant, og skæringen med en terning danner en større firkant. Forskellen mellem arealerne af disse to firkanter er den samme som de 4 små firkanter (blå). Når flyet bevæger sig gennem kroppen, danner disse blå firkanter firkantede pyramider med ligebenede flader i hjørnerne af kuben. Pyramider har toppunkter i midten af de fire kanter af terningen. Flyets fremføring gennem hele cyklen vil skitsere 8 pyramider.

Zu Chongzhis metode (svarende til den udelelige metode ) til at beregne volumenet af en kugle involverer at beregne volumenet af en cykel.
Forholdet mellem tværsnitsarealet af overfladen af en cykel og tværsnittet af en terning

Rumfanget af en terning (rød) minus rumfanget af otte pyramider (blå) er lig med volumenet af en cykel (hvid). Rumfanget af 8 pyramider er , og vi kan nu beregne rumfanget af en cykel $\textstyle 8\ gange {\frac {1}{3}}r^{2}\times r={\frac {8}{3}}r^{3}$ $\textstyle (2r)^{3}-{\frac {8}{3}}r^{3}={\frac {16}{3}}r^{3}$

Tricylinder

Skæringspunktet mellem tre cylindre med vinkelrette skærende akser danner overfladen af et legeme med hjørner, som hver konvergerer 3 kanter, og hjørner, som hver konvergerer 4 kanter. Nøglen til bestemmelse af volumen og overfladeareal er observationen, at en tricylinder kan samles af en terning, hvis spidser falder sammen med spidserne af en tricylinder, hvor 3 kanter konvergerer (se figur), og 6 buede pyramider (trekanter er dele). af cylindrenes overflader). Rumfanget og overfladearealet af buede trekanter kan beregnes på samme måde som ovenfor for en cykel [1] [7] .

Volumenet af en tricylinder er:

V=8(2-{\sqrt {2}})r^{3}

Og overfladearealet er:

A=24(2-{\sqrt {2}})r^{2}.

Krydser flere cylindre

For fire cylindre, hvis akser svarer til højden af tetraederet , er volumen [1] [7] :

V fire = 12 ( 2 2 − 6 ) r 3 {\displaystyle V_{4}=12\left(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}\right)r^{3}\,}

V_{4}=12\left(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}\right)r^{3}\,

For seks cylindre, hvis akser er parallelle med diagonalerne på terningens flader , er volumen [1] [7] :

V_{6}={\frac {16}{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}-4{\sqrt {2}}\right)r^{3}\,

Se også

Nail

Noter

↑ 1 2 3 4 5 Steinmetz Solid ? . matematik verden. . Hentet 27. oktober 2021. Arkiveret fra originalen 28. oktober 2021. (ubestemt)
↑ Hvælvingen er en variant af den lukkede hvælving. Den lukkede hvælving har et rektangel i bunden, den hvælvede hvælving har en firkant.
↑ Eves, 1981 , s. 111.
↑ 12 Peterson , 1997 , s. 33-40.
↑ Hogendijk, 2002 , s. 199-203.
↑ Swetz, 1995 , s. 142-145.
↑ 1 2 3 4 Moore, 1974 , s. 181-185.
↑ Apostol, Mnatsakanian, 2006 , s. 521-540.

Litteratur

Howard Eves. Slicing it tynd // Den matematiske Gardner, Wadsworth International. - 1981. - S. 111.
Jan Hogendijk. Cylinderens overfladeareal og Archimedes' Metode // Historia Mathematica . - 2002. - T. 29 , no. 2 . — S. 199–203 . - doi : 10.1006/hmat.2002.2349 .
Frank J. Swetz. Rumfanget af en kugle: En kinesisk afledning // Matematiklæreren. - 1995. - Februar ( bind 88 , hæfte 2 ). — S. 142–145 . — .
Mark A. Peterson. Piero della Francescas geometri // Den matematiske intelligenser . - 1997. - T. 19 , no. 3 . — S. 33–40 . - doi : 10.1007/BF03025346 .
Moore, M. Symmetriske skæringspunkter mellem højre cirkulære cylindre // The Mathematical Gazette . - 1974. - T. 58 , no. 405 . — S. 181–185 . - doi : 10.2307/3615957 . — .
Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. Faste stoffer, der omskriver sfærer // American Mathematical Monthly . - 2006. - T. 113 , no. 6 . — S. 521–540 . doi : 10.2307 / 27641977 . — .

Links

En 3D-model af Steinmetz solid i Google 3D Warehouse

Udsnit af reel analyse
Grundlæggende om analyse	Euler funktion $\phi(n)$ Jordan funktion Binomial sætning konveks funktion kontinuerlig visning Faktoriel Endelige forskelle Frie og bundne variable Funktionsgraf Lineær funktion Radian Rolles sætning Sekant Hældning Tangent
grænser	Offentliggørelse af usikkerheder Funktionsgrænse Ensidig grænse Sekvensgrænse Tilnærmelsesrækkefølge (ε, δ)-definition af en grænse
Differentialregning _	Funktionsafledt Differentialligning Differentialoperatør Middelsætning Notation Leibniz notation Newton notation Differentieringsregler Linearitet Gradsdifferentiering Kompleks funktionsdifferentiering L'Hopitals regel produktregel Leibniz formel Afledt af en brøk Andre teknikker Implicit differentiering Omvendt funktionsdifferentiering logaritmisk afledet Relaterede odds Stationære punkter Første afledte test Anden afledt test Extrema-sætningen Extremum Andre applikationer Newtons metode Taylor teorem
Integral	antiderivat Kurven længde Integrationskonstant Analyses hovedsætning Differentiering under integraltegn Integration af dele Substitutionsmetode Trigonometrisk substitution Euler udskiftninger Weierstrass udskiftning Nedbrydning til simpleste Kvadratisk integral Trapezmetode Bind Vaskemetode Subplot integration
Vektoranalyse _	Derivater Rotor Retningsbestemt afledt Divergens Gradient Laplacian Grundlæggende teoremer gradientsætning Greens teorem Stokes' sætning Gauss-Ostrogradsky formel
Analyse af funktioner af mange variable	Gauss-Ostrogradsky formel Geometrisk Analyse Hessiske funktioner Jacobiansk matrix Lagrange multiplikatorer Krumt integral Matrix Analyse Multipel integral Delvis afledt Overfladeintegraler Volumenintegral Yderligere kapitler Differentielle former Ekstern afledt Generaliseret Stokes' sætning tensoranalyse )
Sekvenser og rækker	Aritmetisk-geometrisk progression Typer af rækker skilt skiftevis Binomial Fourier-serien geometriske serier Harmonisk Række Strøm Maclaurin Taylor Teleskopisk Tegn på konvergens abel Leibniz Cauchy Sammenligningstegn Dirichlet Integral Grænse sammenligning D'Alembert Radikal Nødvendig tilstand
Særlige funktioner og tal	Bernoulli tal e (nummer) Eksponentiel funktion naturlig logaritme Stirling formel
Analyse af infinitesimals	Tilstrækkelighed Brooke Taylor Colin Maclaurin Algebras universalitet Gottfried Wilhelm Leibniz Uendeligt små og uendelige store Isaac Newton Fluxioner Flux metode Kontinuitetsprincippet Leonard Euler Metode til mekaniske teoremer