Weierstrass' sætning om en funktion på en kompakt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. november 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Weierstrass-sætningen er en sætning om matematisk analyse og generel topologi , som siger, at en funktion , der er kontinuert på en kompakt mængde, er afgrænset på den og når sine største øvre og nedre grænser [1] .

Nogle gange (i træningskurser) opdeles to påstande (om grænsers afgrænsning og tilgængelighed) i to Weierstrass-sætninger - henholdsvis den første og den anden. [en]

Udtalelse af sætningen

Weierstrass-sætningen er formuleret til kontinuerte funktioner, der virker fra et givet metrisk rum ind i mængden af reelle tal .

Weierstrass' sætning for kontinuerte funktioner

I matematisk analyse tages der hensyn til talrum , for hvilke vilkårlige lukkede og afgrænsede mængder er kompakte . På den reelle linje er forbundne kompakte sæt segmenter, derefter formuleres Weierstrass-sætningen for segmenter:

Hvis funktionen er kontinuerlig på segmentet , så er den afgrænset på den og når desuden sine minimums- og maksimumværdier, dvs. der er sådanne, at for alle . $f$ $[a,b]$ $x_{m},x_{M}\in [a,b]$ $f(x_{m})\leqslant f(x)\leqslant f(x_{M})$ $x\in[a,b]$

Weierstrass' sætning for semikontinuerlige funktioner

Lad funktionen være afgrænset og øvre semikontinuerlig . Derefter $f\kolon[a,\;b]\til\R$ $M=\sup \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)<\left\vert \infty \right\vert$ og $\eksisterer x_M\i[a,\;b]\kolon f(x_M)=M.$
Lad funktionen være afgrænset og lavere halvkontinuerlig. Derefter $f\kolon[a,\;b]\til\R$ $m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)>-\infty$ og $\eksisterer x_m\i[a,\;b]\kolon f(x_m)=m.$

Bevis

Bevis for sætningen for kontinuerte funktioner

I kraft af fuldstændigheden af de reelle tal er der en (endelig eller uendelig) mindste øvre grænse . Da er den mindste øvre grænse, eksisterer der en sekvens sådan, at . Ifølge Bolzano-Weierstrass-sætningen kan en konvergent delsekvens skelnes fra en afgrænset sekvens , hvis grænse (lad os kalde det ) også hører til intervallet . På grund af kontinuiteten i funktionen har vi , men på den anden side . Således er den største øvre grænse endelig og nås ved punktet . $M=\sup _{{x\in [a,b]}}f(x)$ $M$ $x_{n}$ $\lim f(x_{n})=M$ $x_{n}$ $x_{{n_{k}}}$ $x_M$ $[a,b]$ $f$ $f(x_{M})=\lim f(x_{{n_{k}}})$ $\lim f(x_{{n_{k}}})=\lim f(x_{n})=M$ $M$ $x_M$

For den nedre grænse er beviset det samme.

Bevis for sætningen i den generelle sag

Lad være kompakt og lad funktionen være kontinuerlig på . Overvej samlingen af sæt , hvor er et åbent interval. Disse sæt er åbne (som komplette forbilleder af et åbent sæt under kontinuerlig kortlægning), og danner naturligvis et omslag . Ved definitionen af et compactum kan man udskille et begrænset underdæksel fra dette dæksel , hvorfra vi har , og afgrænsningen er bevist. Det er let at bevise opnåelsen af maksimum og minimum ved modsigelse, hvis vi betragter funktionerne , , og anvender den påstand, der netop er bevist på dem. $EN$ $f$ $EN$ ${\displaystyle V_{n}=f^{-1}{\big (}(-n,n){\big )))$ $(-n,n)\subset \mathbb {R}$ $EN$ $V_{{n_{k}}}$ ${\displaystyle \forall x\in A:f(x)<\max n_{k))$ $[f(x)-\sup f(A)]^{{-1}}$ $[f(x)-\inf f(A)]^{{-1}}$

Noter

Under sætningens antagelser kan et segment ikke erstattes af et åbent interval . For eksempel tangentfunktionen

\operatorname {tg} \colon \left(-{\frac {\pi }{2)),\;{\frac {\pi}{2))\right)\to \mathbb {R}

er kontinuerlig på hvert punkt af definitionsdomænet , men er ikke begrænset.

Se også

Noter

↑ 1 2 Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis. Del I. - M. , 1998. - S. 248-251.