Aritmetisk-geometrisk progression

En aritmetisk-geometrisk progression er en talfølge givet ved en rekursiv relation , hvor og er konstanter [1] . Særlige tilfælde af aritmetisk-geometrisk progression er aritmetisk progression (for ) og geometrisk progression (for ). $u_{{n}}$ $u_{{n+1}}=qu_{{n}}+d$ $q$ $d$ $q=1$ $d=0$

Generel udtryksformel

Lad os overveje den indledende relation: kl $u_{{n+1}}=qu_{{n}}+d$ $n=1,2,...$

Lad i dette forhold og . Tilføjelse af udtrykket til begge dele , får vi $q\neq 1$ $d\neq 0$ ${\frac {d}{q-1))$

u_{n+1}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n-1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

\ldots

u_{3}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)

Ved at multiplicere de angivne ligheder og reducere de samme faktorer (eller erstatte venstre side af ligningen næste i rækkefølge i stedet for parenteserne på højre side), får vi en eksplicit formel for udtrykket for den aritmetisk-geometriske progression:

u_{n+1}=q^{n}(u_{1}+{\frac {d}{q-1)))-{\frac {d}{q-1))

Egenskaber

Den aritmetisk-geometriske progression er en gensidig sekvens af anden orden og er givet ved ligningen:

u_{{n+1}}=(q+1)u_{{n}}-qu_{{n-1}}

Forskellen i den aritmetisk-geometriske progression bestemmes af formlen $d$

d={\frac {u_{{n}}^{{2}}-u_{{n-1}}u_{{n+1}}}{u_{{n}}-u_{{n-1 }}}}

Sekvensen er en geometrisk progression med samme nævner . $a_{{n}}=u_{{n+1}}-u_{{n}}$ $q$

Rækkefølgen af partielle summer af medlemmer af en aritmetisk-geometrisk progression er en gensidig sekvens af tredje orden og er givet ved ligningen:

S_{{n+1}}=(q+2)S_{{n}}-(2q+1)S_{{n-1}}+qS_{{n-2}}

Hvis sekvensen af delsummer er en aritmetisk-geometrisk progression, så er sekvensen i sig selv en geometrisk progression.

Noter

↑ Sukonnik Ya. N. Aritmetisk-geometrisk progression // Kvant . - 1975. - Nr. 1. - S. 36-39.