Finite Increment Formel

Den endelige inkrementformel eller Lagrange-middelværdisætningen siger, at hvis en funktion er kontinuert på et segment og differentierbar i et interval , så er der et sådant punkt , at $f$ $[a;b]$ $(a;b)$ $c\in(a;b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)

Geometrisk kan dette omformuleres som følger: Der er et punkt på segmentet, hvor tangenten er parallel med korden , der passerer gennem de punkter på grafen, der svarer til enderne af segmentet. $[a;b]$

Mekanisk fortolkning : Lad være afstanden af punktet i øjeblikket fra den oprindelige position. Så er der vejen tilbage fra øjeblik til øjeblik , forholdet er gennemsnitshastigheden over denne periode. Dette betyder, at hvis kroppens hastighed bestemmes på et hvilket som helst tidspunkt , vil den på et tidspunkt være lig med dens gennemsnitlige værdi i dette afsnit. $f(t)$ $t$ $f(b)-f(a)$ $t=a$ $t=b$ ${\frac {f(b)-f(a)}{ba))$ $t\in(a,b)$

Finite og infinitesimale trin

Navnet "endelig stigning " forklares af det faktum, at hvis venstre side i formlen er angivet som , og faktoren på højre side er angivet med , så får vi formlen i repræsentationen: $f(b)-f(a)=f'(c)(ba)$ $\Delta y$ $(ba)$ $\Delta x$

\Delta y=f'(c)\Delta x

som igen er meget lig definitionen af differential :

dy=f'(x)dx

med den eneste forskel, at vi i formlen for endelige trin har en formel til at finde den sande stigning , men gennem den afledede i punktet , som er et sted mellem og . Hvis vi har en tendens til nul i formlen , så får vi i grænsen [1] . $\Delta y$ $f'(c)$ $c$ $-en$ $b$ $\Delta y=f'(c)\Delta x$ $\Delta x$ $dy=f'(x)dx$

Ansøgninger

Lagranges teorem kan nogle gange anvendes i afsløringen af usikkerheder for at finde grænser.

Variationer og generaliseringer

Lagranges endelige inkrementsætning er en af de vigtigste nøglesætninger i hele differentialregningssystemet. Det har mange anvendelser inden for beregningsmatematik, og de vigtigste teoremer i matematisk analyse er også konsekvenserne.

En funktion, der kan differentieres på et interval med en afledt lig med nul, er en konstant.

Bevis. For enhver og der eksisterer et punkt sådan, at . $x$ $y$ $c$ $f(y)-f(x)=f'(c)(yx)=0$

Derfor er ligheden sand for alle og . $x$ $y$ $f(y)=f(x)$

Kommentar. Følgende vigtige monotoniske kriterium for differentierbare funktioner bevises på samme måde: En differentierbar funktion stiger/falder på et segment, hvis og kun hvis dens afledte på dette segment er ikke-negativ/ikke-positiv. Samtidig indebærer den strenge positivitet/negativitet af derivatet den strenge monotoni af funktionen . $f(x)$ $[a,b]$ $f'(x)$ $f(x)$

Taylors formel med et restled i Lagrange-formen). Hvis funktionen erdifferentierbaretider i et kvarter af punktet, så er Taylor-formlen gyldig for små(det vil sige dem, for hvilke segmentetligger i det angivne kvarter): $f$ $n$ $x$ $h$ $[x,x+h]$

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x){\frac {h^{2}}{2}}+...+f^{{(n -1)}}(x){\frac {h^{{n-1}}}{(n-1)!}}+f^{{(n)))(x+\theta h){\frac {h^{{n}}}{n!}}

hvor er et tal fra intervallet . $\theta$ $(0,1)$

Kommentar. Denne konsekvens er samtidig en generalisering. For , det giver selve Lagrange-sætningen på endelige trin. $n=1$

Hvis funktionen af variable er to gange differentierbar i et område af punktet O, og alle dets anden blandede afledte er kontinuerte i punktet O, så er ligheden sand på dette punkt: $n$ $f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j))}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_ {jeg}}}$

Bevis for . $n=2$ Lad os fastsætte værdierne for og og overveje forskelsoperatørerne $\Delta x$ $\Delta y$

\Delta _{x}:f(x,y)\højrepil {\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x))

og .

\Delta _{y}:f(x,y)\højrepil {\frac {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y))

Ved Lagranges sætning er der tal sådan $\theta _{1},\theta _{2}\in (0,1)$

\Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{y}{\frac {\partial f}{\partial x))(x+\theta _{1}\Delta x ,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x+\theta _{1}\Delta x,y+\theta _{2} \Delta y)\højrepil {\frac {\partial }{\partial y)){\frac {\partial f}{\partial x))(x,y)

på grund af kontinuiteten af funktionens anden afledede . $(\Delta x,\Delta y)\højrepil 0$ $f(x,y)$

Det er på samme måde bevist . $\Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)\højrepil {\frac {\partial }{\partial x)){\frac {\partial f}{\partial y))(x, y)$

Men da , (som kontrolleres direkte), er disse grænser sammenfaldende. $\Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)$

Kommentar. Konsekvensen af denne formel er identiteten for operatoren af den eksterne differential , defineret på differentialformer . $d^{2}=0$

Newton-Leibniz formel . Hvis en funktion erdifferentierbar på et segment,og dens afledte er Riemann-integrerbar på dette segment, så er formlen gyldig:. $f(x)$ $[a,b]$ $\int \limits _{{a}}^{{b}}f'(x)dx=f(b)-f(a)$

Bevis. Lade være en vilkårlig partition af segmentet . Ved at anvende Lagrange-sætningen finder vi på hvert af segmenterne et punkt sådan, at . $T$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b$ $[a,b]$ $[x_{{k-1}},x_{k}]$ $\xi_k$ $f'(\xi _{k})(x_{k}-x_{{k-1}})=f(x_{k})-f(x_{{k-1}})$

Sammenfattende disse ligheder får vi: $\sum \limits _{{k=1}}^{{n}}f'(\xi _{k})(x_{k}-x_{{k-1}})=\sum \limits _{ {k=1}}^{{n}}(f(x_{k})-f(x_{{k-1}}))=f(b)-f(a)$

Til venstre er Riemann-integral-summen for integralet og den givne markerede partition. Når vi går til grænsen for skillevæggens diameter, får vi Newton-Leibniz-formlen. $\int \limits _{{a}}^{{b}}f'(x)dx$

Kommentar. Konsekvensen (og generaliseringen) af Newton-Leibniz- formlen er Stokes-formlen , og konsekvensen af Stokes-formlen er Cauchy-integralsætningen - hovedsætningen i teorien om analytiske funktioner (TFKP).

Sætning om estimering af endelige inkrementer. Lad kortlægningen være kontinuerligt differentierbar i et konveks kompakt rumdomæne . Så . $F:\Omega \rightarrow {\mathbb {R}}^{m}$ $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $|F(y)-F(x)|\leq \sup \limits _({\xi \in \Omega }}|DF(\xi )|\cdot |yx|$

Kommentar. Beviserne for sådanne sætninger som den inverse kortlægningssætning , den implicitte funktionssætning , sætningen om eksistensen og unikheden af en løsning på Cauchy-problemet for almindelige differentialligninger er ikke fuldstændige uden at bruge sætningen om estimering af endelige trin .

Noter

↑ Nikolai Nikolaevich Luzin. Differentialregning / S.I. Novoselov. - 1. - Moskva, B-62, Podsosensky pr. 20: Statens Forlag "Højere Skole", 1961. - S. 326. - 477 s.

Se også

Lagrange, Joseph Louis
Cauchys sætning er en udvidet version af denne sætning.