Greens teorem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. november 2019; checks kræver 3 redigeringer .

Greens sætning etablerer en forbindelse mellem et krumlinjet integral over en lukket kontur og et dobbeltintegral over et enkelt forbundet område afgrænset af denne kontur. Faktisk er denne sætning et specialtilfælde af den mere generelle Stokes' sætning . Sætningen er opkaldt efter den engelske matematiker George Green . $C$ $D$

Ordlyd

Lade være en positivt orienteret stykkevis-glat lukket kurve i planet, og lad være området afgrænset af kurven . Hvis funktionerne er defineret i domænet og har kontinuerte partielle afledte , så $C$ $D$ $C$ $P = P(x,y)$ $Q = Q(x,y)$ $D$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $\frac{\partial Q}{\partial x}$

\oint\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy

Der tegnes ofte en cirkel på integralsymbolet for at understrege, at kurven er lukket. $C$

Bevis for en simpel region

Lad området være en buet trapez (region regelmæssigt i retningen ): $D$ $OY$

D = \{ (x,y)|a \le x \le b, y_1(x) \le y \le y_2(x) \}

For kurven , der afgrænser området, skal du indstille omløbets retning med uret. $C$ $D$

Derefter:

\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = \int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{y_1(x)}^{ y_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y} \,dy = \int\limits_{a}^{b} (P(x,y_2(x)) - P(x,y_1(x) ))) \,dx =

= \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx - \int\limits_{a}^{b} P(x,y_1(x)) \,dx \quad (en)

Bemærk, at begge opnåede integraler kan erstattes af kurvelineære integraler:

\int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{-C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{a}^{b} P( x,y_1(x)) \,dx \quad (2)

\int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx = \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx \quad (3)

Integralet langs tages med et minustegn, da retningen for at omgå denne del ifølge konturens orientering er fra til . $C_{1}$ $C$ $b$ $-en$

Kurvilineære integraler over og vil være lig med nul, da : $C_{2}$ $C_{4}$ $x = \operatørnavn{konst}$

\int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx = 0 \quad (4)

\int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx = 0 \quad (5)

Vi erstatter integralerne i (1) ifølge (2) og (3), og tilføjer også (4) og (5), som er lig med nul og derfor ikke påvirker værdien af udtrykket:

\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = \int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx

Da bypasset med uret med den rigtige orientering af planet er en negativ retning, så er summen af integralerne på højre side et krumlinjet integral langs en lukket kurve i negativ retning: $C$

\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = -\int\limits_{C} P(x,y) \,dx \quad (6)

Formlen er bevist på samme måde:

\iint\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} \,dx\,dy = \int\limits_{C} Q(x,y) \,dy \quad (7)

hvis vi tager som arealet området korrekt i retningen . $D$ $OKSE$

Ved at tilføje (6) og (7), får vi:

\int\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy

Greens formler

Hvis vi i elektrostatiske problemer altid havde at gøre med en diskret eller kontinuerlig ladningsfordeling uden nogen grænseflader, så er den generelle løsning for skalarpotentialet

\Phi (x)=\int {\frac {\rho (x')}{|xx'|}}d^{3}x

ville være den mest bekvemme og direkte form til at løse sådanne problemer, og hverken Laplace-ligningen eller Poisson-ligningen ville være nødvendig . Men i virkeligheden, i en række, hvis ikke de fleste, problemer med elektrostatik , har vi at gøre med begrænsede områder af rummet (som indeholder eller ikke indeholder en ladning ), på hvis grænseflader visse grænsebetingelser er specificeret (“grænse”) . Disse grænsebetingelser kan erstattes af en passende udvalgt ladningsfordeling uden for det betragtede område (især ved uendelig), men ovenstående relation er i dette tilfælde ikke længere egnet til at beregne potentialet, bortset fra nogle specielle tilfælde (f.eks. i billedmetoden).

For at overveje problemer med randbetingelser er det nødvendigt at udvide det matematiske apparat, vi bruger, nemlig at udlede de såkaldte formler eller Greens sætninger (1824). De fås direkte fra divergenssætningen

\int\limits_V \operatørnavn{div}~A\,d^3x=\oint\limits_S A \cdot n\,da

som er gyldig for ethvert vektorfelt A defineret i et volumen V afgrænset af en lukket overflade S. Lad , hvor og være vilkårlige to gange kontinuerligt differentierbare skalarfunktioner. Derefter $A=\varphi \operatørnavn{grad} ~\psi$ $\varphi$ $\psi$

\operatørnavn{div} \, (\varphi \; \operatørnavn{grad} \, \psi)=\varphi \nabla^2 \psi + \operatørnavn{grad} ~\varphi \cdot \operatørnavn{grad} ~\psi \qquad (1)

\varphi\; \operatørnavn{grad} \, \psi \cdot n=\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} \qquad (2)

hvor er normalafledningen på overfladen S (i retning af den udadgående normal i forhold til rumfanget V). Ved at erstatte (1) og (2) i divergenssætningen kommer vi frem til Greens første formel $\frac{\partial}{\partial n}$

\int\limits_V (\varphi \; \nabla^2 \psi + \operatørnavn{grad} \, \varphi \cdot \operatørnavn{grad} \, \psi)\,d^3x = \oint\limits_S \varphi \ frac{\partial \psi}{\partial n} \,da \qquad (3)

Lad os skrive den samme formel, bytte og i den og trække den fra (3). Så annullerer termerne med produktet , og vi får den anden Greens formel , ellers kaldet Greens sætning : $\varphi$ $\psi$ $\operatørnavn{grad} ~\varphi \cdot \operatørnavn{grad} ~\psi$

\int\limits_V (\varphi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \varphi)\,d^3x = \oint\limits_S \left[\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n } - \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n}\right] \,da

I fysik og matematik giver Greens sætning forholdet mellem det krumlinede integral af en simpel afgrænset kurve C og dobbeltintegralet over en flad overflade D af en afgrænset kurve C. Og i generel form skrives det som følger

\int\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA.

I fysik bruges Greens sætning hovedsageligt til at løse todimensionelle strømningsintegraler , baseret på den antagelse, at summen af de udgående strømme på et hvilket som helst punkt i et område er lig med nettostrømmen summeret over hele afgrænsningsfladen.

Den tredje grønnes formel fås fra den anden ved at erstatte og notere, at i . Hvis to gange differentierbar på U. $\psi = \frac{1}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|}$ $\nabla^2 \psi = - 4 \pi \delta \left( \mathbf{x} - \mathbf{y} \right)$ ${{\mathbb{R}}^{3}}$ $\phi ,$

\oint\limits_{\partial U} \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} {\partial \phi \over \partial n} (\mathbf{y}) - \ phi(\mathbf{y}) {\partial \over \partial n_\mathbf{y)) {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|}\right]\, dS_\mathbf{y } - \int\limits_U \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} \nabla^2 \phi(\mathbf{y})\right]\, dV_\mathbf{y } = k

$k=4\pi \phi (x),$ if (her betegner int det indre af et sæt ), $x \in Int U$

$2\pi \phi (x),$ hvis og i et punkt til grænsefladen der er et tangentplan . $x \i \delvis U$ $x$

Se også

Litteratur

D. J. Jackson Klassisk elektrodynamik (1965)
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Matematisk fysiks ligninger. — M .: Nauka, 1977. — 735 s.