Bemærkelsesværdige punkter i trekanten

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. april 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Bemærkelsesværdige punkter i en trekant er punkter, hvis placering er entydigt bestemt af trekanten og ikke afhænger af den rækkefølge, hvori trekantens sider og hjørner tages.

Normalt er de placeret inde i trekanten, men det er ikke nødvendigt. Især kan højdernes skæringspunkt være uden for trekanten. For andre bemærkelsesværdige trekantpunkter, se Encyclopedia of Triangle Centres .

Eksempler

De bemærkelsesværdige punkter i trekanten er

Skæringspunkter:
- median - tyngdepunkt , tyngdepunkt (masse) ;
- halveringslinje - midten eller midten af den indskrevne cirkel ;
- antibisector - midten af antibisectors;
- halveringslinjen af de ydre vinkler er midten af omkredsen ;
- højder - ortocenter ;
- midperpendiculars - midten af den omskrevne cirkel ;
- simedian - Lemoine punkt ;
- halveringslinjen af den midterste trekant (dens incenter) - Spieker Center ;
- trekantsfokkene er også Spiekers Center;
- tre (eller endda to) cirkler, bygget, som på en diameter, på et segment, der forbinder baserne af de indre og ydre halveringslinjer, frigivet fra det ene hjørne - to punkter af Apollonius ;
- segmenter, der forbinder trekantens hjørner:
  - med kontaktpunkter på modsatte sider og den indskrevne cirkel - Gergonne-punkt ;
  - med berøringspunkter på modsatte sider og cirkler - Nagel-punkt ;
  - med de tilsvarende frie hjørner af ligesidede trekanter bygget på siderne af trekanten (udad) - det første punkt af Torricelli ;
  - med de tilsvarende frie hjørner af regelmæssige trekanter bygget inde i trekanten - det andet punkt af Torricelli ;
  - med de tilsvarende frie hjørner af trekanter svarende til den oprindelige trekant og bygget på dens sider - Brokars spidser ;

Minimax-punkter i en trekant

Minimax (ekstrem) punkter i en trekant er punkter, hvor minimum af en bestemt funktion nås, for eksempel summen af grader af afstande til trekantens sider eller hjørner [1] .

Trekantens minimumspunkter er:

Skæringspunktet mellem tre medianer , som har den mindste sum af kvadrerede afstande til hjørnerne af en trekant ( Leibnizs sætning ).
Skæringspunktet for trekantens tre medianer er det eneste punkt i trekanten, således at de tre cevianer, der er trukket gennem den, deler trekantens sider i seks segmenter med deres ender. I dette tilfælde er produktet af længderne af tre af disse seks segmenter, der ikke har fælles ender, maksimalt [2]
Torricelli punkt (første) med den mindste sum af afstande til hjørnerne af en trekant med vinkler ikke større end . $120^{\cirkel }$
Lemoine-punktet , som har den mindste sum af kvadrerede afstande til trekantens sider.
Grundlaget for højderne af en spidsvinklet trekant danner en ortotrekant med den mindste omkreds af alle trekanter, der er indskrevet i den givne trekant.

Iso-punkter og iso-linjer i trekanter

Iso-punkter er punkter i en trekant, der giver vilkårlige lige store parametre for tre trekanter, som dannes, når et iso-punkt er forbundet med segmenter med tre trekantspidser [3] . Som et resultat dannes en figur af typen " drageøje " (se fig.)

-punkterne i en trekant, der danner en drageøjeform rediger

Isopunkterne for denne type trekant er:

ortocenter (giver tre trekanter med tre lige store radier af tre omskrevne cirkler),
skæringspunktet mellem medianer (giver tre trekanter med tre lige store arealer)
incenter (giver tre trekanter med tre lige høje)
centrum af den omskrevne cirkel (giver tre ligebenede trekanter med tre lige par af sider),
punkt med lige omkreds eller isoperimetrisk punkt (giver tre trekanter med tre lige store omkredse [4] ), $P$
Torricellis punkt (første) (giver tre trekanter med tre lige store stumpe vinkler ved ). $120^{\cirkel }$
Opdeling af en trekants punkt i tre trekanter med tre identiske radier af indskrevne cirkler
Spieker-centret i en trekant er det radikale centrum af dens tre cirkler [5] (den har tre par lige tangenter til tre cirkler på én gang).

Iso-punkterne i en trekant, der danner en " Trefoil (knude) "- form

Iso-punkterne i en trekant af denne type er (se fig.):

Spiekers centrum er skæringspunktet mellem linjerne , og , hvor , og lignende, ligebenet og identisk placeret, bygget på ydersiden af trekanten , med samme vinkel ved bunden [6] . $S$ $AX$ $BY$ $CZ$ $XBC$ $YCA$ $ZAB$ $ABC$ $\operatørnavn {arctg} [\operatørnavn {tg} (A/2)\operatørnavn {tg} (B/2)\operatørnavn {tg} (C/2)]$
Napoleons første punkt , ligesom Spiekers centrum , er skæringspunktet mellem linjerne , og , hvor , og lignende, ligebenet og identisk placeret, bygget på siderne af trekanten udefra, med samme vinkel ved bunden . $N_1$ $AX$ $BY$ $CZ$ $XBC$ $YCA$ $ZAB$ $ABC$ $30^{\cirkel }$
Her ville det være nødvendigt at liste alle de punkter, der ligger på Kiepert-hyperbelen .

Iso-punkterne i en trekant, der danner en tradescantia-blomst

Iso-punkterne i trekanten, der danner en figur af Tradescantia-blomsten (se fig.), er som følger:

skæringspunktet for medianerne danner tre firkanter med lige store arealer med tre små segmenter af ceviane.
halveringspunktets skæringspunkt danner tre firkanter med tre vinkelrette sider på trekantens tre sider - en deltoide med to identiske tilstødende sider for alle. Det andet par lige tilstødende sider er generelt forskelligt for alle. Alle tre deltoider har et par lige modsatte vinkler ved . De er indskrevet-omskrevne firkanter. $90^{\cirkel }$
Tre cirkler tegnet inde i trekanten gennem Mikel-punktet skærer trekantens sider i tre punkter. Tre akkorder tegnet gennem Miquel-punktet og tre skæringspunkter mellem tre cirkler med tre forskellige sider af trekanten danner lige store vinkler med siderne.

Iso-punkter i en trekant, der danner et tegn som " Model af overfladen af en buet trekant " (se figur)

Disse punkter omfatter:

Euler cirkel punkter
Punkter i Thomsens sætning
Points i Tookers sætning . Hvis der i fig. til Thomsens sætning til højre nedenfor, tegn en lignende 6-leddet stiplet linje, successivt skiftende segmenter parallelle, antiparallelle, parallelle, igen antiparallelle, igen parallelt med den modsatte strømside osv., så vil det sidste 6. segment vende tilbage til startpunktet punkt, som i sætningen Thomsen, og polylinjen vil lukke. Tuckers teorem siger, at i dette tilfælde vil 6 punkter af polylinjen, der ligger på siderne af trekanten, ligge på Tucker-cirklen [7] [8]

Iso-punkter i en trekant, der danner et tegn som " Fare. Radioaktive stoffer eller ioniserende stråling » (se fig.)

Isopunkterne for denne type trekant er:

Lemoine-punkt (punkt med lige antiparalleller) - et punkt med egenskaben: tre antiparalleller trukket gennem det (linjer antiparallelle til tre sider af en trekant) giver tre segmenter af lige længde inde i trekanten.
punkt med lige paralleller (Equal Parallelians Point) [9] . På en måde ligner det Lemoine-punktet . Et punkt har den egenskab, at tre paralleller trukket igennem det (linjer parallelt med tre sider af en trekant) giver tre lige lange segmenter inde i trekanten.
Yff Center of Congruence [10]
skæringspunktet for de 3 antibisektorer i en trekant . Hvis vi gennem dette punkt trækker 3 lige linjer parallelt med siderne af trekanten, så vil de afskære 3 lige store indre (midterste) segmenter på siderne af trekanten.
En anden formulering af det sidste udsagn: Segmenterne af siderne i en trekant indesluttet mellem linjerne tegnet gennem midten af antibisektorerne parallelt med de tre sider er lig med hinanden.

Andre iso-punkter i trekanten, der danner generelle cevianer

Skutin- punkterne er punkter af lige store cevianer i trekanten. Skutins teorem siger, at tre linjestykker eller cevianer tegnet inde i en trekant gennem dens tre hjørner og gennem ethvert fokus på den beskrevne Steiner-ellipse er lig med hinanden. Disse foci omtales ofte som Skutin-punkter .

Iso-lige linjer

Iso-linjerne ( iso-linjer ) i en trekant er de linjer, der skærer den givne trekant i to trekanter med ens parametre [3] . Iso-linjerne i en trekant er:

Medianen af en trekant halverer den modsatte side og skærer trekanten i to trekanter med lige store arealer.
Halveringslinjen ( Halveringsled ) i en trekant halverer den vinkel, fra hvis toppunkt den kommer frem.
Højden af en trekant skærer den modsatte side (eller dens forlængelse) i en ret vinkel (det vil sige, den danner to lige store vinkler med siden på hver side af den) og skærer trekanten i to trekanter med lige store (ret) vinkler.
Symmedianen er stedet for punkter inde i en trekant, der stammer fra et enkelt toppunkt og giver to lige store segmenter, der er antiparallelle til to sider, der skærer hinanden i det toppunkt og er afgrænset af tre sider.
Trekantfokken halverer omkredsen . En trekants fok er et segment, hvis den ene ende er i midten af en af trekantens sider, den anden ende er på en af de to resterende sider. Derudover er udliggeren parallel med en af vinkelhalveringslinjerne. Hver af fokkene passerer gennem massecentret af omkredsen af trekanten ABC, så alle tre fok skærer hinanden ved Spiekers centrum .
Den deler også omkredsen i halvdelen af et segment, der forbinder kontaktpunktet på siden af trekanten og omkredsen med toppunktet modsat den givne side. Tre sådanne segmenter af en trekant, trukket fra dens tre hjørner, skærer hinanden ved Nagel-punktet . Med andre ord er dette segment Nagel-punktets ceviana . ( Chevian of the Nagel point i engelsk litteratur kaldes nogle gange en splitter (splitter) eller en divider i halvdelen af omkredsen . De refererer også til splitteren som en jib ).
Equalizer (equalizer) eller equalizer (aligner) - et lige linjestykke, der skærer en trekant i to figurer med samtidig lige store arealer og omkredse [11]
Lidt om equalizeren (equalizeren). Enhver ret linje ( equalizer ), der går gennem en trekant og halverer trekantens areal og omkreds, passerer gennem midten af den indskrevne cirkel. Der kan være tre, to eller en sådan linjer. [12]

En note om iso-linjerne i en trekant

I engelsk litteratur introduceres begrebet bisection , som opdelingen af noget i to lige store dele. For eksempel en ligebenet trekant i to lige store, et lige linjestykke til to lige store, en flad vinkel til to lige store. De tilsvarende linjer vil være et særligt tilfælde af iso-lige linjer (iso-linjer) i trekanten.

Direkte $n$

Et vigtigt særligt tilfælde af iso-linjer er de såkaldte linjer $n$ i en trekant. Den rette linje i en trekant, der udgår fra dens toppunkt, deler den modsatte side i forhold til de -. grader af de to sider, der støder op til den [13] . Vigtige specialtilfælde af linjer er: $n$ $n$ $n$

median ( ), $n=0$
halveringsled (halveringslinje) ( ), $n=1$
antibisektor ( ), $n=-1$
simedian ( ), $n=2$
direkte terninger ( ). $n=3$

For lige trekanter er det meget nemt at finde nogle egenskaber i generelle vendinger. For eksempel, for en linje, vil linjen være isogonalt konjugeret, og linjen vil være isotomisk konjugeret . $n$ $n$ $(2-n)$ $-n$

Bemærk

De barycentriske koordinater for midten, skrevet i form af siderne (eller trigonometriske funktioner af vinklerne) i en trekant, gør det muligt at oversætte mange problemer om en trekants centre til algebraisk sprog. For eksempel for at finde ud af, om to definitioner definerer det samme centrum, eller om tre givne centre ligger på samme linje.

Du kan også bruge midtens trilineære koordinater , som meget enkelt er relateret til de barycentriske koordinater . Men for eksempel er isogonalt konjugerede punkter i trilineære koordinater udtrykt mere enkelt.

Variationer og generaliseringer

Par af centre tages i betragtning. For eksempel,
- Brocard point ;
- Apollonius peger . For enhver ikke-degenereret trekant kan man konstruere en Apollonius-cirkel til den side , der går gennem punktet . Cirkler konstrueret på denne måde til tre sider vil skære hinanden i to punkter - henholdsvis den indre og den ydre Apollonius. $ABC$ $AB$ $C$

Nyligt opdagede punkter (centre) i trekanten

Yff Center of Congruence [14 ]
Gossard Perspector [ 15 ]
Midtpunkt ( engelsk Mittenpunkt ) [16]
1. og 2. Ajima -Malfatti-point ( eng. 1. OG 2. Ajima-Malfatti-point ) [17]
Apollonius point - ikke at forveksle med Apollonius point [18]
Bailey Points [ 19 ]
Hofstadter Points [ 20 ]
Isoscelizer-kongruent punkt ( engelsk. Congruent Isoscelizers Point ) [21]
1. og 2. Morley-punkter forbundet med Morleys trekant ( eng. 1. OG 2. Morley-centre ) [22]
Parry Point [ 23 ]
Isoperimetrisk punkt og lige omvejspunkt [ 24 ]
Equal Parallelians Point [ 25 ]
Schiffler Point [ 26 ] _
Exeter punkt [27]
Delingspunkt for en trekant i tre trekanter med tre identiske radier af tre indskrevne cirkler [28]

Noter

↑ Starikov V.N. Geometristudier. // Samling af publikationer af det videnskabelige tidsskrift Globus baseret på materialerne fra den V-te internationale videnskabelig-praktiske konference "Achievements and problems of modern science", St. Petersburg: en samling af artikler (standardniveau, akademisk niveau). - Sankt Petersborg. , 2016. - S. 97 .
↑ Zetel S. I. Ny geometri af en trekant. En guide til lærere . - 2. udg. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 12, opgave. (Russisk)
↑ 1 2 Starikov V. N. Noter om geometri // Videnskabelig søgning: humanitære og socioøkonomiske videnskaber: samling af videnskabelige artikler. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - S. 37, venstre kolonne, sidste afsnit . (Russisk)
↑ Isoperimetrisk punkt og lige omvejspunkt . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 10. maj 2012.
↑ Odenhal, 2010 , s. 35-40.
↑ Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Zetel S.I. Ny trekantgeometri. En guide til lærere. 2. udgave. M.: Uchpedgiz, 1962. s. 92. afsnit 74.
↑ Myakishev A. G. Går i cirkler: fra Euler til Taylor // Archimedes: videnskabelig og metodisk samling. 2011. Udgave. 7. s. 83// https://www.mathedu.ru/text/arhimed_2011_v7/p83/
↑ Equal Parallelians Point . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 16. maj 2012.
↑ Yff center of congruence// https://en.wikipedia.org/wiki/Yff_center_of_congruence Arkiveret 22. oktober 2021 på Wayback Machine
↑ Kodokostas, Dimitrios (2010), Triangle equalizers , Mathematics Magazine bind 83 (2): 141–146 , DOI 10.4169/002557010X482916 .
↑ Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Matematik Magasinet. - 2010. - Udgave. 83, april . - S. 141-146. .
↑ Zetel S. I. Ny geometri af en trekant. En guide til lærere . - 2. udg. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 120-125, opgave, afsnit 109-113. (Russisk)
↑ Yff Center Of Congruence . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 16. maj 2012. (ubestemt)
↑ Gossard Perspector . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 10. maj 2012. (ubestemt)
↑ Mittenpunkt . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 5. august 2015. (ubestemt)
↑ 1. OG 2. AJIMA-MALFATTI-PUNKT . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 5. august 2015. (ubestemt)
↑ Apollonius Point . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 10. maj 2012. (ubestemt)
↑ Bailey Point . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 6. august 2015. (ubestemt)
↑ Hofstadter Points . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 10. maj 2012. (ubestemt)
↑ Congruent Isoscelizers Point . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 16. maj 2012. (ubestemt)
↑ Morley-centre . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 13. december 2012. (ubestemt)
↑ Parry Point . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 16. maj 2012. (ubestemt)
↑ Isoperimetrisk punkt og lige omvejspunkt . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 10. maj 2012. (ubestemt)
↑ Equal Parallels Point . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 16. maj 2012. (ubestemt)
↑ Schiffler Point . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 5. august 2015. (ubestemt)
↑ Exeter Point . Hentet 4. september 2015. Arkiveret fra originalen 16. maj 2012. (ubestemt)
↑ Starikov V.N. 9. undersøgelse om geometri (§ Løsning af problemet med en cevian, der deler 3-k i 2 3-k med de samme indskrevne cirkler) / / Videnskabeligt peer-reviewed elektronisk tidsskrift fra Moscow State Agrarian University "Science and Education". 2020. Nr. 1. 7 s.// http://opusmgau.ru/index.php/see/issue/view/1603

Litteratur

Encyklopædi for børn. T. 11. Matematik / Kapitel. udg. M. D. Aksyonova. — M.: Avanta+, 2001. — 688 s.: ill.
A. G. MYAKISHEV Trekantgeometriske elementer . — M. : MTsNMO, 2002.
Boris Odenhal. Nogle trekantscentre forbundet med cirklerne, der tangerer cirklerne // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .
Ordliste over planimetri// https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B0%D1%80%D0%B8% D0 %B9_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8

Links

Bemærkelsesværdige punkter i trekanten
Encyclopedia of Triangle Centres Arkiveret 19. april 2012 på Wayback Machine
Encyclopedia of Triangle Centres

Trekant
Typer af trekanter	Rektangulær Ligebenet Ligesidet Ligebenet rektangulær
Vidunderlige linjer i en trekant	Median Højde Bisector Midtvinkelret midterste linje Omskrevne og indskrevne cirkler Simsons lige linje Euler linje Simediana Cheviana
Bemærkelsesværdige punkter i trekanten	Ortocenter Centroid Incenter Brocard punkt Vecten punkt Point Gergonne Lemoine punkt Miquel point Nagel point Napoleon peger Torricellis punkter Ni punkt cirkel centrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centres
Grundlæggende teoremer	trekant ulighed Tegn på lighed mellem trekanter Løsning af trekanter Trekantets udvendige vinkelsætning Trekantsummen af vinkler sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Sinus-sætning Projektionssætningen Herons formel
Yderligere teoremer	Van Obels sætning Menelaos sætning Reuschle (Terkema) sætning Stewarts teorem Tangentsætning Cotangenssætning Cevas sætning Mollweide formler
Generaliseringer	sfærisk trekant hyperbolsk trekant Simplex