Thomsens sætning

Thomsens sætning , opkaldt efter den tyske matematiker Gerhard Thomsen , er en sætning om elementær geometri , ifølge hvilken en bestemt stiplet linje , bygget af segmenter, der er parallelle med siderne af en trekant , altid ender ved udgangspunktet .

Ordlyd

Overvej en vilkårlig trekant med et punkt på siden . Rækkefølgen af punkter og parallelle linjer er konstrueret som følger: en linje parallel med siden gennem punktet skærer siden ved punktet , og en linje parallel med den side der går gennem punktet skærer siden ved punktet . Lad os fortsætte med en lignende konstruktion. En linje parallel med en side gennem et punkt skærer en side i et punkt , og en linje parallel med en side gennem et punkt skærer en side i et punkt . Endelig skærer en linje parallel med en side gennem et punkt en side i et punkt , og en linje parallel med en side gennem et punkt skærer en side i et punkt . Thomsens sætning siger, at punkterne og er sammenfaldende, så konstruktionen fører altid til en lukket vej . $ABC$ $P_1$ $f.Kr$ $AC$ $P_1$ $AB$ $P_2$ $f.Kr$ $P_2$ $AC$ $P_{3}$ $AB$ $P_{3}$ $f.Kr$ $P_{4}$ $AC$ $P_{4}$ $AB$ $P_5$ $f.Kr$ $P_5$ $AC$ $P_{6}$ $AB$ $P_{6}$ $f.Kr$ ${\displaystyle P_{7))$ ${\displaystyle P_{7))$ $P_1$ $P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}P_{1}$

Bevis

Tilstedeværelsen i tilstanden af sætningen af et stort antal forskellige par parallelle linjer, der skærer trekantens sider, gør det muligt at genbruge Thales-sætningen på proportionelle segmenter , hvorfra følgende relationer følger:

P_{5}P_{6}\parallel BC\Longrightarrow {\dfrac {AP_{6}}{AC}}={\dfrac {AP_{5}}{AB}},

P_{4}P_{5}\parallel CA\Longrightarrow {\dfrac {AP_{5}}{AB}}={\dfrac {CP_{4}}{CB}},

P_{3}P_{4}\parallel AB\Longrightarrow {\dfrac {CP_{4}}{CB}}={\dfrac {CP_{3}}{CA}},

P_{2}P_{3}\parallel BC\Longrightarrow {\dfrac {CP_{3}}{CA}}={\dfrac {BP_{2}}{BA}},

P_{1}P_{2}\parallel CA\Longrightarrow {\dfrac {BP_{2}}{BA}}={\dfrac {BP_{1}}{BC}}.

Således ,. Derfor opnår vi ved en sætning omvendt til Thales-sætningen, at . Men efter betingelse . Derfor . ${\dfrac {AP_{6}}{AC}}={\dfrac {BP_{1}}{BC}}$ $P_{6}P_{1}\parallel AB$ $P_{6}P_{7}\parallel AB$ ${\displaystyle P_{1}=P_{7))$

Se også

Trekant

Litteratur

Satz von Thomsen // Schülerduden-Mathematik II. - Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 2004. - S. 358-359. — ISBN 3-411-04275-3 . (Tysk)

Thomsens sætning

Ordlyd

Bevis

Se også

Litteratur

Links