Diskret gruppe

En topologisk gruppe G kaldes en diskret gruppe, hvis den ikke har noget grænsepunkt (dvs. for et hvilket som helst element i G er der et kvarter, der kun indeholder det element). Tilsvarende er en gruppe G diskret, hvis og kun hvis dens neutrale element er et isoleret punkt [1] . Med andre ord er den inducerede topologi i G et diskret rum . For eksempel danner de heltal en diskret undergruppe af de reelle tal (med standard metrisk topologi ), men det gør de rationelle tal ikke. En diskret gruppe er en topologisk gruppe G udstyret med en diskret topologi .

Enhver gruppe kan udstyres med en diskret topologi. Da enhver kortlægning fra et diskret rum er kontinuerlig , er topologiske homomorfier mellem diskrete grupper nøjagtigt homomorfier mellem underliggende grupper. Derfor er der en isomorfi mellem kategorien af ​​grupper og kategorien af ​​diskrete grupper. Derfor kan diskrete grupper identificeres med underliggende (ikke-topologiske) grupper.

Der er flere tilfælde, hvor en topologisk eller Lie-gruppe med succes forsynes med en "unaturlig" diskret topologi. Dette sker for eksempel i teorien om Bohr-komprimering og i teorien om gruppekohomologi af Lie-grupper.

En diskret isometrigruppe er en gruppe af isometrier, således at for ethvert punkt i et metrisk rum, er sættet af billeder af strømme under isometrier et diskret sæt . En diskret symmetrigruppe er en symmetrigruppe, der er en diskret isometrigruppe.

Egenskaber

Fordi topologiske grupper er homogene , skal kun et enkelt punkt overvejes for at bestemme, om en topologisk gruppe er diskret. Især en topologisk gruppe er diskret, hvis og kun hvis singletonen , der indeholder identitetselementet, er et åbent sæt .

En diskret gruppe er det samme som en nuldimensionel Lie-gruppe (i utallige diskrete grupper gælder det andet tællelighedsaksiom ikke , så forfattere, der kræver, at Lie-grupper opfylder disse krav, anser dem ikke for at være Lie-grupper). Identitetskomponenten i en diskret gruppe er blot en triviel undergruppe , mens gruppen af ​​komponenter er isomorf for selve gruppen.

Da kun Hausdorff-topologien er diskret på en endelig mængde, skal en endelig Hausdorff-topologisk gruppe være diskret. Dette indebærer, at enhver endelig undergruppe af en Hausdorff-gruppe er diskret.

En diskret undergruppe H af en gruppe G er kokompakt, hvis der eksisterer en kompakt undergruppe K af G , således at HK = G.

Diskrete normale undergrupper spiller en vigtig rolle i teorien om at dække grupper og lokalt isomorfe grupper. En diskret normal undergruppe af en forbundet gruppe G ligger nødvendigvis i centrum af gruppen G og er derfor abelsk .

Andre egenskaber :

• en anden diskret gruppe er en fuldstændig afbrudt gruppe
• enhver undergruppe af en diskret gruppe er diskret.
• enhver faktorgruppe i en diskret gruppe er diskret.
• produktet af et begrænset antal diskrete grupper er en diskret gruppe.
• en diskret gruppe er kompakt hvis og kun hvis den er endelig.
• enhver diskret gruppe er lokalt kompakt .
• enhver diskret undergruppe af en Hausdorff-gruppe er lukket.
• enhver diskret undergruppe af en kompakt Hausdorff-gruppe er endelig.

Eksempler

• Grænsegrupper og ornamentgrupper er diskrete undergrupper af isometrigruppen på det euklidiske plan. Grupperne af ornamenter er kompakte, men grupperne af grænser er ikke.
• En krystallografisk gruppe betyder normalt en co-kompakt diskret undergruppe af isometrier i et eller andet euklidisk rum. Nogle gange kan en krystallografisk gruppe dog være en co-kompakt diskret undergruppe af en nilpotent eller opløselig Lie-gruppe .
• Enhver trekantgruppe T er en diskret undergruppe af sfærens isometrigruppe (hvis T er endeligt), det euklidiske plan (hvis T har en undergruppe af det endelige indeks ) eller det hyperbolske plan .
• Fuchsiske grupper er per definition diskrete undergrupper af isometrigruppen i det hyperbolske plan.
  • En orienteringsbevarende fuchsisk gruppe, der virker på modellen af ​​det øvre halvplan af det hyperbolske plan, er en diskret undergruppe af Lie -gruppen, gruppen af ​​orienteringsbevarende isometrier af modellen af ​​det øvre halvplan af det hyperbolske plan.
  • Den fuchsiske gruppe betragtes nogle gange som et særligt tilfælde af den kleinske gruppe, når det hyperbolske plan er isometrisk indlejret i det tredimensionelle hyperbolske rum, og gruppens handling udvides fra planet til hele rummet.
  • Den modulære gruppe betragtes som en diskret undergruppe af gruppen . Modulgruppen er et gitter i, men er ikke kokompakt.
• Kleinske grupper er per definition diskrete undergrupper af isometrigruppen i et 3-dimensionelt hyperbolsk rum . De omfatter kvasi-fuchsiske grupper .
  • En orienteringsbevarende Klein-gruppe, der virker i den øvre halvdel af en 3-dimensionel hyperobisk rummodel, er en diskret undergruppe af Lie -gruppen, gruppen af ​​orienteringsbevarende isometrier af den 3-dimensionelle øvre halvplansmodel af et hyperobisk rum .
• Et gitter i en Lie-gruppe er en diskret undergruppe, således at Haar-målet for kvotientrummet er endeligt.

Se også

• Krystallografisk punktsymmetrigruppe
• Kongruent undergruppe
• Aritmetisk gruppe
• Geometrisk gruppeteori
• Beregningsgruppeteori

Noter

1. ↑ Pontrjagin, 1946 , s. 54.

Litteratur

• Leon Pontrjagin. Topologiske grupper . — Princeton University Press , 1946.
• Diskret gruppe af transformationer //Encyclopedia of Mathematics . — EMS Press , 2001.
• Diskret undergruppe //Encyclopedia of Mathematics . — EMS Press , 2001.