Poincaré-model i øverste halvplan

Poincaré-modellen i det øverste halvplan er den øverste halvdel af planet , nedenfor betegnet som H , sammen med en metrik ( Poincaré metric ), der gør den til en model af todimensionel hyperbolsk geometri (Lobachevsky-geometri).

Tilsvarende beskrives Poincaré-modellen i det øvre halvplan nogle gange som det komplekse plan , hvori den imaginære komponent ( y - koordinaten nævnt ovenfor) er positiv.

Poincaré-modellen i det øverste halvplan er opkaldt efter Henri Poincaré , men den blev skabt af Eugenio Beltrami , som brugte den sammen med Klein -modellen og Poincaré-modellen i cirklen for at vise, at hyperbolsk geometri er lige så konsistent som Euklidisk geometri er .

Denne model er konform , hvilket betyder, at vinklerne målt ved et modelpunkt er lig med vinklerne på det hyperbolske plan.

Cayley-transformationen giver en isometri mellem modellen i halvplanet og Poincaré-modellen i cirklen .

Denne model kan generaliseres til en model af ( n + 1)-dimensionelt hyperbolsk rum ved at erstatte det reelle tal x med en vektor i n -dimensionelt euklidisk vektorrum.

Metrisk

Modelmetrikken i halvplanet har formen

,

hvor s måler længden langs en (evt. buet) linje. Linjerne på det hyperbolske plan ( geodætikken for denne metriske tensor, dvs. de afstandsminimerende kurver) er repræsenteret på denne model af cirkler vinkelret på x - aksen (halvcirkler centreret på x -aksen ) og lodrette stråler vinkelret på x -aksen .

Afstandsberegning

Generelt måles afstanden mellem to punkter i denne metrik langs geodetik og er lig med:

dist ⁡ ( ⟨ x en , y en ⟩ , ⟨ x 2 , y 2 ⟩ ) = bue ⁡ ( en + ( x 2 − x en ) 2 + ( y 2 − y en ) 2 2 y en y 2 ) = 2 arsh ⁡ en 2 ( x 2 − x en ) 2 + ( y 2 − y en ) 2 y en y 2 = 2 ln ⁡ ( x 2 − x en ) 2 + ( y 2 − y en ) 2 + ( x 2 − x en ) 2 + ( y 2 + y en ) 2 2 y en y 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatørnavn {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )&=\operatørnavn {arch} (1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}{2y_{1}y_{ 2}}})\\&=2\operatørnavn {arsh} {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+ {(y_{2}-y_{1})}^{2}}{y_{1}y_{2))))\\&=2\ln {\frac {{\sqrt {{(x_{2 }-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2))}+{\sqrt {{(x_{2}-x_{1})} ^{2}+{(y_{2}+y_{1})}^{2)))){2{\sqrt {y_{1}y_{2))))},\end{aligned}} }

hvor arch og arsh er inverse hyperbolske funktioner

Nogle særlige tilfælde kan forenkles:

[1] .

En anden måde at beregne afstanden mellem to punkter på er længden af ​​en bue langs en (euklidisk) halvcirkel:

hvor er punkterne af halvcirklen (enderne), der ligger på grænselinjen, og er den euklidiske længde af det segment af cirklen, der forbinder punkterne P og Q i denne model.

Særlige punkter og kurver

cirkler med centrum og radius

Kort oversigt over euklidiske cirkler

Lad en euklidisk cirkel med centrum og radius være givet .

Konstruktioner med kompas og ligekant

Dette viser, hvordan man konstruerer med kompas og rettekant i Poincaré-modellen [2] . For eksempel hvordan man konstruerer en halvcirkel i et euklidisk halvplan, der modellerer en hyperbolsk linje, der går gennem to punkter.

Konstruktion af en hyperbolsk linje, der går gennem to punkter

Vi konstruerer et segment, der forbinder to punkter. Vi konstruerer en vinkelret, der går gennem midten af ​​segmentet. Find skæringspunktet mellem denne vinkelret med x -aksen . Vi bygger en cirkel med centrum i skæringspunktet, der passerer gennem de givne punkter (kun den øverste del over x ).

Hvis disse to punkter ligger på en lodret stråle, bygger vi den (fra x -aksen ), denne stråle vil være den ønskede linje.

Konstruktion af en cirkel med et givet centrum, der går gennem et punkt

Vi vil bygge en hyperbolsk cirkel med centrum A gennem punkt B.

Vi bygger en hyperbolsk linje (halvcirkel), der går gennem to givne punkter, som i det foregående tilfælde. Vi bygger en tangent til denne halvcirkel i punkt B. Vi tegner en vinkelret på x -aksen gennem punkt A. Find skæringspunktet mellem disse to linjer for at få midten D af modelleringscirklen. Vi konstruerer en modelleringscirkel centreret ved D , der går gennem det givne punkt B.

Vi bygger en cirkel omkring skæringspunktet mellem den lodrette linje og x -aksen, som går gennem punktet A. Vi bygger en vandret linje gennem punkt B. Vi konstruerer en tangent til cirklen i skæringspunktet med denne vandrette linje.

Midten af ​​segmentet mellem skæringspunktet mellem tangenten og den lodrette linje og B er midten af ​​modelleringscirklen. Vi bygger en modelleringscirkel rundt om midten, der passerer gennem punkt B.

Vi bygger en cirkel omkring skæringspunktet mellem den lodrette linje og x -aksen, som går gennem det givne centrum A. Vi konstruerer en tangent til cirklen , der går gennem punktet B. Vi bygger en vandret linje, der går gennem kontaktpunktet, og finder dens skæringspunkt med den lodrette linje.

Midtpunktet mellem det resulterende skæringspunkt og punktet er midten af ​​modelleringscirklen. Vi bygger en modelleringscirkel med et nyt centrum og passerer gennem punkt B.

Find midten af ​​en given (hyperbolsk) cirkel

Vi sænker den vinkelrette p fra det euklidiske centrum af cirklen til x -aksen .

Lad punktet q være basis for denne vinkelret på x -aksen .

Vi konstruerer en linje, der tangerer cirklen, der går gennem punktet q .

Vi konstruerer en halvcirkel h centreret i punktet q , der går gennem kontaktpunktet.

Det hyperbolske centrum er det punkt, hvor h og p skærer hinanden [3] .

Symmetrigrupper

Den projektive lineære gruppe PGL(2, C ) virker på den Riemannske sfære ved Möbius-transformationer . Den undergruppe, der kortlægger den øverste halvdel af planet H ind i sig selv, er PSL(2, R ), der består af transformationer med reelle koefficienter, som virker transitivt og isometrisk på den øverste halvdel af planet, hvilket gør det til et homogent rum .

Der er fire nært beslægtede Lie-grupper , som virker på den øverste halvdel af planet ved lineær-fraktionelle transformationer, der bevarer hyperbolsk afstand.

Forbindelsen mellem disse grupper og Poincaré-modellen er som følger:

Vigtige undergrupper af isometrigruppen er de fuchsiske grupper .

Den modulære gruppe SL(2, Z ) betragtes ofte , hvilket er vigtigt i to aspekter. For det første er det en gruppe af lineære transformationer af planet, der bevarer gitteret af punkter. Funktioner, der er periodiske på et kvadratisk gitter, såsom modulære former og elliptiske funktioner , arver symmetrien af ​​SL(2, Z ) gitteret. For det andet er SL(2, Z ) selvfølgelig en undergruppe af SL(2, R ), og har derfor hyperbolsk adfærd iboende. Især kan SL(2, Z ) bruges til at tesellere det hyperbolske plan med celler med samme areal.

Isometrisk symmetri

Virkningen af ​​en projektiv speciel lineær gruppe PSL(2, R ) på H er defineret som

Bemærk, at handlingen er transitiv , da der for enhver er et element sådan, at . Det er også rigtigt, at hvis for alle z fra H , så er g = e .

Stabilisatoren eller den stationære undergruppe af et element z fra H er den mængde , der efterlader z uændret - gz = z . Stabilisator i - rotationsgruppe

Da ethvert element z i H afbildes til i med et eller andet element PSL(2, R ), betyder det, at den stationære gruppe af ethvert element z er isomorf til SO(2). H = PSL(2, R ) /SO(2). Også bundtet af enhedslængde-tangensvektorer på den øverste halvdel af planet, kaldet enhedstangensbundtet , er isomorf til PSL(2, R ).

Den øverste halvdel af planet er flisebelagt med frie regulære sæt af modulgruppen SL(2, Z ).

Geodætisk

Geodætikken for den metriske tensor er halvcirkler centreret på x -aksen og lodrette stråler med oprindelse på x -aksen .

Geodetik med en hastighed på 1, der går lodret gennem punktet i , er givet ved udtrykket

Da PSL(2, R ) virker transitivt på den øverste halvdel af planet ved isometrier , kortlægges denne geodætiske til andre geodæter ved hjælp af PSL(2, R ). Således er en generel geodætisk med enhedshastighed givet ved

Dette giver en fuldstændig beskrivelse af det geodætiske flow af enhedslængdetangensbundtet (komplekst linjebundt ) på den øverste halvdel af planet.

Model i tre dimensioner

Metrisk for modellen i halvrummet

givet af udtrykket

,

hvor s måler afstanden langs en (evt.) buet linje. Linjer i hyperbolsk rum ( geodætik for denne metriske tensor, dvs. kurver, der minimerer afstanden) er repræsenteret i denne model af cirkler, der udstråler vinkelret fra z=0 -planet (halvcirkler, hvis centre er på z=0 -planet ) og af stråler, udgår vinkelret fra planet z = 0 .

Afstanden mellem to punkter måles i denne metrik langs den geodætiske og er lig med

Model i n -dimensionelt rum

Modellen kan generaliseres til modellen for ( n +1)-dimensionelle Lobachevsky-rum ved at erstatte reelle tal x med vektorer i n -dimensionelle euklidiske rum.

Se også

Noter

  1. matematik stackexchange . Dato for adgang: 19. september 2015.
  2. Bochaca, Judit Abardia Værktøjer til at arbejde med Half-Plane-modellen . Værktøjer til at arbejde med Half-Plane-tilstanden . Hentet 25. juni 2015. Arkiveret fra originalen 22. februar 2018.
  3. Cannon, Floyd, Kenyon, Parry, 1997 , s. 87.

Litteratur