Bisector

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. april 2022; checks kræver 27 redigeringer .

Halvled (fra lat. bi- "dobbelt", og sektion "skæring") af en vinkel - en stråle, der udgår fra vinklens toppunkt og deler denne vinkel i to lige store vinkler. Du kan også definere en halveringslinje som stedet for punkter inden for en vinkel, der er lige langt fra siderne af denne vinkel [1] .

Halseringslinjen i en trekant er det segment af vinkelhalveringslinjen tegnet fra vinklens toppunkt til dens skæringspunkt med den modsatte side. En trekant har tre halveringslinjer svarende til dens tre hjørner.

Relaterede definitioner

Skæringspunktet for halveringslinjen af vinklen i en trekant med dens side, der ikke er en side af denne vinkel, kaldes halveringslinjens basis .

I enhver trekant , undtagen for indre halveringslinjer eller blot halveringslinjer , kan du også tegne eksterne halveringslinjer , det vil sige halveringslinjerne af vinkler, der støder op til trekantens indre vinkler. I dette tilfælde er de indre og ydre halveringslinjer af samme vinkel vinkelrette . $ABC$
Tegning af alle tre af dens ydre halveringslinjer i en given trekant til deres skæringspunkter med hinanden ved centre af excirkler (henholdsvis ) danner en ny trekant (se fig.) - en trekant med tre eksterne halveringslinjer . Dette er en ny trekant af centre af excirkler med spidser, der tangerer henholdsvis siderne af den oprindelige trekant. ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$ ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$ $a,b,c$
Centret af cirklen, der passerer gennem cirklernes centre, er Bevan-punktet .
Den oprindelige trekant er orthotrekanten for trekanten ${\displaystyle \Delta J_{A}J_{B}J_{C))$
Skæringspunktet for symmedianerne i en trekant dannet af midten af dens excirkler er midten af Mandart-ellipsen . Dette punkt kaldes på engelsk middlespoint, på tysk - "Mittelpunkt". Det blev opdaget i 1836 af Christian Heinrich von Nagel. [2] [3] ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$

Egenskaber

Egenskaber for skæringspunkter for halveringslinjer

Halveringslinjerne for de indre vinkler af en trekant skærer hinanden i et punkt - midten af cirklen indskrevet i denne trekant ( incenter ).
Halveringslinjerne i en indre og to ydre vinkler i en trekant skærer hinanden i et punkt. Dette punkt er midten af en af de tre cirkler i denne trekant.
Hver halveringslinje i en trekant divideres med halveringspunktet i forhold til summen af de tilstødende sider til den modsatte side, regnet fra toppunktet.
En Feuerbach-hyperbel er en afgrænset hyperbel, der passerer gennem ortocentret og midten af den indskrevne cirkel (det er også midtpunktet eller skæringspunktet for de indre halveringslinjer i en trekant). Dens centrum ligger ved Feuerbach-punktet . Poder- og cevianske cirkler af punkter på en Feuerbach-hyperbel passerer gennem et Feuerbach-punkt .

Egenskaber relateret til vinkler

Hver indre ( ydre ) vinkelhalveringslinje i en trekant, der kommer frem fra dens toppunkt, halverer trekantens indre ( ydre ) vinkel (i to lige store halvdele).
Vinklen mellem halveringslinjerne af to tilstødende vinkler (mellem de indre og ydre halveringslinjer for vinklerne i en trekant ved et toppunkt) er 90 grader.
Den indre halveringslinje af en vinkel i en trekant er isogonalt konjugeret med sig selv.

Egenskaber forbundet med buer

Egenskab for en indskrevet vinkelhalveringslinje: halveringslinjen af en indskrevet vinkel deler den bue , som denne vinkel hviler på, i to lige store dele.
Den samme egenskab gælder for den centrale vinkelhalveringslinje .

Egenskaber for halveringslinjerne i en ligebenet trekant

Hvis to halveringslinjer i en trekant er lige store, så er trekanten ligebenet ( Steiner-Lemus-sætningen ), og den tredje halveringslinje er både medianen og højden af den vinkel, hvorfra den kommer frem.
Det omvendte er også sandt: i en ligebenet trekant er to halveringslinjer lige store, og den tredje halveringslinje er både medianen og højden.
I en ligebenet trekant er den indre halveringslinje af vinklen modsat trekantens basis medianen og højden.
En og kun en halveringslinje af den ydre vinkel i en ulige trekant kan være parallel med den modsatte side af den indre vinkel - basen, hvis trekanten er ligebenet .
I en ligesidet trekant er alle tre halveringslinjer i de ydre vinkler parallelle med modsatte sider.
En ligesidet trekant har alle tre indre halveringslinjer ens.

Egenskaber for halveringsgrundlaget

Halvledssætning (se fig.) : Halvlederen af en indre vinkel i en trekant deler den modsatte side (det vil sige deler den modsatte side med sin grundflade ) i et forhold, der er lig med forholdet mellem de to tilstødende sider. Det vil sigeeller. ${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}$ ${\frac {BD}{AB}}={\frac {CD}{AC}}$
Halveringssætningen er et specialtilfælde af Steiners sætning .
Grundlaget for halveringslinjen af to indre og en ydre vinkel i en trekant ligger på samme linje, hvis halveringslinjen for den ydre vinkel ikke er parallel med den modsatte side af trekanten (En og kun en halveringslinje af en trekants ydre vinkel kan være parallel med den modsatte side - basen, hvis trekanten er ligebenet. En ligesidet trekant har alle tre halveringslinjer udvendige hjørner er parallelle med modsatte sider.Der er ingen andre muligheder).
Halseringslinjen af en indre vinkel i en trekant deler den modsatte side isotomisk i forhold til antibisektoren af samme vinkel.
Cirkler bygget, som på en diameter, på et segment, der forbinder baserne af de indre og ydre halveringslinjer , frigivet fra en vinkel, passerer gennem Apollonius-punkter .
En cirkel går gennem Feuerbach-punktet , tegnet gennem baserne af tre halveringslinjer .
I det generelle tilfælde skærer 3 vinkelrette sider af trekanten ikke hinanden i et punkt, trukket gennem baserne af dens 3 indre halveringslinjer , der ligger på disse sider. [fire]

Egenskaber for halveringsakser

Hvis halveringslinjen af de ydre vinkler i en trekant ikke er parallelle med modsatte sider , så ligger deres baser på den samme rette linje, kaldet aksen for de ydre halveringslinjer .
Lemoine-punktet i trekanten ligger på Auber-linjen af firkanten dannet af halveringsakserne.

Egenskaben for projektionen af et toppunkt på halveringslinjen af to andre toppunkter

Hvis to par halveringslinjer (to indre og to eksterne) tegnes fra trekantens to toppunkter, og det tredje toppunkt derefter projiceres ortogonalt på de fire opnåede halveringslinjer, så vil de opnåede fire projektionspunkter af toppunktet på halveringslinjen ligge på samme lige linje (collineær) [5] . Denne linje er trekantens midterlinje , parallel med den side, hvis ender er de to ovennævnte toppunkter.

Bemærk

I udsagnet: " Lemoine-punktet i en trekant ligger på Auber-linjen af en firkant dannet af fire halveringsakser," er det ikke klart, hvilke specifikke fire halveringsakser der menes. Tilsyneladende taler vi om en slags akser for halveringslinjen af fire trekanter, der optræder i Miquels sætning . Det er muligt, at vi taler om akserne for de ydre halveringslinjer eller antiortakserne for disse trekanter.

Andre egenskaber

Hvis trekanten er skala (ikke-ligesidet), så ligger den indre halveringslinje tegnet fra et hvilket som helst af dens toppunkter mellem den indre median og højden tegnet fra samme toppunkt.
Afstandene fra vinklens sider til ethvert punkt i halveringslinjen er de samme.
Konstruktion af en trekant med tre givne halveringslinjer ved hjælp af et kompas og en retlinje er umulig, [6] selvom der er en trekant . [7]
Tre ydre halveringslinjer i en hvilken som helst trekant skærer hinanden i tre forskellige punkter, som er centrene for den oprindelige trekants cirkler eller hjørnerne af den såkaldte trekant af de tre ydre halveringslinjer i den oprindelige trekant [8] .
Tre fortsættelser af de tre halveringslinjer i den oprindelige trekant, gennem deres tre baser, indtil de skærer hinanden ved de tre hjørner af dens trekant af de tre ydre halveringslinjer , vises i den sidste trekant som tre højder.

Tredobler af linjestykker parallelt med tre ikke-sektorer i en trekant

Tredobler af segmenter parallelt med tre ikke-sektorer og samtidig skærende på ét punkt

Hver fok er et segment, hvis den ene ende er i midten af en side af trekanten, og som er parallel med halveringslinjen af vinklen modsat denne side. Tre jibs som den ovenfor skærer hinanden i midten af Spieker .
Hvis et segment tegnes med den ene ende i kontaktpunktet for trekantens indskrevne cirkel med dens side i retningen parallel med halveringslinjen af vinklen modsat denne side, og så konstrueres lignende segmenter for de to andre sider, så skærer disse tre segmenter hinanden i ét punkt [9] .

Tre af linjestykker parallelle med tre ikke-sektorer og danner samtidigt 2 trekanter

I enhver trekant ABC kan 2 trekanter indskrives med 3 sider parallelle med de 3 halveringslinjer i trekanten ABC. Disse trekanter har en fælles cirkel af Euler-cirkeltypen, det vil sige, at 6 af deres hjørner ligger på 1 cirkel. [ti]

Længden af halveringslinjerne i en trekant

For at udlede formlerne nedenfor kan du bruge Stewarts sætning .

l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}} \over {a+b}}={\frac {2{\sqrt {abp(pc) }}}{a+b}}

, hvor er halvperimeteren af .

s

l_{c}={\sqrt {ab-a_{l}b_{l))}

l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}

l_{c}={\frac {2a_{l}b_{l}\cos {\frac {\gamma }{2))}{\sqrt {a_{l}^{2}+b_{l }^{2}-2a_{l}b_{l}\cos {(\gamma })}}}

l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta}{2))))

For tre vinkelhalveringslinjer , og med henholdsvis længder og , gælder følgende formel [11] $EN$ $B$ $C$ $l_{a},l_{b},$ $l_{c}$

{\frac {(b+c)^{2}}{bc}}l_{a}^{2}+{\frac {(c+a)^{2}}{ca}}l_{ b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}l_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.

w_{c}^{2}=a_{w}\cdot b_{w}-ab=CE^{2}=BE\cdot AE-ab

Incenteret (skæringspunktet for de tre indre halveringslinjer i en trekant) deler vinklens indre halveringslinjei forhold til, $EN$ $\frac{b+c}{a}$

hvor:

$a,b,c$ er trekantens sider mod spidserne hhv. $A,B,C$
$\alfa ,\beta ,\gamma$ er trekantens indre vinkler i spidserne hhv. $A,B,C$
$h_{c}$ er højden af trekanten faldet til siden . $c$
$l_{c}$ - længden af den indre halveringslinje trukket til siden , $c$
$a_{l},b_{l}$ er længderne af de segmenter, som den indre halveringslinje deler siden i, $l_{c}$ $c$
${\displaystyle w_{c))$ er længden af den ydre halveringslinje trukket fra toppunktet til forlængelsen af siden . $C$ $AB$
$a_{w},b_{w}$ er længderne af de segmenter, hvori den ydre halveringslinje deler siden og dens fortsættelse til selve halveringslinjen. ${\displaystyle w_{c))$ $c=AB$
Hvis medianen , højden og den indre halveringslinje kommer ud af den samme toppunkt i trekanten, omkring hvilken en cirkel med radius er omskrevet , så [12] :s.122,#96 $m$ $h$ $t$ $R$

4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).

Længden af halveringsdelene i en trekant

Afstanden fra toppunktet C til centrum af den indskrevne cirkel er , hvor R og r er radierne af de omskrevne og indskrevne cirkler, og γ er vinklen på toppunktet C. $l_{c0}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma}{2)))))))={\sqrt {(pc)^{2}+r^{2 } ))={\sqrt {ab-4Rr))$
Formlerne i det sidste afsnit giver i det væsentlige længden af den del af halveringslinjen fra toppunktet til deres skæringspunkt (til midten af den indskrevne cirkel eller til midten ) .
Denne formel og formlen for den anden del af den indre halveringslinje kan også findes baseret på følgende kendsgerning:
Incentret deler den indvendige halveringslinje af vinkleni forhold til, hvor,, er trekantens sider. $EN$ $\frac{b+c}{a}$ $-en$ $b$ $c$

Halvledsligninger

Hvis to tilstødende sider af en trekant er skrevet med ligninger og , så kan halveringslinjerne udtrykkeligt repræsenteres som funktioner [13] : $y_{1}=a_{1}x+b_{1}$ $y_{2}=a_{2}x+b_{2}$

y={\frac {a_{1}{\sqrt {a_{2}^{2}+1}}\pm a_{2}{\sqrt {a_{1}^{2}+1} }}{{\sqrt {a_{2}^{2}+1}}\pm {\sqrt {a_{1}^{2}+1}}}}\,x+{\frac {b_{1} {\sqrt {a_{2}^{2}+1}}\pm b_{2}{\sqrt {a_{1}^{2}+1}}}{{\sqrt {a_{2}^{ 2}+1}}\pm {\sqrt {a_{1}^{2}+1}}}}

Se også

Noter

↑ Ivanov A. B. En vinkels halveringslinje // Mathematical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1977. - T. 1: A - G. - S. 496. - 1152 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.
↑ Kimberling, Clark (1994), Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle , Mathematics Magazine bind 67 (3): 163–187 , DOI 10.2307/2690608 .
↑ v. Nagel, CH (1836), Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise , Leipzig .
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., Supplerende - 2011. - S. 105.
↑ Dmitry Efremov . Ny Triangle Geometry Arkiveret 25. februar 2020 på Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 6. Kapitel I, s. 8
↑ Hvem og hvornår beviste umuligheden af at konstruere en trekant ud fra tre halveringslinjer? Arkiveret 18. oktober 2009 på Wayback Machine . Fjernkonsultationssted for matematik MCNMO .
↑ Er det muligt at bygge en trekant med tre halveringslinjer, hvis det udover et kompas og en ligekant er tilladt at bruge en tredelt arkivkopi af 26. august 2015 på Wayback Machine . Fjernkonsultationssted for matematik MCNMO .
↑ Starikov V. N. Geometriforskning // Samling af publikationer fra det videnskabelige tidsskrift Globus baseret på materialerne fra den V. internationale videnskabelig-praktiske konference "Achievements and problems of modern science", St. Petersburg: en samling af artikler (standardniveau, akademisk niveau). S-P.: Videnskabeligt tidsskrift Globus , 2016. S. 99-100
↑ Løsninger af opgaver i den første fase af All-Siberian Open Olympiade for skolebørn 2015-2016 i matematik. Opgave 10.3, s. 5-6// https://sesc.nsu.ru/upload/iblock/1ad/2015_1_math_s.pdf
↑ Dmitry Efremov . Ny Triangle Geometry Arkiveret 25. februar 2020 på Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 26. Kapitel I. Øvelser. s.33
↑ Simons, Stuart. Matematisk Gazette 93, marts 2009, 115-116.
↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publ., 2007.
↑ Ligningen for halveringslinjen for en vinkel mellem to rette linjer. Opgaver med øget sværhedsgrad . Anvendt matematik . Hentet 3. december 2021. Arkiveret fra originalen 3. december 2021. (Russisk)

Litteratur

Kogan B. Yu Anvendelse af mekanik til geometri. - M . : Nauka, 1965. - 56 s.
Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTSNMO , 2004. - S. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0 .

Trekant
Typer af trekanter	Rektangulær Ligebenet Ligesidet Ligebenet rektangulær
Vidunderlige linjer i en trekant	Median Højde Bisector Midtvinkelret midterste linje Omskrevne og indskrevne cirkler Simsons lige linje Euler linje Simediana Cheviana
Bemærkelsesværdige punkter i trekanten	Ortocenter Centroid Incenter Brocard punkt Vecten punkt Point Gergonne Lemoine punkt Miquel point Nagel point Napoleon peger Torricellis punkter Ni punkt cirkel centrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centres
Grundlæggende teoremer	trekant ulighed Tegn på lighed mellem trekanter Løsning af trekanter Trekantets udvendige vinkelsætning Trekantsummen af vinkler sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Sinus-sætning Projektionssætningen Herons formel
Yderligere teoremer	Van Obels sætning Menelaos sætning Reuschle (Terkema) sætning Stewarts teorem Tangentsætning Cotangenssætning Cevas sætning Mollweide formler
Generaliseringer	sfærisk trekant hyperbolsk trekant Simplex