Switch (algebra)

En kommutator af operatorer og i algebra , såvel som kvantemekanik , er en operator . Generelt er det ikke lig med nul. Begrebet en kommutator strækker sig også til vilkårlige associative algebraer (ikke nødvendigvis operatoralgebraer). I kvantemekanikken har navnet på kvante -Poisson-beslaget også holdt sig til kommutatoren af operatører . ${\hat {A}}$ ${\hat B}$ $[{\hat A},{\hat B}]={\hat A}{\hat B}-{\hat B}{\hat A}$

Hvis kommutatoren for to operatører er lig med nul, kaldes de pendling, ellers er de ikke-pendlere.

Identiteter med kommutatoren

Antikommutativitet : Denne identitet indebærer det for enhver operatør . $[A,B]=-[B,A].$ $[A,A]=0$ $EN$

I associativ algebra er følgende identiteter også sande:

$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$ . Denne identitet er Leibniz-reglen for en operator. Af denne grund kaldes en operator en iboende afledning i algebra. Operatøren har en lignende egenskab $D_{A}=[A,\cdot ].$ $D_{A}$ ${\tilde D}_{A}=[\cdot ,A].$
Jacobi-identitet : En algebra, der opfylder Jacobi-identiteten, kaldes en Lie-algebra . Fra enhver associativ algebra kan man således opnå en Lie-algebra, hvis man definerer multiplikation i den nye algebra som en kommutator af elementer i den gamle algebra. $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.$
$[AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0.$ Denne identitet er en anden notation af Jacobi-identiteten.
$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
$[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
$[AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D ]B$
$[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
$[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
$[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
$[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A], B],C]=[[A,C],[B,D]]$
$e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{ 3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \equiv e^{\operatørnavn {ad} (A)}B.$ Denne formel er gyldig i algebraer, hvor en matrixeksponent kan defineres, såsom i Banach-algebra eller i ringen af formelle potensrækker . Det spiller også en afgørende rolle i kvantemekanikken og kvantefeltteorien i konstruktionen af forstyrrelsesteori for operatører i Heisenberg -repræsentationen og i interaktionsrepræsentationen .
$\ln \left(e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}\right)=[A,B]+{\frac {1}{2!} [(A+B),[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\venstre([A,[B,[B,A]]]]/2+[(A+ B ),[(A+B),[A,B]]]\right)+\cdots .$

Kommutatoren i kvantemekanik

Som det er kendt, svarer den fysiske måling i kvantemekanik til handlingen af operatøren af en fysisk størrelse på systemets tilstandsvektor . De såkaldte rene tilstande , hvor den fysiske størrelse har en strengt defineret værdi, svarer til egenvektorer , mens værdien af størrelsen i en given tilstand er egenværdien af den rene tilstandsvektor: ${\hat F}$ $f$ ${\hat F}$

{\hat {F}}\psi _{i}=f\psi _{i}

Hvis to kvantemekaniske størrelser er målbare samtidigt, vil de i rene tilstande begge have en vis værdi, det vil sige, at mængdernes egenvektorer falder sammen. Men så vil de pendle:

{\hat {F}}{\hat {G}}\psi _{i}=g{\hat {F}}\psi _{i}=gf\psi _{i}={\hat {G}}{\hat {F}}\psi _{i}

Følgelig svarer ikke-pendlende operatører til fysiske mængder, der ikke har en bestemt værdi på samme tid. Et typisk eksempel er momentumoperatorerne (momentumkomponenter ) og den tilsvarende koordinat (se usikkerhedsrelationen ). ${\hat p}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x))$ ${\hat x}=x$

Fredningslove

Egenværdierne for Hamiltonian af et kvantesystem er energiværdierne i stationære tilstande. En indlysende konsekvens af ovenstående er, at en fysisk størrelse, hvis operatør pendler med Hamiltonianeren, kan måles samtidigt med systemets energi. Men i kvantemekanikken indtager energi en særlig rolle. Fra Schrödinger-ligningen

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))={\hat {H))\psi

og definitionen af den samlede afledte af operatøren med hensyn til tid

{\dot {{\hat f}}}={\hat {{\dot f}}}

man kan få et udtryk for den samlede tidsafledte af en fysisk størrelse, nemlig:

{\dot {\hat {f))}={i \over \hbar }[{\hat {H)),{\hat {f))]+{\frac {\partial {\hat { f))}{\partial t))

Derfor, hvis operatøren af en fysisk mængde pendler med Hamiltonian, så ændres denne mængde ikke med tiden . Denne relation er kvanteanalogen af identiteten

{\dot {f))={\mathcal {\{}}H,f{\mathcal {\}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}

fra klassisk mekanik, hvor {,} er Poisson-parentesen af funktioner. På samme måde som det klassiske tilfælde udtrykker det tilstedeværelsen af visse symmetrier i systemet, hvilket genererer integraler af bevægelse . Det er bevaringsegenskaben under visse rumsymmetrier, der ligger til grund for definitionen af mange kvanteanaloger af klassiske størrelser, for eksempel defineres momentum som en størrelse, der bevares under alle oversættelser af systemet, og vinkelmomentum defineres som en størrelse, der bevares under rotationer.

Nogle kommuteringsrelationer

Lad os angive værdierne for nogle almindeligt forekommende kommutatorer.

{\hat r}_{i},{\hat p}_{i},{\hat L}_{i}

er operatoren for henholdsvis den i-te komponent af radiusvektoren, momentum og vinkelmomentum ; - Kronecker delta ; er en absolut antisymmetrisk tredjerangs pseudotensor .

\delta _{{ij}}

e_{{ijk}}

[{\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}

[{\hat {p)),f({\vec {r)))]=-i\hbar \nabla f

[{\hat {L}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {r}}_{k}

[{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {p}}_{k}

[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {L}}_{k}

[{\hat L}^{2},{\hat L}_{i}]=0

Som regel er relationerne til det normaliserede øjeblik nødvendige: $\ {\hat L}_{j}=\hbar {\hat l}_{j}$

[{\hat {l}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {r}}_{k}

[{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {p}}_{k}

[{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {l}}_{k}

[{\hat l}^{2},{\hat l}_{i}]=0

Det kan ses ud fra disse relationer, at en partikels vinkelmomentum ikke kan måles samtidigt med dens koordinater eller momentum. Bortset fra det tilfælde, hvor momentet er lig med nul, er dets forskellige komponenter desuden ikke målbare på samme tid. Dette vinkelmomentum er fundamentalt forskelligt fra momentum og radiusvektoren, hvor alle tre komponenter kan bestemmes samtidigt. For vinkelmomentum kan du kun måle dens projektion på en eller anden akse (normalt ) og kvadratet af dens længde. $z$

Løgnalgebra af fysiske størrelser

Kommutatoren er kvanteanalogen til Poisson-beslaget i klassisk mekanik . Kommutatoroperationen introducerer strukturen af en Lie-algebra på operatorer (eller elementer i en algebra) , så antikommutativ multiplikation i en Lie-algebra kaldes også en kommutator.

Ikke-pendlermængder

Ikke-pendlende mængder kaldes mængder, hvis kommutator . $EN$ $B$ $[A,B]=AB-BA\iq 0$

To fysiske størrelser kan måles samtidigt, hvis og kun hvis deres operatører pendler [1] .

Anticommutator

Antikommutatoren er en symmetriserende operator over ringens elementer , som bestemmer graden af "antikommutativitet" af multiplikation i ringen:

[x,y]_{+}:=xy+yx

Den kommutative " Jordan multiplikation " introduceres gennem antikommutatoren . Clifford-algebraen relaterer altid antikommutatoren naturligt til den bilineære form, der definerer den.

Eksempler

Antikommutatoren for et par forskellige imaginære enheder for quaternioner er lig med nul.
Ved hjælp af antikommutatoren bestemmes Dirac gamma- matricerne .

Litteratur

Blokhintsev D. I. Grundlæggende om kvantemekanik. - 5. udg. — M.: Nauka, 1976. — 664 s.
Boum A. Kvantemekanik: grundlæggende og applikationer. — M.: Mir, 1990. — 720c.
Dirac P. Principper for kvantemekanik. - 2. udg. — M.: Nauka, 1979. — 480 s.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantemekanik (ikke-relativistisk teori). — Udgave 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoretisk fysik ", bind III). - ISBN 5-02-014421-5 .

Se også

Noter

↑ 3.7. Samtidig måling af forskellige fysiske størrelser . Hentet 15. april 2016. Arkiveret fra originalen 24. april 2016. (ubestemt)