Sandsynlighed strøm

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. marts 2020; checks kræver 2 redigeringer .

I kvantemekanikken beskriver sandsynlighedsstrømmen (eller sandsynlighedsfluxen ) ændringen i sandsynlighedstæthedsfunktionen .

Definition

Sandsynlighedsstrømmen er defineret som $\vec j$

{\vec j}={\frac {\hbar }{2mi}}\venstre(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla}\Psi ^{*}\ højre)={\frac \hbar m}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi )

og opfylder den kvantemekaniske kontinuitetsligning

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}=0

med en sandsynlighedstæthed givet ved $\rho$

{\displaystyle \rho =|\Psi |^{2))

Kontinuitetsligningen svarer til følgende integralligning:

{\frac {\partial }{\partial t))\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV+\int \limits _{S}{\vec j}\cdot {\vec {dS }}=0

hvor er volumen og er grænsen for volumen . Dette er bevarelsesloven for sandsynlighedstætheden i kvantemekanik. $V$ $S$ $V$

Især, hvis er bølgefunktionen af en individuel partikel, er integralet i det første led i den foregående ligning (uden den afledede tid) sandsynligheden for at opnå en værdi inden for , når partiklens position måles. Det andet led er den hastighed, hvormed sandsynligheden "flyder ud" af volumen . $\psi$ $V$ $V$

Generelt siger ligningen, at den tidsafledede af sandsynligheden for at finde en partikel i er lig med den hastighed, hvormed sandsynligheden "flyder" fra . $V$ $V$

Eksempler

Plane bølge

Sandsynlighedsstrøm, der kan forbindes med en plan bølge

\Psi =Ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i\omega t}

vil blive skrevet i formularen

{\vec j}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{{-i{\vec k}\cdot {\vec r}}}{\vec \nabla }e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}-e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}{\vec \nabla }e^ {{-i{\vec k}\cdot {\vec r}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\vec k}}{m}}.

Dette er produktet af kvadratet af bølgeamplituden og partikelhastigheden:

{\vec v}={\frac {{\vec p}}{m}}={\frac {\hbar {\vec k}}{m}}

Bemærk, at sandsynlighedsstrømmen ikke er nul, selvom plane bølger er stationære tilstande og dermed

{\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0

overalt. Dette viser, at partiklen kan bevæge sig, selvom dens rumlige sandsynlighedstæthed ikke har nogen eksplicit tidsafhængighed.

Partikel i en boks

For en endimensionel kasse med uendelige vægge af længde ( ), vil bølgefunktionerne blive skrevet i formen $L$ $0<x<L$

\Psi _{n}={\sqrt {{\frac {2}{L}}}}\sin \left({\frac {n\pi}{L}}x\right)

og nul til højre og venstre for pit. Så vil den aktuelle blive skrevet i skemaet

j_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\ Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0

fordi $\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}.$

Afledning af kontinuitetsligningen

I dette afsnit er kontinuitetsligningen afledt af definitionen af sandsynlighedsstrømmen og kvantemekanikkens grundlæggende principper.

Antag, at det er bølgefunktionen for en partikel, afhængigt af tre variable , , og ). Derefter $\psi$ $x$ $y$ $z$

P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV

definerer sandsynligheden for at måle partiklens position i volumenet V . Den tidsafledte vil blive skrevet i formen

{\frac {dP}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV=\int \limits _{V} \venstre({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)dV

hvor den sidste lighed indebærer, at den partielle afledte med hensyn til tid kan bringes ind under integralet (volumenets form afhænger ikke af tid). For yderligere forenkling skal du overveje den ikke-stationære Schrödinger-ligning $V$

i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi

og brug det til at udtrække tidsderivatet af : $\psi$

{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\ psi

Resultatet af substitution i den foregående ligning for giver ${\frac {dP}{dt))$

{\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\ Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV

Nu efter overgang til divergens

\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}{\vec \nabla}\Psi -\Psi {\vec \nabla}\Psi ^{*}\right)={\vec \nabla }\Psi ^{ *}\cdot {\vec \nabla }\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\vec \nabla }\Psi \cdot {\vec \nabla }\Psi ^{*} -\Psi {\vec \nabla }^{2}\Psi ^{*}

og da det første og tredje vilkår annulleres:

{\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\vec \nabla }\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\ vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\right)dV

Hvis vi nu husker udtrykket for og bemærker, at det udtryk, som nabla- operatoren virker på, er , så skriver vi udtrykket $P$ $\vec j$

\int \limits _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec \nabla}\cdot {\vec j}\right)dV =0

som er den integrerede form af kontinuitetsligningen. Differentialformen følger af, at den foregående ligning gælder for alle volumener, og integralet kan udelades: $V$

{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}=0.