Kaosteori

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. januar 2022; checks kræver 10 redigeringer .

Kaosteori  er et matematisk apparat, der beskriver adfærden af ​​visse ikke-lineære dynamiske systemer , der under visse betingelser er underlagt et fænomen kendt som kaos ( dynamisk kaos , deterministisk kaos ). Et sådant systems adfærd ser ud til at være tilfældig, selvom modellen, der beskriver systemet, er deterministisk . For at understrege den særlige karakter af det fænomen, der studeres inden for rammerne af denne teori, er det sædvanligvis sædvanligt at bruge navnet dynamisk kaosteori .

Eksempler på sådanne systemer er atmosfæren , turbulente strømninger , nogle typer af hjertearytmier , biologiske populationer , samfundet som et kommunikationssystem og dets undersystemer: økonomiske, politiske, psykologiske (kulturhistoriske og interkulturelle) og andre sociale systemer. Deres undersøgelse, sammen med den analytiske undersøgelse af de tilgængelige gentagelsesrelationer, ledsages normalt af matematisk modellering .

Kaosteori er et fagområde, der forbinder matematik og fysik.

Grundlæggende information

Kaosteori indebærer, at komplekse systemer er ekstremt afhængige af startbetingelser, og små ændringer i miljøet kan føre til uforudsigelige konsekvenser.

Matematiske systemer med kaotisk adfærd er deterministiske, det vil sige, de adlyder nogle strenge love og er på en måde ordnede. Denne brug af ordet "kaos" adskiller sig fra dets sædvanlige betydning (se kaos i mytologi ). Et separat område af fysik - teorien om kvantekaos  - studerer ikke-deterministiske systemer, der adlyder kvantemekanikkens love .

Teoriens pionerer er den franske fysiker og filosof Henri Poincaré (han beviste gentagelsessætningen ), de sovjetiske matematikere A. N. Kolmogorov og V. I. Arnold og den Yu.tyske matematiker ). Teorien introducerer begrebet attraktorer (herunder mærkelige attraktorer som tiltrækker Cantor-strukturer), stabile baner i et system (den såkaldte KAM-tori).

Begrebet kaos

I hverdagssammenhæng betyder ordet " kaos " "at være i en tilstand af uorden." I kaosteori er adjektivet kaotisk mere præcist defineret. Selvom der ikke er nogen almindeligt accepteret universel matematisk definition af kaos, siger den almindeligt anvendte definition, at et dynamisk system, der er klassificeret som kaotisk, skal have følgende egenskaber:

  1. Det skal være følsomt over for startforhold.
  2. Det skal have egenskaben topologisk blanding.
  3. Dens periodiske baner skal være tætte overalt.

Mere præcise matematiske betingelser for fremkomsten af ​​kaos ser sådan ud:

Systemet skal have ikke-lineære karakteristika, være globalt stabilt, men have mindst ét ​​ustabilt ligevægtspunkt af oscillerende type, mens systemets fraktale dimension skal være mindst 1,5.

Lineære systemer er aldrig kaotiske. For at et dynamisk system kan være kaotisk, skal det være ikke-lineært. Ifølge Poincaré-Bendixson-sætningen kan et kontinuerligt dynamisk system på et plan ikke være kaotisk. Blandt kontinuerlige systemer har kun ikke-planære rumlige systemer kaotisk adfærd (mindst tre dimensioner eller ikke-euklidisk geometri er påkrævet ). Imidlertid kan et diskret dynamisk system på et tidspunkt udvise kaotisk adfærd selv i et-dimensionelt eller to-dimensionelt rum .

Følsomhed over for startbetingelser

Følsomhed over for begyndelsesbetingelser i et sådant system betyder, at der eksisterer sådan, at der for ethvert punkt og ethvert af dets kvarterer er et punkt og et tal , således at . Det er vigtigt at bemærke, at følsomhed over for startbetingelser er forskellig fra ekspansivitet .

En vilkårlig lille ændring i den nuværende bane kan således føre til en væsentlig ændring i dens fremtidige adfærd. Det er bevist, at de sidste to egenskaber faktisk indebærer følsomhed over for initiale forhold (en alternativ, svagere definition af kaos bruger kun de to første egenskaber fra ovenstående liste).

Følsomhed over for initiale forhold er mere almindeligt kendt som " sommerfugleeffekten ". Udtrykket opstod i forbindelse med artiklen "Prediction: The flapping of a butterfly in Brazil will cause a tornado in Texas", som Edward Lorenz præsenterede i 1972 for den amerikanske "Association for the Advancement of Science" i Washington . Flappen med sommerfuglens vinger symboliserer små ændringer i systemets begyndelsestilstand, som udløser en kæde af begivenheder, der fører til store ændringer.

Topologisk blanding

Topologisk blanding i kaos dynamik betyder en sådan systemudvidelsesplan, at et af dets områder i et eller andet udvidelsesstadium overlejres på et hvilket som helst andet område. Det matematiske begreb "blanding" som et eksempel på et kaotisk system svarer til blanding af flerfarvede malinger eller væsker.

Finesser i definitionen

I populære skrifter forveksles følsomhed over for begyndelsesbetingelser ofte med selve kaos. Linjen er meget tynd, da den afhænger af valget af måleindikatorer og definitionen af ​​afstande i en bestemt fase af systemet. Overvej for eksempel et simpelt dynamisk system , der gentagne gange fordobler startværdier. Et sådant system har overalt en følsom afhængighed af begyndelsesbetingelserne, eftersom to nabopunkter i den indledende fase efterfølgende vil være i betydelig afstand fra hinanden. Imidlertid er dens adfærd triviel, da alle punkter undtagen nul har en tendens til uendelig , og dette er ikke topologisk blanding. I definitionen af ​​kaos er opmærksomheden normalt kun begrænset til lukkede systemer, hvor ekspansion og følsomhed over for begyndelsesforhold kombineres med blanding.

Selv for lukkede systemer er følsomhed over for startbetingelser ikke identisk med kaos i den forstand beskrevet ovenfor. Betragt for eksempel en torus givet af et par vinkler ( x , y ) med værdier fra 0 til 2π . Kortlægningen af ​​ethvert punkt ( x , y ) er defineret som (2 x , y + a ) hvor værdien a /2π er irrationel . Fordobling af den første koordinat i displayet indikerer følsomhed over for begyndelsesbetingelser. Men på grund af den irrationelle ændring i den anden koordinat er der ingen periodiske baner  - derfor er kortlægningen ikke kaotisk ifølge ovenstående definition.

Et eksempel på et system, der ikke er følsomt over for startbetingelser, men som har egenskaben topologisk blanding, er rotationen af ​​enhedscirklen gennem en irrationel vinkel .

Attraktører

Attraktor (fra engelsk  tiltrække  - at tiltrække, tiltrække) - et sæt tilstande (mere præcist - punkter i faserummet ) af et dynamisk system , som det tenderer til over tid. De enkleste varianter af attraktoren er et attraktivt fikspunkt (for eksempel i problemet med et pendul med friktion) og en periodisk bane (et eksempel er selv-exciterede svingninger ipositiv feedback-loop), men der er også meget mere komplekse eksempler .

Nogle dynamiske systemer er altid kaotiske, men i de fleste tilfælde observeres kaotisk adfærd kun, når parametrene for det dynamiske system tilhører et særligt underrum .

Det mest interessante er tilfældene af kaotisk adfærd, når et stort sæt begyndelsesbetingelser fører til en ændring i attraktorens kredsløb . En nem måde at demonstrere en kaotisk attraktor på er at starte fra et punkt i attraktorens tiltrækningsområde og derefter plotte dens efterfølgende bane. På grund af tilstanden af ​​topologisk transitivitet svarer dette til at kortlægge billedet af en komplet endelig attraktor.

For eksempel, i et system, der beskriver et pendul , er rummet todimensionelt og består af positions- og hastighedsdata. Du kan plotte pendulets positioner og dets hastighed. Pendulets position i hvile vil være et punkt, og en periode med svingning vil fremstå på grafen som en simpel lukket kurve . En graf i form af en lukket kurve kaldes en bane. Pendulet har et uendeligt antal af sådanne baner, der tilsyneladende danner en samling af indlejrede ellipser .

Mærkelige attraktorer

De fleste typer bevægelse er beskrevet af simple attraktorer, som er afgrænsede cyklusser. Kaotisk bevægelse beskrives af mærkelige attraktorer, som er meget komplekse og har mange parametre . For eksempel er et simpelt tredimensionelt vejrsystem beskrevet af den berømte Lorenz-attraktor,  et af de mest berømte diagrammer over kaotiske systemer, ikke kun fordi det var et af de første, men også fordi det er et af de mest komplekse. En anden sådan attraktor er Rössler-attraktoren , som har en dobbelt periode , svarende til det logistiske kort .

I modsætning til fastpunkts-attraktorer og limit-cyklusser, er attraktorer, der stammer fra kaotiske systemer kendt som mærkelige attraktorer, af betydelige detaljer og kompleksitet. Mærkelige attraktorer forekommer både i kontinuerlige dynamiske systemer (såsom Lorentz-systemet) og i nogle diskrete systemer (såsom Henault-kortet ). Andre diskrete dynamiske systemer har en frastødende struktur kaldet Julia-sættet , som dannes ved grænsen mellem tiltrækningsbassiner af faste punkter. Julia-sæt kan ses som mærkelige afskrækkere. Både mærkelige attraktorer og Julia-sæt har en typisk rekursiv fraktal struktur.

Poincaré-Bendixson-sætningen beviser, at en mærkelig attraktor kun kan opstå i et kontinuerligt dynamisk system, hvis den har tre eller flere dimensioner . Denne begrænsning virker dog ikke for diskrete dynamiske systemer. Diskrete to- og endda endimensionelle systemer kan have mærkelige attraktorer. Bevægelsen af ​​tre eller flere kroppe, der oplever gravitationel tiltrækning under visse begyndelsesbetingelser, kan vise sig at være en kaotisk bevægelse.

Simple kaotiske systemer

Simple systemer uden differentialligninger kan også være kaotiske . Et eksempel kunne være en logistisk kortlægning, der beskriver ændringen i befolkningen over tid. Det logistiske kort er et polynomisk kort af anden grad og gives ofte som et typisk eksempel på, hvordan kaotisk adfærd kan opstå fra meget simple ikke-lineære dynamiske ligninger . Et andet eksempel er Ricoeur-modellen , som også beskriver befolkningsdynamikken.

En cellulær automat  er et sæt celler, der danner et bestemt periodisk gitter med givne overgangsregler. En cellulær automat er et diskret dynamisk system, hvis adfærd er fuldstændigt defineret i form af lokale afhængigheder. Udviklingen af ​​selv simple diskrete systemer , såsom cellulære automater, kan være meget afhængig af startbetingelser. Dette emne diskuteres i detaljer i Stephen Wolframs værker .

En simpel model for konservativ (reversibel) kaotisk adfærd demonstreres af den såkaldte " Arnolds kat "-kortlægning . I matematik er "Arnolds kat"-skærmen en torusmodel , som han demonstrerede i 1960 ved hjælp af billedet af en kat.

Selv en endimensionel visning kan vise kaos for de tilsvarende parameterværdier , men tre eller flere dimensioner er nødvendige for en differentialligning . Poincaré-Bendixson-sætningen siger, at en todimensionel differentialligning har en meget stabil adfærd. Tredimensionelle kvadratiske systemer med kun tre eller fire variabler kan ikke udvise kaotisk adfærd [1] [2] . Årsagen er, at sådanne systemers løsninger er asymptotiske med hensyn til todimensionelle planer og derfor er stabile løsninger.

Chua-kredsløbet er et af de enkleste elektriske kredsløb, der genererer kaotiske svingninger.

Matematisk teori

Sharkovskys sætning  er grundlaget for Li og Yorkes (1975) bevis på, at et endimensionelt system med en regulær tredobbelt cyklusperiode kan kortlægge regelmæssige cyklusser af enhver anden længde såvel som fuldstændig kaotiske baner . Matematikere har opfundet mange yderligere måder at beskrive kaotiske systemer i kvantitative termer. Disse inkluderer: den rekursive dimension af attraktoren , Lyapunov-eksponenten , plot af gentagelsesrelationen , Poincaré-kortet , fordoblingsdiagrammer og skiftoperatoren .

Kronologi

Den første forsker af kaos var Henri Poincaré . I 1880'erne, mens han studerede adfærden af ​​et system med tre legemer, der interagerer gravitationelt, bemærkede han, at der kan være ikke-periodiske baner , der konstant hverken trækker sig tilbage eller nærmer sig et bestemt punkt. I 1898 udgav Jacques Hadamard et indflydelsesrigt papir om den kaotiske bevægelse af en fri partikel, der glider uden friktion på en overflade med konstant negativ krumning. I sit arbejde "Hadamard billard" beviste han, at alle baner er ustabile, og partiklerne i dem afviger fra hinanden med en positiv Lyapunov-eksponent .

Næsten al den tidligere teori, kaldet ergodisk teori, blev udviklet af matematikere alene. Senere ikke-lineære differentialligninger blev undersøgt af Birghoff , A. Kolmogorov , M. Karetnik, J. Littlewood og Steven Smale. Ud over Smale blev de alle inspireret til at studere kaos af fysik: adfærden af ​​tre kroppe i tilfældet Birghoff, turbulens og astronomisk forskning i tilfældet Kolmogorov, radioteknik i tilfældet Karetnik og Littlewood. Selvom kaotisk planetarisk bevægelse ikke er blevet undersøgt, har forsøgsledere stødt på turbulens i væskeflow og ikke-periodiske svingninger i radiokredsløb uden tilstrækkelig teori til at forklare det.

På trods af forsøg på at forstå kaos i første halvdel af det 20. århundrede, begyndte kaosteorien som sådan først at tage form fra midten af ​​århundredet. Så blev det klart for nogle videnskabsmænd, at den lineære teori, der herskede på det tidspunkt, simpelthen ikke kunne forklare nogle af de observerede eksperimenter som en logistisk kortlægning. For på forhånd at udelukke unøjagtigheder i undersøgelsen, blev simpel "støj" i kaosteori betragtet som en fuldgyldig komponent af det undersøgte system.

Den vigtigste katalysator for udviklingen af ​​kaosteori var den elektroniske computer . Meget af matematikken i kaosteori er iterationen af ​​simple matematiske formler, som er besværlige at lave i hånden. Elektroniske computere lavede sådanne gentagne beregninger hurtigt nok, mens tegninger og billeder gjorde det muligt at visualisere disse systemer.

En af pionererne inden for kaosteori var Edward Lorenz , hvis interesse for kaos opstod ved et uheld, mens han arbejdede på vejrudsigelse i 1961. Vejrmodellering Lorenz udført på en simpel digital computer McBee LGP-30. Da han ville se hele sekvensen af ​​data for at spare tid, startede han simuleringen fra midten af ​​processen, idet han indtastede dataene fra udskriften, som han beregnede sidste gang. Til hans overraskelse var det vejr, maskinen begyndte at forudsige, helt anderledes end det vejr, den tidligere havde beregnet. Lorenz vendte sig mod computerudskriften. Computeren var nøjagtig til 6 cifre, men udskriften afrundede variablerne til 3 cifre, for eksempel blev værdien 0,506127 udskrevet som 0,506. Denne mindre forskel burde næsten ikke have haft nogen effekt. Lorentz fandt dog ud af, at den mindste ændring i startbetingelserne forårsager en stor ændring i resultatet. Opdagelsen fik navnet Lorenz og beviste, at meteorologi ikke nøjagtigt kan forudsige vejret i mere end en uge.

Et år tidligere fandt Benoit Mandelbrot gentagne mønstre i hvert sæt bomuldsprisdata. Han studerede informationsteori og konkluderede, at interferensmønsteret var som et sæt af Regent [ ukendt udtryk ] : på enhver skala var andelen af ​​perioder med interferens til perioder uden dem konstant  - så fejl er uundgåelige og skal planlægges for. Mandelbrot beskrev to fænomener: "Noah-effekten", som opstår, når der er pludselige intermitterende ændringer, såsom prisændringer efter dårlige nyheder, og " Joseph -effekten ", hvor værdier er konstante i et stykke tid, men stadig pludselig ændrer sig bagefter. I 1967 udgav han How Long Is the Coast of Great Britain? Ligheds- og forskelsstatistik i målinger, der beviser, at kystlinjelængdedata varierer med måleinstrumentets skala. Han hævdede, at en kugle af snor ser ud til at være et punkt, når den ses på afstand (0-dimensionelt rum), det er også en kugle eller kugle, når det ses tæt nok på (3-dimensionelt rum) eller kan fremstå som en lukket buet linje fra oven (1-dimensionelt rum). Han beviste, at målingerne af et objekt altid er relative og afhænger af observationspunktet.

Et objekt, hvis billeder er konstante i forskellige skalaer ("selvlighed") er en fraktal (f.eks . Koch-kurven eller "snefnug"). I 1975 udgav Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature, som blev den klassiske teori om kaos. Nogle biologiske systemer, såsom kredsløbssystemet og bronkialsystemet, passer til beskrivelsen af ​​fraktalmodellen.

Fænomenerne kaos blev observeret af mange forsøgspersoner, selv før de begyndte at studere det. For eksempel i 1927 Van der Pol , og i 1958 P. Yves. Den 27. november 1961 bemærkede Y. Ueda, som kandidatstuderende i laboratoriet ved Kyoto Universitet, et bestemt mønster og kaldte det "tilfældige transformationsfænomener", da han eksperimenterede med analoge computere. Men hans vejleder var ikke dengang enig i hans konklusioner og tillod ham først at præsentere sine resultater for offentligheden i 1970.

I december 1977 organiserede New York Academy of Sciences det første kaosteori-symposium med deltagelse af David Ruell, Robert May, James A. York, Robert Shaw , Y. Dayan Farmer, Norman Packard og meteorolog Edward Lorentz .

Året efter udgav Mitchell Feigenbaum Quantitative Universality for Nonlinear Transformations, hvor han beskrev logistiske kortlægninger. M. Feigenbaum anvendte rekursiv geometri til studiet af naturlige former såsom kystlinjer. Det særlige ved hans arbejde er, at han etablerede universalitet i kaos og anvendte kaosteori på mange fænomener.

I 1979 præsenterede Albert J. Liebcheybr ved et symposium i Aspen sine eksperimentelle observationer af den bifurkationskaskade, der fører til kaos. Han blev tildelt Ulveprisen i fysik sammen med Mitchell J. Feigenbaum i 1986 "for deres strålende eksperimentelle demonstration af overgange til kaos i dynamiske systemer ".

Også i 1986 arrangerede New York Academy of Sciences sammen med National Institute of the Brain og Center for Naval Research den første vigtige konference om kaos i biologi og medicin. Der demonstrerede Bernardo Uberman en matematisk model af øjet og dets motilitetsforstyrrelser blandt skizofrene . Dette førte til den udbredte anvendelse af kaosteori i fysiologi i 1980'erne, såsom i studiet af hjertecyklussernes patologi .

I 1987 publicerede Per Bak, Chao Tan og Kurt Wiesenfeld en artikel i en avis, hvor de første gang beskrev selvforsyningssystemet (SS), som er en af ​​naturens mekanismer. Meget af forskningen var dengang centreret omkring store naturlige eller sociale systemer. CC er blevet en stærk kandidat til at forklare en række naturfænomener, herunder jordskælv, soludbrud, udsving i økonomiske systemer, landskabsdannelse, skovbrande, jordskred, epidemier og biologisk udvikling .

I betragtning af den uberegnelige og skalafri fordeling af hændelser er det ikke overraskende, at nogle forskere har foreslået, at forekomsten af ​​krige betragtes som et eksempel på CC. Disse "anvendte" undersøgelser omfattede to forsøg på modellering: udvikling af nye modeller og tilpasning af eksisterende til et givet naturligt system.

Samme år udgav James Gleick Chaos: The Creation of a New Science, som blev en bestseller og introducerede til den brede offentlighed de generelle principper for kaosteori og dens kronologi. Kaosteori har gradvist udviklet sig som en tværfaglig og universitetsdisciplin, hovedsageligt under navnet "ikke-lineær systemanalyse". Baseret på Thomas Kuhns koncept om et paradigmeskifte har mange "kaotiske videnskabsmænd" (som de kaldte sig selv) argumenteret for, at denne nye teori er et eksempel på et skift.

Tilgængeligheden af ​​billigere, mere kraftfulde computere udvider anvendelsen af ​​kaosteori. På nuværende tidspunkt fortsætter kaosteori med at være et meget aktivt forskningsområde, der involverer mange forskellige discipliner (matematik, topologi , fysik, biologi, meteorologi, astrofysik, informationsteori osv.).

Ansøgning

Kaosteori anvendes i mange videnskabelige discipliner: matematik, biologi, datalogi, økonomi, teknik, finans, filosofi, fysik, politik, psykologi og robotteknologi.

I laboratoriet kan kaotisk adfærd observeres i forskellige systemer, såsom elektriske kredsløb , lasere , kemiske reaktioner, væskedynamik og magnetomekaniske enheder. I naturen observeres kaotisk adfærd i bevægelsen af ​​solsystemets satellitter , udviklingen af ​​magnetfeltet i astronomiske legemer, befolkningsvækst i økologi, dynamikken i potentialer i neuroner og molekylære oscillationer . Der er væsentlige grunde til at tro, at der eksisterer kaosdynamik i pladetektonikken og i økonomien.

En af de mest succesrige anvendelser af kaosteori har været i økologi, hvor dynamiske systemer svarende til Ricoeurs model blev brugt til at vise befolkningstilvækst som en funktion af befolkningstæthed.

I øjeblikket bruges kaosteori også i medicin i studiet af epilepsi til at forudsige anfald, givet kroppens oprindelige tilstand.

Et lignende felt af fysik kaldet kvantekaosteori udforsker forholdet mellem kaos og kvantemekanik . For nylig er der dukket et nyt felt op, kaldet relativitetskaoset, for at beskrive systemer, der udvikler sig i henhold til lovene for generel relativitet .

Forskelle mellem tilfældige og kaotiske data

Det er svært kun ud fra de indledende data at sige, om den observerede proces er tilfældig eller kaotisk, fordi der praktisk talt ikke er noget klart klart "signal" om forskel. Der vil altid være interferens, selvom den er afrundet eller udeladt. Det betyder, at ethvert system, selvom det er deterministisk, vil indeholde en vis tilfældighed.

For at skelne en deterministisk proces fra en stokastisk, skal man vide, at et deterministisk system altid udvikler sig ad samme vej fra et givet udgangspunkt. For at kontrollere processen for determinisme skal du således:

  1. Vælg den tilstand, der skal testes.
  2. Find flere lignende eller næsten lignende tilstande.
  3. Sammenlign deres udvikling over tid.

Fejl er defineret som forskellen mellem ændringer i den testede tilstand og den lignende tilstand. Et deterministisk system vil have meget lidt fejl (et stabilt, konstant resultat), eller det vil stige eksponentielt over tid (kaos). Et stokastisk system vil have en tilfældigt fordelt fejl.

I det væsentlige er alle metoder til bestemmelse af determinisme baseret på at finde de tilstande, der er tættest på et givet testtilfælde (dvs. måling af korrelation , Lyapunov-eksponent osv.). For at bestemme tilstanden af ​​et system, er man normalt afhængig af rumlige metoder til at bestemme udviklingsstadiet. Forskeren vælger et måleområde og undersøger fejludviklingen mellem to nærliggende tilstande. Hvis det ser tilfældigt ud, skal du øge området for at få en deterministisk fejl. Det ser ud til, at det er nemt at gøre, men det er det i virkeligheden ikke. For det første ligger vanskeligheden i det faktum, at efterhånden som måleområdet øges, kræver søgningen efter en nærliggende tilstand meget mere beregningstid for at finde en passende kandidat. Hvis måleområdet er valgt for lille, så kan de deterministiske data se tilfældige ud, men hvis området er for stort, så sker det ikke - metoden vil virke.

Når ekstern interferens interfererer med et ikke-lineært deterministisk system, bliver dets bane konstant forvrænget. Desuden forstærkes interferenseffekterne på grund af ikke-lineariteten, og systemet udviser helt nye dynamiske egenskaber. Statistiske test, der forsøger at adskille eller isolere interferens fra et deterministisk grundlag, er mislykkedes. Når der er en interaktion mellem ikke-lineære deterministiske komponenter og støj, er der en dynamik, som traditionel ikke-linearitetstest nogle gange ikke er i stand til at fange.

Se også

Noter

  1. ↑ Zhang Fu; Jack Heidel. Ikke-kaotisk adfærd i tredimensionelle kvadratiske systemer  (engelsk)  // Ikke-linearitet : tidsskrift. - 1997. - Bd. 10 , nej. 5 . - S. 1289-1303 . - doi : 10.1088/0951-7715/10/5/014 . — .
  2. ↑ Jack Heidel; Zhang Fu. Ikke-kaotisk adfærd i tredimensionelle kvadratiske systemer II. Det konservative tilfælde  (engelsk)  // Ikke-linearitet: tidsskrift. - 1999. - Bd. 12 , nr. 3 . - s. 617-633 . - doi : 10.1088/0951-7715/12/3/012 . - .

Litteratur

Links

  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier
I bibliografiske kataloger