Sharkovskys ordre

Sharkovsky-ordenen er en rækkefølge af naturlige tal forbundet med studiet af periodiske punkter i dynamiske systemer på et segment eller på en reel linje.

Historie

Ved at udforske unimodale kortlægninger, især den kvadratiske kortlægning , fandt Alexander Nikolaevich Sharkovskii i 1964 , at der i området "kaos" på det tilsvarende bifurkationsdiagram er såkaldte "periodicitetsvinduer" - smalle intervaller af værdierne af parameteren , hvor der er periodiske bevægelser; de svarer til overgange i Sharkovsky-ordenen. Især ved at bevæge os i den nederste række mod retningen af pilene fra 1, gennemgår vi en kaskade af fordoblinger af Feigenbaum- perioderne . $r$

Ordlyd

For positive heltal og vi vil skrive om et dynamisk system på et stykke eller en ret linje, der har et punkt med den mindste periode a har et punkt med den mindste periode b . $-en$ $b$ $a til b$

Sharkovskys sætning siger, at der på denne måde gives en komplet rækkefølge på mængden af naturlige tal, arrangeret som følger:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → … → 3x2 → 5x2 → 7x2 → 9x2 → 11x2 → 13x2 → … → 3x2² → 5x2² → 7x2² → 9x2² → 11x2² → 13x2² → … ………………………………………… → 2 n → 2 n −1 → … → 2 5 → 2 4 → 2³ → 2² → 2 → 1.

Den øverste linje indeholder alle ulige tal i stigende rækkefølge undtagen 1, den anden linje indeholder produkterne af ulige tal (undtagen 1) gange 2, den tredje linje indeholder produkterne af ulige tal med 2², og den k'te linje fra toppen indeholder produkter af ulige tal ved . Endelig repræsenterer den sidste (nederste) linje rene magter af to. $2^{k-1}$

Periode 3 bringer kaos

Især tallet 3 er det største i betydningen af denne rækkefølge, så tilstedeværelsen af et punkt i periode 3 medfører tilstedeværelsen af et punkt med en hvilken som helst periode. Ofte bliver denne særlige sag forkortet som "periode 3 bringer kaos." Tilfældet med et periodisk punkt i periode 3 er det mest meningsfulde. Hvis der er et punkt i periode 3, kan man hævde, at systemet er "kaotisk" i andre betydninger; for eksempel vil systemets topologiske entropi være positiv.

Skitse af beviset

I dette tilfælde er der forskellige punkter for hvilke $a,b,c$

f(a)=b,\quad f(b)=c,\quad f(c)=a.

Det kan uden tab af almenhed antages, at . $a<b<c$

Derefter for segmenter og $I_{0}=[a,b]$ $I_{1}=[b,c]$

f(I_{0})\supset I_{1},\quad f(I_{1})\supset I_{0}\cup I_{1}.

Herfra er det let at udlede, at for ethvert endeligt ord , der er sammensat af nuller og ettaller og ikke indeholder to nuller i en række, er der et sådant interval , at ${\displaystyle w=w_{0}w_{1}\dots w_{k-1))$ $I_w$

f^{j}(I_{w})\subset I_{w_{j)),\quad j=1,\dots ,k-2,

f^{k-1}(I_{w})=I_{w_{k-1}}.

Herfra er det allerede let at konstruere et periodisk punkt for enhver periode : det er nok at tage alfabetet af nuller og enere ethvert periodisk ord i den mindste periode uden to nuller i træk. For det segment, der svarer til det , $k$ $\omega =(w),\ |w|=k$ $k$ $I_w$

f^{k}(I_{w})\supset I_{w},

derfor er der i dette segment et periodisk punkt for den tilsvarende periode. Endelig, med hensyn til symbolsk dynamik (til opdeling , , komplement) er dens skæbne sekvensen , som har den mindste periode, derfor er det også den mindste periode for det konstruerede punkt. $I_0$ $I_1$ $\omega$ $k$ $k$

Litteratur