Rössler-attraktor

Rössler-attraktoren er en kaotisk attraktor , som systemet af Rössler-differentialligninger har [1] :

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-yz\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz} {dt}}=b+z(xc)\end{matrix}}\right.$ ;

hvor er positive konstanter. For værdierne af parametrene og har Rössler-ligningerne en stabil grænsecyklus . Med disse værdier af parametrene opstår der en periodefordoblingskaskade i systemet . Kl opstår en kaotisk attraktor . Veldefinerede linjer af grænsecyklusser slører og fylder faserummet med et uendeligt sæt af baner, der har egenskaberne som en fraktal . $a,b,c$ $a=b=0.2$ $2.6\leq c\leq 4.2$ $c>4.2$

Rössler selv studerede systemet med konstanter , og , men værdierne , , og bruges også ofte [2] . $a=0.2$ $b=0.2$ $c=5.7$ $a=0.1$ $b=0.1$ $c=14$

Analyse af systemadfærd i flyet

To af ligningerne i Rössler-systemet er lineære. Når de tager formen $z=0$

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{matrix}}\right .$

Derfor er bevægelsesstabiliteten i planet bestemt af egenværdierne af Jacobi-matricen , som er lig med . $z=0$ ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}$ ${\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

Konklusion

Lad os finde egenværdierne af matricen

${\begin{pmatrix}0-\lambda &-1\\1&a-\lambda \\\end{pmatrix))$ .

Determinanten er derfor $-\lambda a+{\lambda }^{2}+1=0$

$\lambda _{1,2}={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

Når , egenværdierne har en positiv reel del og er komplekse konjugerede. Derfor afviger fasebaner fra oprindelsen i en spiral. Lad os nu analysere ændringen i koordinater , tælle . Så længe den er mindre end , vil faktoren i ligningen for holde banen tæt på flad . Så snart det bliver større , vil -koordinaten begynde at vokse. Til gengæld vil en stor parameter begynde at bremse væksten i . $0<a<2$ $z$ $0<a<2$ $x$ $c$ $xc$ ${\frac {dz}{dt))$ $x,y$ $x$ $c$ $z$ $-z$ $x$ ${\frac {dx}{dt))$

Faste punkter

Ligninger for fikspunkter kan findes ved at sætte de afledte i Rössler-ligningssystemet lig med nul. Som et resultat viser det sig, at der er to faste punkter:

\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2)),{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab)) }{2a)),{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

\left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2)),{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab)) }{2a)),{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2a))\right)

Som du kan se i Rössler-attraktorprojektionsbilledet ovenfor, er et af disse punkter placeret i midten af attraktionsspiralen, og det andet er langt fra det.

Ændring af parametre a, b og c

Rössler-attraktorens opførsel afhænger stærkt af værdierne af de konstante parametre. En ændring i hver parameter har en vis effekt, som et resultat af, at der kan opstå et stabilt fikspunkt i systemet, en grænsecyklus, eller systemets løsninger vil "løbe væk" i det uendelige.

Bifurkationsdiagrammer er et standardværktøj til at analysere adfærden af dynamiske systemer, herunder Rössler-attraktoren. De skabes ved at løse ligningerne i et system, hvor to variable er faste og en ændres. Når man konstruerer et sådant diagram, opnås næsten fuldstændigt "skraverede" områder; dette er riget af dynamisk kaos.

Ændring af parameteren a

Vi fikser , og vi vil ændre . $b=0.2$ $c=5.7$ $-en$

Som et resultat, empirisk, får vi følgende tabel:

$a\leq 0$ : Konvergerer til et stabilt punkt.
$a=0.1$ : Spinning med en periode på 2.
$a=0.2$ : Kaos (standardparameter for Rössler-ligningerne) .
$a=0.3$ : Kaotisk attraktor.
$a=0,35$ : Ligner den forrige, men kaosset er mere udtalt.
$a=0,38$ : Ligesom den forrige, men kaosset er endnu stærkere.

Ændring af b-parameteren

Vi fikser , og nu vil vi ændre parameteren . Som det kan ses af figuren, er den ustabil, da attraktoren har en tendens til nul. Når det bliver større og , vil systemet balancere og gå i stationær tilstand. $a=0.2$ $c=5.7$ $b$ $b$ $b$ $-en$ $c$

Ændring af c-parameteren

Rette og ændre . Det kan ses af bifurkationsdiagrammet, at ved små værdier er systemet periodisk, men efterhånden som det øges, bliver det hurtigt kaotisk. Figurerne viser præcis, hvordan systemets tilfældighed ændres med stigende . For eksempel ved = 4 vil attraktoren have en periode lig med en, og der vil være en enkelt linje på diagrammet, det samme vil ske, når = 3, og så videre; indtil det bliver mere end 12: den sidste periodiske adfærd er karakteriseret ved denne værdi, så går kaos overalt. $a=b=0.1$ $c$ $c$ $c$ $c$ $c$ $c$

Vi giver illustrationer af attraktorens adfærd i det angivne værdiområde , som illustrerer den generelle adfærd af sådanne systemer - hyppige overgange fra periodicitet til dynamisk kaos. $c$

Se også

Lorentz-attraktion

Noter

↑ Peitgen, Heinz-Otto ; Jürgens, Hartmut & Saupe, Dietmar (2004), 12.3 The Rössler Attractor, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science , Springer, s. 636-646 .
↑ Letellier, C.; V. Meddelelsesgiver. Indflydelser på Otto E. Rösslers tidligste papir om kaos // International Journal of Bifurcation & Chaos : journal. - 2010. - Bd. 20 , nej. 11 . - P. 3585-3616 .

Litteratur

Voronov V.K., Podoplelov A.V. Modern Physics: Lærebog. M., KomKniga, 2005, 512 s., ISBN 5-484-00058-0 , kap. 2 Fysik af åbne systemer. s. 2.4 Rösslers kaotiske attraktor.