Gauss-Seidel metode til løsning af et system af lineære ligninger

Gauss-Seidel-metoden (Seidel-metoden, Libman-processen, successiv substitutionsmetode) er en klassisk iterativ metode til løsning af et system af lineære ligninger .

Opkaldt efter Seidel og Gauss .

Udtalelse af problemet

Tag systemet: , hvor $A\vec{x}=\vec{b}$ $A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \ end{array} \right),\quad \vec{b}=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$

Eller $\left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n& = & b_{1} \\ & &\\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn }x_n & = & b_{n} \end{array} \right.$

Og vi vil vise, hvordan det kan løses ved hjælp af Gauss-Seidel-metoden.

Metode

For at tydeliggøre essensen af metoden omskriver vi problemet i formularen

\left\{ \begin{array}{lcr} a_{11}x_1 & = &-a_{12}x_2 - a_{13}x_3 -\ldots - a_{1n}x_n + b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 & = & -a_{23}x_3 - \ldots - a_{2n}x_n + b_2\\ \ldots & &\\ a_{(n-1)1}x_1 + a_{(n- 1)2}x_2 +\ldots+ a_{(n-1)(n-1)}x_{n-1} & = & -a_{(n-1)n}x_n + b_{n-1}\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 +\ldots+ a_{n(n-1)}x_{n-1}+ a_{nn}x_n & = & b_n \end{array} \right.

Her, i den th ligning, har vi overført til højre side alle led, der indeholder , for . Denne post kan repræsenteres som $j$ $x_{i}$ $i>j$

(\mathrm{L} + \mathrm{D} )\vec{x} = -\mathrm{U} \, \vec{x} + \vec{b},

hvor, i den accepterede notation, betyder en matrix, hvis hoveddiagonal indeholder de tilsvarende elementer i matrixen og alle andre nuller; mens matricerne og indeholder øvre og nedre trekantede dele , på hvis hoveddiagonal er nuller. $\mathrm{D}$ $EN$ $\mathrm{U}$ $\mathrm{L}$ $EN$

Den iterative proces i Gauss-Seidel metoden er bygget efter formlen

(\mathrm {L} +\mathrm {D} ){\vec {x}}^{(k+1)}=-\mathrm {U} {\vec {x}}^{(k) }+{\vec {b)],\quad k=0,1,2,\ldots

efter at have valgt den passende indledende tilnærmelse . $\vec{x}^{(0)}$

Gauss-Seidel-metoden kan ses som en modifikation af Jacobi-metoden . Hovedideen med modifikationen er, at nye værdier bruges her, så snart de er modtaget, mens de i Jacobi-metoden ikke bruges før næste iteration: $\vec{x}^{(i)}$

\left\{\begin{array}{cccccccccccc} {x_{1}}^{(k+1)} &=& c_{12}{x_2^{(k))) &+& c_{13}x_3 ^{(k)}&+& {\ldots}&+& c_{1n}{x_n}^{(k)} &+& d_1 \\ {x_{2}}^{(k+1)} & =& c_{21}{x_1^{(k+1)}} &+& c_{23}x_3^{(k)}&+& {\ldots}&+& c_{2n}{x_n}^{ (k)} &+& d_2 \\ \ldots & & & & & & & & & & \\ {x_{n}}^{(k+1)} &=& c_{n1}{x_1^{( k+1)}} &+& c_{n2}{x_2^{(k+1)}}&+& {\ldots}&+& c_{n(n-1)}{x_{n-1} }^{(k+1)} &+& d_n \end{array}\right.,

hvor

c_{ij}={\begin{cases}-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}},&j\neq i,\\0,&j=i.\end{cases} }\quad d_{i}={\frac {b_{i}}{a_{ii}}},\quad i=1,\ldots ,n.

Således beregnes den i -te komponent af den -te tilnærmelse af formlen $(k+1)$

x_{i}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{i-1}c_{ij}x_{j}^{(k+1)}+\sum _ {j=i}^{n}c_{ij}x_{j}^{(k)}+d_{i},\quad i=1,\ldots ,n.

For eksempel, når : $n=3$

x_{1}^{{(k+1)}}=\sum _{{j=1}}^{{1-1}}c_{{1j}}x_{{j}}^{{(k +1)}}+\sum _{{j=1}}^{{3}}c_{{1j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{1}

, det er

x_{1}^{(k+1)}=c_{11}x_{1}^{(k)}+c_{12}x_{2}^{(k)}+c_{13} x_{3}^{(k)}+d_{1},

x_{2}^{{(k+1)}}=\sum _{{j=1}}^{{2-1}}c_{{2j}}x_{{j}}^{{(k +1)}}+\sum _{{j=2}}^{{3}}c_{{2j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{2}

, det er

x_{2}^{(k+1)}=c_{21}x_{1}^{(k+1)}+c_{22}x_{2}^{(k)}+c_{ 23}x_{3}^{(k)}+d_{2},

x_{3}^{{(k+1)}}=\sum _{{j=1}}^{{3-1}}c_{{3j}}x_{{j}}^{{(k +1)}}+\sum _{{j=3}}^{{3}}c_{{3j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{3}

, det er

x_{3}^{(k+1)}=c_{31}x_{1}^{(k+1)}+c_{32}x_{2}^{(k+1)}+ c_{33}x_{3}^{(k)}+d_{3}.

Konvergensbetingelse

Lad os præsentere en tilstrækkelig betingelse for metodens konvergens.

Sætning .
Lad, hvorer matrixen invers til. Så for ethvert valg af indledende tilnærmelse:

\|\mathrm {A} _{2}\|<1

\mathrm {A} _{2}=-(\mathrm {L} +\mathrm {D} )^{-1}\,\mathrm {U} ,\quad (\mathrm {L} +\ matematik {D} )^{-1}

(\mathrm {L} +\mathrm {D} )

\vec{x}^{(0)}

Gauss-Seidel-metoden konvergerer;
metodens konvergenshastighed er lig med konvergenshastigheden for en geometrisk progression med nævneren ; $q=\|\mathrm {A} _{2}\|$
korrekt fejlvurdering :. $\|{\vec {x}}^{(k)}-{\vec {x}}\|=q^{k}\,\|{\vec {x}}^{(0) }-{\vec {x}}\|$

Opsigelsesbetingelse

Betingelsen for afslutning af Seidel iterative proces, når nøjagtighed er opnået i en forenklet form, har formen: $\varepsilon$

\parallel x^{(k+1)}-x^{(k)}\parallel \le \varepsilon

En mere præcis betingelse for afslutningen af den iterative proces har formen

\parallel Ax^{(k)}-b\parallel \le \varepsilon

og kræver mere beregning. God til sparsomme matricer .

Implementeringseksempel i C++

#include <iostream> #include <cmath> bruger navneområde std ; // Sluttilstand bool konvergere ( dobbelt xk [ 10 ], dobbelt xkp [ 10 ], int n , dobbelt eps ) { dobbelt norm = 0 ; for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) norm += ( xk [ i ] - xkp [ i ]) * ( xk [ i ] - xkp [ i ]); return ( sqrt ( norm ) < eps ; } dobbelt okr ( dobbelt x , dobbelt eps ) { int i = 0 ; dobbelt neweps = eps ; mens ( neweps < 1 ) { i ++ ; neweps *= 10 ; } int okr = pow ( dobbelt ( 10 ), i ); x = int ( x * okr + 0,5 ) / dobbelt ( okr ); returnere x ; } bool diagonal ( dobbelt a [ 10 ][ 10 ], int n ) { int i , j , k = 1 ; dobbelt sum ; for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { sum = 0 ; for ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) sum += abs ( a [ i ][ j ]); sum -= abs ( a [ i ][ i ]); if ( sum > a [ i ][ i ]) { k = 0 _ cout << a [ i ][ i ] << " < " << sum << endl ; } andet { cout << a [ i ][ i ] << " > " << sum << endl ; } } return ( k == 1 ); } int main () { setlocale ( LC_ALL , "" ); dobbelt eps , a [ 10 ][ 10 ], b [ 10 ], x [ 10 ], p [ 10 ]; int n , i , j , m = 0 ; int metode _ cout << "Indtast størrelsen af den kvadratiske matrix: " ; cin >> n ; cout << "Indtast beregningspræcisionen: " ; cin >> eps ; cout << "Fyld matrix A: " << endl << endl ; for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) for ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) { cout << "A[" << i << "][" << j << "] = " ; cin >> a [ i ][ j ]; } cout << endl << endl ; cout << "Din matrix A er: " << endl << endl ; for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { for ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) cout << a [ i ][ j ] << " " ; cout << endl ; } cout << endl ; cout << "Udfyld kolonnen for gratis medlemmer: " << endl << endl ; for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { cout << "B[" << i + 1 << "] = " ; cin >> b [ i ]; } cout << endl << endl ; /* Metodefremskridt, hvor: a[n][n] - Matrix af koefficienter x[n], p[n] - Nuværende og tidligere løsninger b[n] - Kolonne af højre dele Alle ovenstående arrays er ægte og skal defineres i hovedprogrammet, også i arrayet x[n] skal du sætte initialen løsningskolonnetilnærmelse (f.eks. alle nuller) */ for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) x [ i ] = 1 ; cout << "Diagonal dominans: " << endl ; if ( diagonal ( a , n )) { gør { for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) p [ i ] = x [ i ]; for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { dobbelt var = 0 ; for ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) if ( j != i ) var += ( a [ i ][ j ] * x [ j ]); x [ i ] = ( b [ i ] -var ) / a [ i ][ i ] ; } m ++ ; } mens ( ! konvergerer ( x , p , n , eps )); cout << "Systembeslutning:" << endl << endl ; for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) cout << "x" << i << " = " << okr ( x [ i ], eps ) << "" << endl ; cout << "Iterations: " << m << endl ; } andet { cout << "Ingen diagonal dominans" << endl ; } system ( "pause" ); returnere 0 ; }

Implementeringseksempel i Python

import numpy som np def seidel ( A , b , eps ): n = len ( A ) x = np . nuller ( n ) # nul vektor converge = Falsk , mens den ikke konvergerer : x_new = np . kopi ( x ) for i i område ( n ): s1 = sum ( A [ i ][ j ] * x_ny [ j ] for j i område ( i )) s2 = sum ( A [ i ][ j ] * x [ j ] for j i området ( i + 1 , n )) x_new [ i ] = ( b [ i ] - s1 - s2 ) / A [ i ][ i ] konvergere = np . sqrt ( sum (( x_new [ i ] - x [ i ]) ** 2 for i i området ( n ))) <= eps x = x_new returnere x

Se også

Noter

Links

Metoder til løsning af SLAE
Direkte metoder	Matrix metode Gauss metode Gauss-Jordan metode Cramer metode LU nedbrydning Kolesky nedbrydning Feje metode
Iterative metoder	Jacobi metode Gauss-Seidel metode Iterationsmetode Afslapningsmetode Konjugeret gradientmetode Bikonjugeret gradientmetode Stabiliseret bikonjugat gradientmetode
Generel	omvendt matrix Projektionsmetoder til løsning af SLAE Forkonditionering