Pythagoras trippel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. april 2022; checks kræver 10 redigeringer .

En Pythagoras tripel er et ordnet sæt af tre naturlige tal , der opfylder en homogen andengradsligning, der beskriver Pythagoras sætning . De kaldes Pythagoras tal . $x,\;y,\;z$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$

En trekant med sidelængder, der danner en pythagoras tripel er en retvinklet trekant og kaldes også en pythagoras .

Primitive tripler

Da ovenstående ligning er homogen , når multipliceret med , og med det samme naturlige tal, vil en anden Pythagoras tripel blive opnået. En pythagoræisk tripel kaldes primitiv , hvis den ikke kan opnås på denne måde fra en anden pythagoras tripel, altså hvis de er relativt primtal . Med andre ord er den største fælles divisor for en primitiv pythagoræisk tripel 1. $x$ $y$ $z$ $(x,y,z)$ $x,\;y,\;z$ $(x,y,z)$

I en primitiv triple , tallene og har forskellige pariteter , og lige er deleligt med 4, og er altid ulige. $(x,y,z)$ $x$ $y$ $z$

Enhver primitiv pythagoræisk tripel , hvor er ulige og er lige, er unikt repræsenteret i formen for nogle naturlige coprimtal med forskellig paritet. $(x,y,z)$ $x$ $y$ $(m^{2}-n^{2},\;2mn,\;m^{2}+n^{2})$ $m>n$

Disse tal kan beregnes ved hjælp af formlerne

{\begin{cases}m={\sqrt {\dfrac {z+x}{2))}={\dfrac ({\sqrt {z+y))+{\sqrt {zy))} {2)),\\n={\sqrt {\dfrac {zx}{2}}}={\dfrac {{\sqrt {z+y}}-{\sqrt {zy}}}{2}} .\end{sager}}

Tværtimod definerer ethvert sådant par af tal en primitiv pythagoræisk tripel [1] . $(m,\;n)$ $(m^{2}-n^{2},\;2mn,\;m^{2}+n^{2})$

Eksempler

Der er 16 primitive pythagoræiske tripler med : $z\leqslant 100$

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Ikke alle tripler med er primitive, for eksempel fås (6, 8, 10) ved at gange tripler (3, 4, 5) med to. Hver af triplerne med en lille hypotenuse danner en veldefineret radial lige linje fra flere tripler i scatterplotten. $z\leqslant 100$

Primitive tripler med : $100<z\leqslant 300$

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

De mulige værdier i Pythagoras tripler danner en sekvens (sekvens A009003 i OEIS ) $z$

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, …

Baseret på egenskaberne ved Fibonacci-tal er det muligt at danne ud fra disse tal, for eksempel sådanne pythagoræiske tripler:

x=F_{n}F_{n+3};\quad y=2F_{n+1}F_{n+2};\quad z=F_{n+1}^{2}+F_{ n+2}^{2}.

Historie

Den mest berømte i udviklede antikke kulturer var de tre (3, 4, 5), som gjorde det muligt for de gamle at bygge rette vinkler. Vitruvius anså denne tredobbelte for den højeste præstation af matematik, og Platon - et symbol på ægteskab, hvilket indikerer den store betydning, som de gamle tillagde tredobbelt (3, 4, 5).

I arkitekturen af gamle mesopotamiske gravsten findes en ligebenet trekant, der består af to rektangulære med sider på 9, 12 og 15 alen. Farao Snefrus pyramid (XXVII århundrede f.Kr.) blev bygget ved hjælp af trekanter med siderne 20, 21 og 29 samt 18, 24 og 30 tiere egyptiske alen.

Babylonske matematikere vidste, hvordan man beregner Pythagoras tripler. Den babylonske lertavle , kaldet Plimpton 322 , indeholder femten pythagoræiske trillinger (mere præcist, femten par tal som f.eks. ). Det menes, at denne tablet blev skabt omkring 1800 f.Kr. e. [2] $a,c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Tredobbelt generation

Euklids formel [3] er hovedværktøjet til at konstruere Pythagoras tripler. Ifølge det, for ethvert par naturlige tal og ( ) heltal $m$ $n$ $m>n$

{\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ b=2mn,\ c=m^{2}+n^{2))

danner en pythagoras tripel. Tripler dannet af Euklids formel er primitive, hvis og kun hvis begge er coprime og ulige. Hvis og , og er ulige, så vil , og være lige, og det tredobbelte er ikke primitivt. At dividere , og med 2 giver dog en primitiv tredobbelt hvis og er coprime [4] . $m$ $n$ $mn$ $m$ $n$ $-en$ $b$ $c$ $-en$ $b$ $c$ $m$ $n$

Enhver primitiv tripel er opnået fra et enkelt par coprime tal og , hvoraf den ene er lige. Heraf følger, at der er uendeligt mange primitive pythagoræiske tripler. $m$ $n$

Selvom Euklids formel genererer alle primitive tripler, genererer den ikke alle tripler. Når du tilføjer en ekstra parameter , opnås en formel, der genererer alle Pythagoras trekanter på en unik måde: $k$

a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ b=k\cdot (2mn),\ c=k\cdot (m^{2}+n^{2} ),

hvor , og er naturlige tal, , ulige og coprime. $m$ $n$ $k$ $m>n$ $mn$ $m$ $n$

At disse formler danner pythagoræiske tripler kan verificeres ved at erstatte i og kontrollere, at resultatet er det samme som . Da enhver pythagoræisk tripel kan divideres med nogle for at få en primitiv tripel, kan enhver tripel dannes unikt ved at bruge og for at skabe en primitiv tripel, og derefter ganges den med . $a^{2}+b^{2}$ $c^{2}$ $k$ $m$ $n$ $k$

Siden Euklids tid er der fundet mange formler til at generere tripletter.

Bevis for Euklids formler

Det faktum, at tallene , , , der opfylder Euklids formel, altid danner en pythagoras trekant er indlysende for positive heltal og , , da efter substitution i formlerne , og vil være positive tal, og også fra det faktum, at $-en$ $b$ $c$ $m$ $n$ $m>n$ $-en$ $b$ $c$

a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^ {2})^{2}=c^{2}.

Den omvendte påstand om, at , , er udtrykt ved Euklids formel for enhver pythagoræisk tripel følger af følgende [5] . Alle sådanne tripler kan skrives som ( , , ), hvor , og , , er coprime, og og har modsat paritet (en af dem er lige, den anden er ulige). (Hvis det har samme paritet med begge ben, så hvis de er lige, vil de ikke være coprime, og hvis de er ulige , vil det give et lige tal, og det kan ikke være lig med ulige .) Fra vi får , og derfor ,. Så . Da det er rationelt, repræsenterer vi det som en irreducerbar brøk . Herfra får vi, at brøken er lig med . Løsning af ligninger $-en$ $b$ $c$ $-en$ $b$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $-en$ $b$ $c$ $b$ $c$ $c$ $a^{2}+b^{2}$ $c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $c^{2}-a^{2}=b^{2}$ $(ca)(c+a)=b^{2}$ $(c+a)/b=b/(ca)$ $(c+a)/b$ $m/n$ $(ca)/b$ $n/m$

{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\ {\frac {c}{b}}-{\ frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}

i forhold til og , får vi $c/b$ $a/b$

{\frac {c}{b}}={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn)),\ {\frac {a}{b}}={\frac {m^{2}-n^{2}}{2min.}}.

Da og er irreducerbare ved antagelse, vil tællere og nævnere være ens , hvis og kun hvis højresiden af hver lighed er irreducerbare. Som vi aftalte, er fraktionen også irreducerbar, hvilket betyder, at og er coprime. Højre sider vil være irreducerbare hvis og kun hvis og har modsat paritet, således at tælleren ikke er delelig med 2. (A og skal have modsat paritet - begge kan ikke være lige på grund af irreducerbarhed, og hvis begge tal er ulige, at dividere med 2 vil give en brøk , i hvis tæller og nævner der vil være ulige tal, men denne brøk er lig , hvor tæller og nævner vil have forskellig paritet, hvilket modsiger antagelsen.) Lige nu tællere og nævnere, får vi Euklids formlen , , med og coprime og har forskellig paritet . $c/b$ $a/b$ $m/n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $(m^{2}+n^{2})/(2mn)$ $c/b$ ${\displaystyle a=m^{2}-n^{2))$ $b=2mn$ ${\displaystyle c=m^{2}+n^{2))$ $m$ $n$

Et længere, men mere generelt accepteret bevis er givet i bøgerne af Maor (Maor, 2007) [6] og Sierpinski [7] .

Fortolkning af parametre i Euklids formel

Lad siderne af Pythagoras trekant være , og . Lad os betegne vinklen mellem benet og hypotenusen som . Derefter [8] ${\displaystyle m^{2}-n^{2))$ $2 min$ $m^{2}+n^{2}$ ${\displaystyle m^{2}-n^{2))$ $m^{2}+n^{2}$ $\theta$

\operatorname {tg} \theta ={\frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}},

\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {mn}{m+n}}.

Elementære egenskaber ved primitive pythagoræiske tripler

Egenskaber for en primitiv pythagoræisk tripel ( a , b , c ) , hvor a < b < c (uden at angive , om a eller b er lige ):

$(ca)(cb)/2$ er altid et perfekt kvadrat [9] . Dette er især nyttigt til at kontrollere, om en given tripel af tal er Pythagoras, selvom dette ikke er en tilstrækkelig betingelse. Triplen (6, 12, 18) består denne test, fordi ( c − a )( c − b )/2 er et perfekt kvadrat, men denne tripel er ikke pythagoræisk. Hvis en tripel af tallene a , b og c danner en pythagoras tripel, så er tallet ( c minus det lige ben) og halvdelen af tallet ( c minus det ulige ben) perfekte kvadrater, men dette er ikke en tilstrækkelig betingelse, og triplen (1, 8, 9) er modeksempel, da 1 2 + 8 2 ≠ 9 2 .
Højst et af tallene a , b og c er et kvadrat [10] .
Arealet af en Pythagoras trekant kan ikke være et kvadrat [11] eller to gange kvadratet [12] af et naturligt tal.
Præcis et af tallene a og b er ulige , c er altid ulige [13] .
Præcis ét af tallene a og b er deleligt med 3. [14]
Præcis ét af tallene a og b er deleligt med 4. [7]
Præcis et af tallene a , b og c er deleligt med 5. [7]
Det maksimale antal, der altid deler produktet abc , er 60. [15]
Alle primfaktorer c er primtal af formen 4 n + 1 [16] . Så c har formen 4 n + 1 .
Tallet ( b − a ) er et produkt af primtal på formen 8 n ± 1 , det vil sige, at det ikke har faktorer som 2, 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, 53 , 59, 61, 67, 83, 101, ...
Arealet ( K = ab /2 ) er et lige kongruent tal [17] .
I enhver pythagoræisk tripel er radius af den indskrevne cirkel og radius af de tre excirkler naturlige tal. Især for en primitiv tripel er radius af den indskrevne cirkel r = n ( m − n ) , og radius af cirklerne tangerer benene m 2 − n 2 , 2 mn , og hypotenusen m 2 + n 2 er henholdsvis m ( m − n ) , n ( m + n ) og m ( m + n ) [18] .
Som med enhver retvinklet trekant, siger den omvendte af Thales' sætning , at diameteren af den omskrevne cirkel er lig med hypotenusen. Da diameteren for primitive tripler er √ m 2 + n 2 , er radius af den omskrevne cirkel halvdelen af dette tal, og dette tal er rationelt, men ikke et helt tal (fordi m og n har forskellige pariteter).
Hvis arealet af den pythagoreiske trekant multipliceres med krumningerne af den indskrevne cirkel og de tre excirkler, er resultatet fire positive heltal henholdsvis w > x > y > z . Disse tal w , x , y , z opfylder ligningen for kartesiske cirkler [19] . Tilsvarende er radius af den ydre Soddy-cirkel enhver retvinklet trekant lig med dens halvperimeter. Soddys ydre centrum er placeret ved punkt D , hvor ACBD er et rektangel, ACB er en retvinklet trekant, og AB er dens hypotenus. [tyve]
Der er ingen pythagoræiske tripler, hvor hypotenusen og et af benene er ben af en anden pythagoras tripel. Dette er en af formuleringerne af Fermats retvinklede trekantsætning [21] .
Hver primitiv pythagoras trekant har et unikt areal-til-kvadrat- halvperimeter- forhold (det vil sige, at forholdet for forskellige primitive trekanter er forskellige), og dette forhold er [22] ${\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(mn)}{m(m+n)))=1-{\frac {c}{s}}.$
I ingen primitiv Pythagoras trekant er højden baseret på hypotenusen udtrykt som et heltal, og den kan derfor ikke opdeles i to Pythagoras trekanter. [23]

Derudover kan der være specielle pythagoræiske tripler med nogle yderligere egenskaber:

Ethvert heltal større end 2, der ikke er kongruent med 2 modulo 4 (med andre ord, hvis det er større end 2 og ikke har formen 4 n + 2), er en del af en primitiv pythagoræisk tripel.
Ethvert heltal større end 2 er i en primitiv eller ikke-primitiv Pythagoras tripel. For eksempel er tallene 6, 10, 14 og 18 ikke indeholdt i nogen primitiv tripel, men er inkluderet i triplerne 6, 8, 10; 14, 48, 50 og 18, 80, 82.
Der er uendeligt mange pythagoræiske tripler, hvor hypotenusen og det største af benene adskiller sig med præcis én (sådanne tripler er åbenbart primitive). En af måderne at opnå sådanne tripler på er ligheden (2 n + 1) 2 + [2 n ( n + 1)] 2 = [2 n ( n + 1) + 1] 2 , hvilket resulterer i tripler (3, 4) , 5 ) ; _ _ _ _ _ _ j 2 .
Der er uendeligt mange primitive pythagoræiske tripler, hvor hypotenusen og det længere ben adskiller sig med præcis to. Generalisering: For ethvert heltal k > 0 er der uendeligt mange primitive pythagoræiske tripler, hvor hypotenusen og det ulige ben adskiller sig med 2 k 2 .
Der er uendeligt mange pythagoræiske tripler, hvor to ben adskiller sig med præcis ét. For eksempel 20 2 + 21 2 = 29 2 .
For ethvert naturligt tal n er der n pythagoræiske tripler med forskellige hypotenuser og det samme areal.
For ethvert naturligt tal n er der mindst n forskellige pythagoræiske tripler med det samme ben a , hvor a er et naturligt tal
For ethvert naturligt tal n er der mindst n distinkte pythagoræiske tripler med samme hypotenuse. [24]
Der er uendeligt mange pythagoras tripler, hvis kvadrater er hypotenusen c og summen af benene a + b . I den mindste sådan tripel [25] a = 4 565 486 027 761 ; b = 1061652293520 ; c = 4687298610289 . Her er a + b = 2 372 159 2 og c = 2 165 017 2 . I Euklids formel svarer disse værdier til m = 2.150.905 og n = 246.792 .
Der er pythagoræiske trekanter med en heltalshøjde baseret på hypotenusen . Sådanne trekanter er kendt som nedbrydelige, fordi de kan dekomponeres af denne højde i to mindre pythagoræiske trekanter. Ingen af de brudte trekanter er dannet af en primitiv tripel [26] .
Sættet af alle primitive pythagoræiske trekanter danner et rodfæstet ternært træ på en naturlig måde, se Træ af primitive pythagoræiske tripler .

Det vides ikke, om der er to forskellige pythagoræiske tripler med det samme produkt af deres tal [27] .

Geometri af Euklids formel

Euklids formel for en pythagoræisk tripel

{\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ b=2mn,\ c=m^{2}+n^{2))

kan forstås ud fra geometrien af rationelle punkter på enhedscirklen [28] . Lad der være en trekant med benene a og b og hypotenusen c , hvor a , b og c er positive heltal. Ved Pythagoras sætning er a 2 + b 2 = c 2 , og efter at have divideret begge sider med c 2

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1.

Geometrisk et punkt på et kartesisk plan med koordinater

x={\frac {a}{c)],\ y={\frac {b}{c))

ligger på enhedscirklen x 2 + y 2 = 1 . I denne ligning er x- og y- koordinaterne givet ved rationelle tal. Omvendt giver ethvert punkt på cirklen med rationelle koordinater x og y en primitiv pythagoras trippel. Faktisk, lad os skrive x og y som irreducerbare brøker :

x={\frac {a}{c)),\ y={\frac {b}{c)),

hvor den største fælles divisor for tallene a , b og c er 1. Da punktet med koordinaterne x og y ligger på enhedscirklen, så

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1\implicerer a^ {2}+b^{2}=c^{2},

Q.E.D.

Der er således en overensstemmelse mellem punkter med rationelle koordinater på enhedscirklen og primitive pythagoræiske trekanter. Herfra kan Euklids formler opnås ved hjælp af trigonometriske metoder eller ved at bruge stereografisk projektion .

For at anvende den stereografiske tilgang, antag, at P′ er et punkt på x -aksen med rationelle koordinater

P'=\left({\frac {m}{n)),0\right).

Så kan man ved hjælp af algebraiske beregninger vise, at punktet P har koordinater

P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2 }+1)),{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right) ^{2}+1}}\right)=\venstre({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2 }}{m^{2}+n^{2}}}\højre).

Således opnår vi, at ethvert rationelt punkt x -aksen svarer til et rationelt punkt i enhedscirklen. Lad omvendt P ( x , y ) være et punkt på enhedscirklen med rationelle koordinater x og y . Så har den stereografiske projektion P′ på x - aksen rationelle koordinater

\left({\frac {x}{1-y)),0\right).

Med hensyn til algebraisk geometri er den algebraiske variation af rationelle punkter på enhedscirklen birationel til den affine linje over de rationelle tal. Enhedscirklen kaldes så en rationel kurve . Korrespondancen mellem rationelle punkter på en linje og en cirkel gør det muligt at give en eksplicit parametrisering af (rationelle) punkter på en cirkel ved hjælp af rationelle funktioner.

Gruppen af pythagoræiske tripler

Ethvert rationelt punkt på enhedscirklen svarer til en pythagoras tripel ( a , b , c ) , mere præcist en generaliseret pythagoras tripel, da a og b kan være nul og negativ.

Lad to pythagoræiske trekanter ( a 1 , b 1 , c 1 ) og ( a 2 , b 2 , c 2 ) med vinklerne α og β være givet . Du kan konstruere trekanter med vinkler α ± β ved hjælp af vinkeladditionsformlerne:

{\frac {a}{c}}=\sin(\alpha \pm \beta )=\sin(\alpha )\cdot \cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\cdot \ sin(\beta )={\frac {a_{1}b_{2}\pm b_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}},

{\frac {b}{c}}=\cos(\alpha \pm \beta )=\cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\mp \sin(\alpha )\cdot \ sin(\beta )={\frac {b_{1}b_{2}\mp a_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}}.

Disse retvinklede trekanter vil også være heltal, det vil sige Pythagoras. Du kan indtaste en operation på tripler ved hjælp af ovenstående formler. Denne operation vil være kommutativ og associativ, det vil sige generaliserede pythagoræiske tripler danner en abelsk gruppe [29] .

Pythagoras tredobler på et todimensionelt gitter

Et todimensionelt gitter er et sæt af isolerede punkter, hvori, hvis et punkt vælges som udgangspunkt (0, 0), alle andre punkter har koordinater ( x , y ) , hvor x og y løber gennem alle positive og negative heltal . Enhver pythagoras trippel ( a , b , c ) kan tegnes på et todimensionelt gitter som punkter med koordinater ( a , 0) og (0, b ) . Ifølge Picks sætning er antallet af gitterpunkter, der ligger strengt inde i trekanten, givet af formlen [30] . For primitive Pythagoras tripler er antallet af gitterpunkter , og dette kan sammenlignes med arealet af en trekant $[(a-1)(b-1)-\gcd(a,b)+1]/2$ $(a-1)(b-1)/2$ $ab/2.$

Det er interessant, at det første tilfælde af sammenfaldet af områderne med primitive Pythagoras tripler vises på tripler (20, 21, 29), (12, 35, 37) med et areal på 210 [31] . Den første forekomst af primitive pythagoræiske tripler med det samme antal gitterpunkter optræder kun på ( 18 108 , 252 685 , 253 333 ), ( 28 077 , 162 964 , 165 365 ) med antallet af punkter 2 428 9 [ 64 5 ] . Tre primitive pythagoræiske tripler med samme områder (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19 019 , 19 069 ) og område 13 123 110 findes . Ikke desto mindre er der endnu ikke fundet en eneste trippel af primitive Pythagoras tripler med det samme antal gitterpunkter.

Spinors og den modulære gruppe

Pythagoras tripler kan repræsenteres som matricer af formen

X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.

Denne type matrix er symmetrisk . Desuden dens afgørende

{\displaystyle \det X=c^{2}-a^{2}-b^{2))

er nul nøjagtigt, når ( a , b , c ) er en pythagoras trippel. Hvis X svarer til en Pythagoras tripel, skal den have rang 1.

Da X er symmetrisk, er det kendt fra lineær algebra , at der eksisterer en vektor ξ = [ m n ] T , således at det ydre produkt opfylder

X=2{\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}=2\xi \xi ^{T},

(en)

hvor T står for transponere . Vektoren ξ kaldes en spinor (for Lorentz-gruppen SO(1, 2). I abstrakte termer betyder Euklids formel, at enhver primitiv pythagoræisk tripel kan skrives som det ydre produkt af en spinor med heltalselementer, som i formel (1) ).

Den modulære gruppe Γ er sættet af 2 × 2 matricer med heltalsindtastninger

A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

og determinant lig med én: αδ − βγ = 1 . Denne mængde danner en gruppe, fordi den inverse af en matrix fra Γ igen er en matrix fra Γ , ligesom produktet af to matricer fra Γ er . Den modulære gruppe virker på sættet af alle heltals spinorer. Desuden er gruppen transitiv på sættet af heltalsspinorer med coprime-elementer. Hvis [ m n ] T indeholder coprime-elementer, så

{\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end {bmatrix}},

hvor u og v er valgt (ved hjælp af Euklids algoritme ) således at mu + nv = 1 .

Virker på spinoren ξ i (1), går handlingen i Γ over til handlingen på pythagoræiske tripler, mens man tillader tripler med negative værdier. Hvis A er en matrix i Γ , så

{\displaystyle 2(A\xi )(A\xi )^{T}=AXA^{T))

(2)

giver anledning til operationer på matrixen X i (1). Dette giver ikke en veldefineret handling på primitive tripler, da det kan tage en primitiv tripel til en ikke-primitiv. På dette tidspunkt er det sædvanligt (efter Trautman [28] ) at kalde en tredobbelt ( a , b , c ) standard, hvis c > 0 og enten ( a , b , c ) er coprime eller ( a /2, b /2, c / 2) er coprime og a /2 er ulige. Hvis spinoren [ m n ] T har coprime-elementer, så er den tilhørende tripel ( a , b , c ) givet ved formel (1) en standardtripel. Dette indebærer, at handlingen af den modulære gruppe er transitiv på sættet af standardtripler.

Alternativt begrænser vi os til de værdier af m og n , for hvilke m er ulige og n er lige. Lad undergruppen Γ (2) af gruppen Γ være kernen i homomorfien

\Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2}),

hvor SL(2, Z 2 ) er en speciel lineær gruppe over et endeligt felt Z 2 af heltal modulo 2 . Så er Γ (2) en gruppe af unimodulære transformationer, der bevarer pariteten af hvert element. Således, hvis elementet i vektoren ξ er ulige, og det andet element er lige, så gælder det samme for Aξ for alle A ∈ Γ(2) . Faktisk, under virkningen af (2), virker gruppen Γ (2) transitivt på sættet af primitive pythagoræiske tripler [33] .

Gruppen Γ (2) er en fri gruppe, hvis generatorer er matricerne

U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix)),\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix)).

Derfor kan enhver primitiv pythagoræisk tripel entydigt opnås som et produkt af kopier af matricerne U og L .

Forældre-barn forhold

Som Berggren [34] viste , kan alle primitive Pythagoras tripler fås fra trekanten (3, 4, 5) ved hjælp af tre lineære transformationer T1, T2, T3, hvor a , b , c er siderne af triplen:

	ny side a	ny side b	ny side c
T1:	a − 2 b + 2 c	2a − b + 2 c	2a − 2b + 3c _
T2:	a + 2 b + 2 c	2a + b + 2 c	2a + 2b + 3c _
T3:	− a + 2 b + 2 c	−2 a + b + 2 c	−2 a + 2 b + 3 c

Hvis du starter med 3, 4, 5, så vil alle andre primitive tripler til sidst blive opnået. Med andre ord vil enhver primitiv tripel være "forælder" til 3 yderligere primitive tripler. Hvis vi starter med a = 3, b = 4 og c = 5, så vil den næste generation af tripletter være

ny side a	ny side b	ny side c
3 − (2×4) + (2×5) = 5	(2×3) − 4 + (2×5) = 12	(2×3) − (2×4) + (3×5) = 13
3 + (2x4) + (2x5) = 21	(2x3) + 4 + (2x5) = 20	(2x3) + (2x4) + (3x5) = 29
−3 + (2×4) + (2×5) = 15	−(2×3) + 4 + (2×5) = 8	−(2×3) + (2×4) + (3×5) = 17

De lineære transformationer T1, T2 og T3 har en geometrisk fortolkning i sproget af kvadratiske former. De er tæt beslægtede (men ikke ækvivalente) med refleksioner genereret af den ortogonale gruppe x 2 + y 2 − z 2 over heltal. Et andet sæt af tre lineære transformationer er diskuteret i artiklen Generating Pythagoras tripler ved hjælp af matricer og lineære transformationer [35] .

Forholdet til Gaussiske heltal

Euklids formler kan analyseres og bevises ved hjælp af Gaussiske heltal [36] . Gaussiske heltal er komplekse tal af formen α = u + vi , hvor u og v er regulære heltal , og i er roden af minus en . Enhederne for Gaussiske heltal er ±1 og ±i. Almindelige heltal kaldes heltal og betegnes med Z . Gaussiske heltal er angivet med Z [ i ]. Den højre side af Pythagoras sætning kan dekomponeres i Gaussiske heltal:

c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi)\overline {(a+bi)}=(a+bi)(a-bi).

En primitiv pythagoras tripel er en tripel, hvor a og b er coprime , det vil sige, de har ingen fælles primtal divisorer. For sådanne trillinger er enten a eller b lige, og den anden er ulige. Det følger heraf, at c også er ulige.

Hver af de to faktorer z = a + bi og z* = a - bi af en primitiv pythagoras tripel er lig med kvadratet af et Gaussisk heltal. Dette kan bevises ved at bruge den egenskab, at ethvert Gaussisk heltal kan dekomponeres unikt i Gaussiske primtal op til et [37] . (Det unikke ved udvidelsen, groft sagt, følger af, at en version af Euklids algoritme kan defineres for dem .) Beviset har tre trin. For det første er det bevist, at hvis a og b ikke har nogen primtal i heltal, så har de ingen primtal fælles faktorer i Gaussiske heltal. Dette indebærer, at z og z* ikke har fælles primfaktorer i Gaussiske heltal. Endelig, da c 2 er et kvadrat, gentages ethvert Gaussisk primtal i udvidelsen to gange. Da z og z* ikke har primfaktorer til fælles, gælder denne fordobling også for dem. Derfor er z og z* kvadrater.

Således kan den første faktor skrives som

a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2},\quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}.

De reelle og imaginære dele af denne ligning giver to formler:

{\begin{cases}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn;\\\varepsilon =-1 ,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn;\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\venstre(m^{2}-n^{2}\right);\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\venstre(m^{2} -n^{2}\right).\end{cases}}

For enhver primitiv pythagoræisk tripel skal der eksistere heltal m og n , således at disse to ligheder holder. Derfor kan enhver Pythagoras tripel opnås ved at vælge disse heltal.

Som det fulde kvadrat af Gaussiske heltal

Hvis vi tager kvadratet af et gaussisk heltal, får vi følgende fortolkning af Euklids formler som en repræsentation af hele kvadratet af Gaussiske heltal.

(m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.

Ved at bruge det faktum, at Gaussiske heltal er et euklidisk domæne, og at for Gaussiske heltal p er kvadratet af modulet altid et perfekt kvadrat, kan det påvises, at pythagoras tripler svarer til kvadraterne af primtal Gaussiske heltal, hvis hypotenusen er et primtal nummer. $|p|^{2}$

Fordeling af trillinger

Der er mange resultater om fordelingen af Pythagoras tripler. Der er nogle tydelige mønstre i scatterplot. Hvis benene ( a , b ) af en primitiv tripel optræder i diagrammet, så skal alle produkter med et helt tal af disse ben også være i diagrammet, og denne egenskab forklarer udseendet af radiale linjer fra oprindelsen i diagrammet.

Diagrammet viser mange parabler med en høj tæthed af punkter, der har foci ved origo. Parabler reflekteres fra akserne med en vinkel på 45 grader, og på samme punkt nærmer den tredje parabel sig aksen vinkelret.

Disse mønstre kan forklares som følger. Hvis et naturligt tal, så er ( a , , ) en pythagoræisk tripel. (Faktisk kan enhver pythagoreisk tripel ( a , b , c ) skrives på denne måde med et heltal n , måske efter at have byttet a og b , da både a og b ikke kan være ulige på samme tid.) Pythagoras tripler ligger så på kurverne givet af ligningerne . Således reflekteres parablerne fra a -aksen , og de tilsvarende kurver med a og b ombyttes. Hvis a varierer for en given n (det vil sige på en valgt parabel), vises heltalværdier af b relativt ofte, hvis n er et kvadrat eller produktet af et kvadrat og et lille tal. Hvis nogle af sådanne værdier ligger tæt på hinanden, falder de tilsvarende paraboler næsten sammen, og triplerne danner et smalt parabolsk bånd. For eksempel 38 2 = 1444, 2 × 27 2 = 1458, 3 × 22 2 = 1452, 5 × 17 2 = 1445 og 10 × 12 2 = 1440. Det tilsvarende parabolske bånd omkring n ≈ 145 er tydeligt synligt scatterplot. $a^{2}/4n$ $|na^{2}/4n|$ $n+a^{2}/4n$ $n=(b+c)/2$ $b=|na^{2}/4n|$

De ovenfor beskrevne vinkelegenskaber følger umiddelbart af den funktionelle form af parabler. Parablerne reflekteres fra a -aksen i punktet a = 2 n og den afledede af b med hensyn til a på dette punkt er lig med −1. Hældningsvinklen er således 45°. Da klynger, ligesom trekanter, gentages, når de ganges med en heltalskonstant, hører værdien 2 n også til klyngen. Den tilsvarende parabel skærer b -aksen i en ret vinkel i punktet b = 2 n , og er derfor en symmetrisk refleksion af parablen, der opnås ved at udveksle variablerne a og b , og som skærer a-aksen i en ret vinkel ved punktet a = 2 n .

Albert Fässler et al. har vist betydningen af disse parabler i sammenhæng med konforme kortlægninger [38] [39] .

Særlige lejligheder

Platons sekvens

Tilfældet n = 1 af den generelle konstruktion af Pythagoras tripler har længe været kendt. Proclus beskriver i sin kommentar til den 47. udtalelse i den første bog af Euklids Principia det som følger:

Nogle metoder til at opnå sådanne trekanter af denne art er nemme at opnå, en af dem tilhører Platon , den anden til Pythagoras . (Sidste) startede med ulige tal. For at gøre dette valgte han et ulige tal som det mindste af benene. Så kvadrede han det, trak et fra, og brugte halvdelen af denne forskel som det andet ben. Til sidst tilføjede han en til dette ben og fik hypotenusen.

…Platons metode fungerer med lige tal. Den bruger det givne lige tal som et af benene. Halvdelen af dette tal er kvadreret og en tilføjet for at give hypotenusen, og subtrahering af et giver det andet ben. ... Og dette giver samme trekant som den anden metode.

I form af ligninger:

a er ulige (Pythagoras, 540 f.Kr.): $a:b={\frac {a^{2}-1}{2}}:c={\frac {a^{2}+1}{2}}.$
a er lige (Platon, 380 f.Kr.): $a:b=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-1:c=\left({\frac {a}{2}}\right)^{ 2}+1.$

Det kan påvises, at alle pythagoræiske tripler fås fra den platoniske sekvens ( x , y , z ) = p , ( p 2 − 1)/2 og ( p 2 + 1)/2 hvis p får lov til at tage ikke-heltal (rationelle) værdier. Hvis p i denne sekvens erstattes af en rationel brøk m / n , får vi 'standard'-generatoren af tripler 2 mn , m 2 − n 2 og m 2 + n 2 . Det følger heraf, at enhver tredobbelt svarer til en rationel værdi p , som kan bruges til at opnå en lignende trekant med rationelle sider, der er proportionale med siderne af den oprindelige trekant. For eksempel ville den platoniske ækvivalent af det tredobbelte (6, 8, 10) være (3/2; 2, 5/2).

Jacobi-Madden ligning

Ligningen

{\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4))

svarer til den specielle diophantinske tripel

(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^ {2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}.

Der er et uendeligt antal løsninger til denne ligning, der kan opnås ved hjælp af en elliptisk kurve . To af disse løsninger:

a,b,c,d=-2634,955,1770,5400,

a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150.

Lige summer af to kvadrater

En måde at generere løsninger på er at parametrisere a , b , c , d i form af naturlige tal m , n , p , q som følger: [40] ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2))$

(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}= (mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.

Lige summer af to fjerde potenser

Givet to sæt Pythagoras tripler:

(a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2},

(c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2},

så problemet med at finde lige produkter af benet og hypotenusen

(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+ d^{2}),

da det er let at se, svarer det til ligningen

a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4},

som Euler fik løsningen for . Da han viste, at dette punkt er et rationelt punkt på en elliptisk kurve , er der et uendeligt antal løsninger. Faktisk fandt han også en polynomiel parameterisering af 7. grad. $a,b,c,d=133,59,158,134$

Descartes' cirkelsætning

I tilfælde af Descartes' sætning , når alle variabler er kvadrater,

2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d ^{2})^{2}.

Euler viste, at dette svarer til tre pythagoræiske tripler:

(2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},

(2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2},

(2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}.

Også her er der et uendeligt antal løsninger, og for et særligt tilfælde forenkler ligningen til $a+b=c$

4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2},

som har en løsning med små tal og kan løses som en binær andengradsform . $a,b,c,d=3,5,8,14$

Næsten ligebenede Pythagoras tripler

Der er retvinklede trekanter med heltalsider, hvor benlængderne adskiller sig med én, for eksempel:

3^{2}+4^{2}=5^{2},

20^{2}+21^{2}=29^{2}

og et uendeligt antal andre. For dem kan vi udlede en generel formel

\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{2}=y ^{2},

hvor ( x , y ) er løsninger til Pells ligning . $x^{2}-2y^{2}=-1$

I det tilfælde, hvor benet og hypotenusen adskiller sig med én, som i tilfældene

5^{2}+12^{2}=13^{2},

7^{2}+24^{2}=25^{2},

den generelle løsning ville være

(2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2},

hvorfra det kan ses, at alle ulige tal (større end 1) forekommer i primitive pythagoræiske tripler.

Generaliseringer

Der er flere muligheder for at generalisere begrebet Pythagoras tripler.

Pythagoras firdobler

Et sæt af fire naturlige tal a , b , c og d , således at a 2 + b 2 + c 2 = d 2 kaldes Pythagoras firdobbel . Det enkleste eksempel er (1, 2, 2, 3), fordi 1 2 + 2 2 + 2 2 = 3 2 . Det næste (primitive) simpleste eksempel er (2, 3, 6, 7), fordi 2 2 + 3 2 + 6 2 = 7 2 .

Alle fire er givet af formlen

(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}+(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}= (m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}.

Pythagoras n -sæt

Brug af en simpel algebraisk identitet

(x_{1}^{2}-x_{0})^{2}+(2x_{1})^{2}x_{0}=(x_{1}^{2}+x_{ 0})^{2}

for vilkårlig x 0 , x 1 er det let at bevise, at kvadratet af summen af n kvadrater i sig selv er summen af n kvadrater, for hvilket vi sætter x 0 = x 2 2 + x 3 2 + … + x n 2 og udvide beslagene [41] . Det kan let ses, at pythagoras tripler og quads kun er specielle tilfælde af henholdsvis x 0 = x 2 2 og x 0 = x 2 2 + x 3 2 , som kan fortsættes for andre n ved hjælp af fem-kvadratformlen

(a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}+(2ab)^{2}+(2ac)^{2}+( 2ad)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}.

Da summen F ( k , m ) af k på hinanden følgende kvadrater, startende fra m 2 , er givet ved formlen [42]

F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6)),

man kan finde værdier ( k , m ), sådan at F ( k , m ) er et kvadrat. Hirshhorn fandt således en formel for sekvenser, hvor antallet af led i sig selv er et kvadrat [43] ,

m={\frac {v^{4}-24v^{2}-25}{48)),k=v^{2},\ F(m,k)={\frac {v^ {5}+47v}{48}}

og v ⩾ 5 er ethvert naturligt tal, der ikke er deleligt med 2 eller 3. Den mindste værdi er v = 5, hvorfra k = 25, hvilket giver den velkendte værdi fra Lucas kanonkugleopbevaringsproblem:

0^{2}+1^{2}+2^{2}+\dots +24^{2}=70^{2},

et faktum, der er relateret til Leach-gitteret .

Desuden, hvis i en pythagoræisk n -tupel ( n ⩾ 4) alle led er fortløbende naturlige tal, undtagen det sidste, kan man bruge ligheden [44]

F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}.

Da anden potens af p udgår, forbliver der en lineær ligning, der let kan løses , selvom k og m skal vælges, så p er et heltal, og eksemplet opnås med k = 5 og m = 1: $p=(F(k,m)-1)/2$

1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}.

Således opnår vi en metode til at generere n -tupler fra Pythagoras ved at vælge x [45] :

x^{2}+(x+1)^{2}+\dots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},

hvor q = n − 2 og

p={\frac {1}{2}}\left((q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1) )}{6}}-1\højre).

Fermats sidste sætning

En generalisering af begrebet Pythagoras tripler er søgningen efter tripler af naturlige tal a , b og c , således at a n + b n = c n for nogle n større end 2. Pierre de Fermat i 1637 udtalte, at der ikke er sådanne tripler . , og dette udsagn blev kendt som Fermats sidste sætning , fordi det tog meget længere tid at bevise eller modbevise end nogen af Fermats andre hypoteser. Det første bevis blev givet af Wiles i 1994.

n - 1 eller n n . potens som n . potens

En anden generalisering er at finde sekvenser af n + 1 naturlige tal, for hvilke den n'te potens af det sidste led i sekvensen er lig med summen af de n'te potenser af de foregående led. De mindste sekvenser for kendte værdier af n er:

n = 3: {3, 4, 5; 6}.
n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

I en lidt anderledes generalisering svarer summen af ( k + 1) n -te potenser til summen af ( n − k ) n -te potenser. For eksempel:

( n = 3): 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 . Et eksempel blev berømt efter Hardys erindring om en samtale med Ramanujan om tallet 1729, som er det mindste tal, der kan repræsenteres som summen af to terninger på to forskellige måder.

Der kan også være n − 1 n . potens af naturlige tal, der summerer op til n . potens af et naturligt tal (selvom, ifølge Fermats sidste sætning , ikke for n = 3). Disse sekvenser er modeksempler til Euler-formodningen . Mindst kendte modeksempler [46] [47]

n = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
n = 5: (27, 84, 110, 133; 144)

Tripler af Herons trekant

Herons trekant er normalt defineret som en trekant med heltalsider, hvis areal også er et heltal, og vi vil antage, at trekantens sider er forskellige . Længderne af siderne i en sådan trekant danner en heronisk tripel ( a, b, c ), hvor a < b < c . Det er tydeligt, at pythagoreiske tripler er heronske tripler, da i en pythagoras trippel er mindst et af benene a og b et lige tal, så arealet af trekanten ab /2 vil være et heltal. Ikke hver tripel af Heron er pythagoræisk, da for eksempel triplen (4, 13, 15) med område 24 ikke er pythagoræisk.

Hvis ( a , b , c ) er en Heron-tredobbelt, så vil ( ma , mb , mc ) det også for enhver naturlig m større end én. En heronisk tripel ( a , b , c ) er primitiv , hvis a , b og c er parvise coprime (som det er tilfældet for pythagoræiske tripler). Nedenfor er flere heroniske tripler, der ikke er pythagoræiske:

(4, 13, 15) med et areal på 24, (3, 25, 26) med område 36, (7, 15, 20) med område 42, (6, 25, 29) med område 60, (11, 13, 20) med område 66, (13, 14, 15) med område 84, (13, 20, 21) med et areal på 126.

For at en tripel af naturlige tal ( a , b , c ) med en < b < c , skal være en Heron-tripel, er det nødvendigt med Herons formel .

( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 )

eller, som er det samme,

2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 )

var et perfekt kvadrat, der ikke er nul, deleligt med 16.

Brug

Primitive Pythagoras tripler bruges i kryptografi som tilfældige sekvenser og til nøglegenerering [48] .

Se også

Noter

↑ V. Serpinsky . Pythagoras trekanter. - M . : Uchpedgiz, 1959. - 111 s.
↑ Robson, Eleanor (februar 2002), Ord og billeder: nyt lys på Plimpton 322 , American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). — V. 109(2): 105–120, doi : 10.2307/2695324 , < http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf > Arkiveret kopi dateret 10. august 2017 på Wayback Machine
↑ D.E. Joyce. Euklids elementer. - Clark University, juni 1997. - C. Bog X, Proposition XXIX .
↑ Douglas W. Mitchell. En alternativ karakterisering af alle primitive pythagoræiske tripler // The Mathematical Gazette. - Juli 2001. - T. 85 , Nr. 503 . — S. 273–5 . — .
↑ Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Beviser uden ord: Flere øvelser i visuel tænkning / Roger B. Nelsen. - Mathematical Association of America , 2000. - Vol. II . - S. 120 . - ISBN 978-0-88385-721-2 .
↑ Eli Major. Pythagoras sætning . - Princeton University Press, 2007. - C. Appendiks B.
↑ 1 2 3 Sierpinski, 2003 .
↑ Houston, 1993 , s. 141.
↑ Posamentier, 2010 , s. 156.
↑ Ikke-eksistens af en løsning, hvor både a og b er kvadrater, oprindeligt bevist af Pierre de Fermat . For andre tilfælde, hvor c er et af kvadraterne, se Stillwells bog.
↑ Carmichael, 1959 , s. 17.
↑ Carmichael, 1959 , s. 21.
↑ Sierpinski, 2003 , s. 4-6.
↑ Sierpinski, 2003 , s. 23-25.
↑ MacHale, Bosch, 2012 , s. 91-96.
↑ Sally, 2007 , s. 74-75.
↑ Dette følger af, at et af tallene a eller b er deleligt med fire, og af definitionen af kongruente tal som arealer af retvinklede trekanter med rationelle sider
↑ Baragar, 2001 , s. 301, opgave 15.3.
↑ Bernhart, Price, 2005 .
↑ Bernhart, Price, 2005 , s. 6.
↑ Carmichael, 1959 , s. fjorten.
↑ Rosenberg, Spillane, Wulf, maj 2008 , s. 656-663.
↑ Paul Yiu, 2008 .
↑ Sierpinski, 2003 , s. 31.
↑ Pickover, 2009 , s. 40.
↑ Paul Yiu, 2008 , s. 17.
↑ Weisstein, Eric W. Pythagorean triple på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ 12 Trautman , 1998 .
↑ Eckert, 1984 .
↑ Paul Yiu, 2003 .
↑ Sekvens A093536 i OEIS .
↑ Sekvens A225760 i OEIS .
↑ Alperin, 2005 .
↑ Berggren, 1934 .
↑ Yderligere diskussion af forældre-barn-forholdet - Pythagorean triple (Wolfram) Arkiveret 17. marts 2015 på Wayback Machine , Alperin, 2005 .
↑ Stillwell, 2002 , s. 110–2 Kapitel 6.6 Pythagoras tripler.
↑ Gauss, 1832 Se også Werke , 2 :67-148.
↑ 1988 Preprint Arkiveret 9. august 2011 på Wayback Machine Se figur 2 på s. 3. Dette blev senere offentliggjort i ( Fässler 1991 )
↑ Benito, Varona, 2002 , s. 117-126.
↑ Nahin, Paul. En imaginær fortælling: Historien om s. 25-26. ${\sqrt {-1}),$
↑ En samling af algebraiske identiteter: Summer af n kvadrater . Hentet 15. marts 2015. Arkiveret fra originalen 6. marts 2012. (ubestemt)
↑ Summen af på hinanden følgende terninger er lig med en terning (downlink) . Arkiveret fra originalen den 15. maj 2008. (ubestemt)
↑ Michael Hirschhorn. Hvornår er summen af på hinanden følgende kvadrater et kvadrat? // Matematisk Tidende. - November 2011. - T. 95 . — S. 511–2 . — ISSN 0025-5572 .
↑ John F. Jr. Goehl. Læserreflektioner // Matematiklærer. - maj 2005. - T. 98 , no. 9 . - S. 580 .
↑ John F. Goehl, Jr. Tripler, kvartetter, pentads // Matematiklærer. - Maj 2005. - T. 98 . - S. 580 .
↑ Scott Kim. Bogglers // Opdag . - Maj 2002. - S. 82 .
Ligningen er mere kompliceret, kun i 1988, efter 200 års mislykkede forsøg fra matematikere på at bevise umuligheden af at løse ligningen, fandt Noam Elkis fra Harvard et modeksempel - 2.682.440 4 + 15.365.639.76.639.79 + 20.615.673 4 : ${\displaystyle w^{4}+x^{4}+y^{4}=z^{4))$
Noam Elkies. På A 4 + B 4 + C 4 = D 4 // Mathematics of Computing. - 1988. - T. 51 . — S. 825–835 .
↑ MacHale, Bosch, 2012 , s. 91-96.
↑ S. Kak, M. Prabhu. Kryptografiske anvendelser af primitive Pythagoras tripler // Cryptologia. - 2014. - T. 38 , no. 3 . - S. 215-222 .

Litteratur

RD Carmichael. Talteorien og diofantanalysen . - Dover Publ, 1959. - C. Diophantine analyse.
Waclaw Sierpinski. Pythagoras trekanter. - Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43278-6 .
John Stillwell. tal og geometri. - Springer, 1998. - S. 133. - (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 9780387982892 .
Thomas Koshy. Elementær talteori med applikationer. - Academic Press, 2002. - S. 545. - ISBN 9780124211711 .
David Houston. Beviser uden ord: øvelser i visuel tænkning / Roger B. Nelsen. - Mathematical Association of America, 1993. - S. 141. - ISBN 978-0-88385-700-7 .
Alfred S. Posamentier. Pythagoras sætning: historien om dens kraft og skønhed . - Prometheus Books, 2010. - ISBN 9781616141813 .
Des MacHale, Christian van den Bosch. Generalisering af et resultat om Pythagoras tripler // Mathematical Gazette . - 2012. - T. 96 .
Judith D. Sally. Rødder til forskning: En vertikal udvikling af matematiske problemer. - American Mathematical Society, 2007. - ISBN 9780821872673 . .
Neal Koblitz. Introduktion til elliptiske kurver og modulære former. - Springer, 1993. - V. 97. - (Kandidattekster i matematik). — ISBN 9780387979663 .
Arthur Baragar. En undersøgelse af klassiske og moderne geometrier: med computeraktiviteter . - Prentice Hall, 2001. - ISBN 9780130143181 .
Paul Yiu. Heron trekanter, som ikke kan dekomponeres i to heltallige retvinklede trekanter. - 41. møde i Florida Sektion af Mathematical Association of America, 2008.
Clifford A. Pickover. Matematikbogen. - Sterling, 2009. - P. Kapitel "Pythagorean-sætning og trekanter". — ISBN 1402757964 .
John Stillwell. Elementer i talteori. - Springer, 2002. - ISBN 978-0-387-95587-2 .
Pythagorean Triples and the Unit Circle Arkiveret 15. december 2011 på Wayback Machine , kap. 2-3, i " A Friendly Introduction to Number Theory Archived March 6, 2015 at the Wayback Machine " af Joseph H. Silverman, 3. udgave, 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137 -9
Dmitry Viktorovich Anosov . Et kig på matematik og noget derfra . - 2. udg. - M .: MTSNMO , 2003. - T. 3. - 32 s. - (Bibliotek "Matematisk Uddannelse"). — 3000+1500 eksemplarer. — ISBN 5-94057-111-5 . Arkiveret12. januar 2014 påWayback Machine