Irreducerbar fraktion

I matematik er en irreducerbar ( reduceret ) brøk en almindelig brøk af formen , der ikke kan reduceres . Med andre ord er en brøk irreducerbar, hvis dens tæller og nævner er coprime [1] , dvs. de har ingen fælles divisorer undtagen . For eksempel er en brøk irreducerbar, men du kan reducere: $\pm {\frac {m}{n}}$ $\pm 1$ ${\frac {121}{90}}$ ${\frac {120}{90}}$ ${\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}.$

Almindelige brøker

Ethvert rationelt tal , der ikke er nul , kan entydigt repræsenteres som en irreducerbar brøkdel af formen, hvor er et heltal og er et naturligt tal. Dette følger af aritmetikkens grundlæggende teorem . Hvis nævneren tillades at være negativ , er en anden irreducerbar repræsentation mulig: ${\frac {m}{n)),$ $m$ $n$ $n$

-{\frac {4}{5}}={\frac {-4}{5}}={\frac {4}{-5}}

For at reducere en almindelig brøk til en irreducerbar form, er det nødvendigt at dividere dens tæller og nævner med den største fælles divisor [2] GCD For at finde den største fælles divisor bruges normalt Euklids algoritme eller dekomponering i primfaktorer . $\pm {\frac {m}{n))$ $(m,n).$

For et heltal n er den irreducible brøkrepræsentation

n={\frac {n}{1}}\

Variationer og generaliseringer

De irreducerbarhedsegenskaber, der findes for almindelige brøker, gælder for en vilkårlig faktoriel ring , det vil sige en ring, hvor en analog af aritmetikkens grundsætning gælder . Enhver brøkdel fra elementerne i en faktoriel ring (med en ikke-nul nævner) kan repræsenteres i en irreducerbar form, og entydigt op til divisors af enhed af denne ring.

Ringen af gaussiske tal består af komplekse tal af formen hvor er heltal. Der er fire enhedsdelere: Denne ring er faktoriel, og teorien om brøker for den er konstrueret på samme måde som heltal. Det er for eksempel let at kontrollere [3] , at en brøk kan reduceres til (allerede irreducerbar) $a+bi,$ $a,b$ $1;-1;i;-i.$ ${\frac {4+2i}{4+7i}}$ ${\frac {2}{3+2i}}.$

Polynomier med koefficienter fra en eller anden ring danner også en faktoriel ring - ringen af polynomier . rationelle funktioner , det vil sige brøker, i hvis tællere og nævnere er polynomier . Enhedsdelere her vil være tal, der ikke er nul (som polynomier af grad nul). Tvetydigheden af repræsentationen kan fjernes ved at kræve, at polynomiet i nævneren reduceres .

Men over en vilkårlig ring er et element i brøkringen generelt ikke forpligtet til at have en unik, op til enhedsdelere, repræsentation i form af en irreducerbar brøk, da hovedsætningen i aritmetikken ikke er gyldig i hver ring [4] . Overvej for eksempel komplekse tal af formen , hvor , er heltal. Summen og produktet af sådanne tal vil være tal af samme slags, så de danner en ring. Den er dog ikke faktoriel, og den irreducible repræsentation af fraktioner er tvetydig, for eksempel: $a=m+in{\sqrt {5}}$ $m$ $n$

{\frac {6}{3(1+i{\sqrt {5))))}}={\frac {2}{1+i{\sqrt {5}}}}={\frac { 1-i{\sqrt {5}}}{3}}

Den anden og tredje brøk har både tæller- og nævnerprimtal for den angivne ring, så begge brøker er irreducerbare.

Noter

↑ Gusev, Mordkovich, 2013 , s. 29-30.
↑ Vygodsky, 2006 , s. 81-82.
↑ Weisstein, Eric W. Irreducible Fraction på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Zhikov V.V. Grundlæggende sætning for aritmetik // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , nr. 3 . - S. 112-117 .

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik. - M. : AST, 2006. - 509 s. — ISBN 5-17-009554-6 .
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik: en studievejledning. — M .: Astrel, 2013. — 671 s. - (Elevhåndbog). - ISBN 978-5-271-07165-2 .

Irreducerbar fraktion

Almindelige brøker

Variationer og generaliseringer

Noter

Litteratur

Links