Vendbart element

Et invertibelt element er et element i ringen med enhed , for hvilket der er et omvendt element med hensyn til multiplikation. Et andet navn er unit divisor . Også hovedsageligt i oversættelser fra engelsk findes navnet enhed , hvilket kan forårsage forveksling med et enkelt element (i engelske kilder bruges to forskellige udtryk: enhedselement og Identitetselement [1] ).

Med andre ord siges et element i en ring at være inverterbart, hvis der eksisterer et element sådan $-en$ $b$

ab=ba=e,

hvor er ringens identitetselement. $e$

Sættet af alle inverterbare elementer i en ring danner en multiplikativ gruppe , kaldet gruppen af inverterbare elementer (mindre almindeligt , gruppen af ener ). Denne gruppe er altid ikke-tom, da den i det mindste indeholder ringens identitet.

Tilknyttede elementer

Hvis er et inverterbart element, så de elementer, der kan repræsenteres som eller kaldes forbundet med . $-en$ $a\cdot x$ $x\cdot a$ $x$

Normalt bruges termen enhedsdivisor og begrebet tilhørende element om områder med integritet .

Gruppe af enheder

De inverterbare elementer i ringen R danner gruppen U ( R ) ved multiplikation, enhedsgruppen for ringen R. Andre almindelige symboler er R × , R * og E ( R ) (fra det tyske Einheit ).

I en kommutativ ring R virker enhedsgruppen U ( R ) på R via multiplikation. Banerne for disse handlinger kaldes sæt af tilknyttede elementer ; med andre ord er der en ækvivalensrelation ~ på R kaldet association , hvor

r ~ s

betyder at der er en enhed u sådan at r = os .

Det kan vises, at U er en funktion fra kategorien ringe til kategorien af grupper : hver ringhomomorfi f : R → S genererer en gruppehomomorfi U ( f ): U ( R )→ U ( S ), da f kortlægger enheder til enheder.

En ring R er en ring, hvis og kun hvis U ( R ) = R \{0}.

Eksempler

Der er to enhedsdelere i ringen af heltal : +1 og -1.
I ringen af rester modulo m er de inverterbare elementer rester coprime med modulo m . De danner den multiplikative gruppe af restringen .
Der er fire enhedsdelere i ringen af Gaussiske heltal : . $+1,\-1,\i,\-i$
I en polynomialring over et felt er ethvert ikke-nul-element i koefficientfeltet (som et polynomium af grad nul) en divisor af enhed.

Noter

↑ Sammenlign Unit divisor Arkiveret 19. december 2021 på Wayback Machine og Unital ring Arkiveret 19. december 2021 på Wayback Machine

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.