Birational geometri

Birational geometri  er en gren af ​​algebraisk geometri , hvis hovedopgave er klassificeringen af ​​algebraiske varianter op til birational ækvivalens [1] . Dette koger ned til at studere afbildninger, der er givet af rationelle funktioner , ikke af polynomier. Kortlægningen er muligvis ikke defineret på nogle punkter, der er poler af en rationel funktion.

Birational mappings

En rationel kortlægning fra en ( irreducerbar ) sort X til en anden sort Y (skrevet som en stiplet pil X ⇢ Y ) er defineret som en morfisme fra en ikke-tom åben delmængde U af sort X til Y. Ifølge definitionen af ​​Zariski-topologien , brugt i algebraisk geometri, er en ikke-tom åben delmængde U altid komplementet til en delmængde X med lavere dimension. Konkret kan en rationel kortlægning skrives i koordinater ved hjælp af rationelle funktioner.

En birational mapping fra X til Y  er en rationel mapping f : X ⇢ Y sådan, at der eksisterer en rationel mapping Y ⇢ X invers til f . Et birationalkort genererer en isomorfi af en ikke-tom åben undergruppe X til en ikke - tom åben undergruppe Y. I dette tilfælde siges X og Y at være birationelt ækvivalente . I algebraiske termer er to varianter over et felt k birationelt ækvivalente, hvis og kun hvis deres funktionsfelter er isomorfe som forlængelser af feltet k .

Et særligt tilfælde er en birational morfisme f : X → Y , hvilket betyder en morfisme, der er birational. Så er f defineret på hele X , men dets inverse er muligvis ikke defineret på hele Y. Dette sker normalt, når en birational morfisme krymper nogle undervarianter af X til punkter i Y.

En variant X siges at være rationel , hvis den er rationelt ækvivalent med et affint rum (eller tilsvarende et projektivt rum ) af samme dimension. Rationalitet er en helt naturlig egenskab - det betyder, at X uden en delmængde af lavere dimension kan identificeres med et affint rum uden en delmængde af lavere dimension. For eksempel er cirklen defineret af ligningen x 2 + y 2 − 1 = 0 en rationel kurve, da formlerne

definere en birational afbildning af en linje til en cirkel. (Hvis vi erstatter rationelle tal med t , får vi pythagoras tripler .) Det omvendte kort tager ( x , y ) til (1 − y )/ x .

Mere generelt er en glat kvadratisk (grad 2) hyperoverflade X af enhver dimension n rationel i lyset af den stereografiske projektion (for en kvadratisk variant X over et felt k må det antages, at den har et k -rationelt punkt Dette gælder automatisk, hvis k er algebraisk lukket. ). For at definere en stereografisk projektion, antag, at p  er et punkt i X. Så er et birationalkort fra X til et projektivt rum P af n linjer gennem p givet ved et kort fra et punkt q i X til en linje gennem p og q . Denne kortlægning er en birational ækvivalens, men ikke en mangfoldig isomorfi, da den ikke er defineret for q = p (og den inverse mapping er ikke defineret for linjer gennem p og liggende i X ).

Minimumsmodeller og opløsningsfunktioner

Enhver algebraisk variant er birationelt ækvivalent med en projektiv variant ( Chows lemma ). For en birational klassificering er det således tilstrækkeligt kun at arbejde med projektive sorter, og dette er den mest almindelige antagelse.

Meget dybere, ifølge Hironakis singularitetsopløsningssætning [  — over et felt med karakteristisk 0 (såsom de komplekse tal) er enhver varietet birationelt ækvivalent med en glat projektiv varietet. Med dette i tankerne er det tilstrækkeligt at klassificere glatte projektive varianter op til birational ækvivalens.

I dimension 1, hvis to glatte projektive kurver er birationelt ækvivalente, er de isomorfe. Dette er dog ikke tilfældet i dimensioner 2 og højere på grund af blow-up konstruktionen . Når den sprænges i luften, svarer enhver glat projektiv variant af dimension 2 eller mere birationelt til et uendeligt antal "større" varianter, såsom dem med større Betti-tal .

Dette fører til ideen om minimale modeller  - er der en enkelt enkleste variant i enhver rationel ækvivalensklasse? Den moderne definition af en minimal model er, at en projektiv variant X er minimal , hvis det kanoniske linjebundt K X har ikke-negativ grad på en hvilken som helst kurve i X . Med andre ord er K X et nef-bundle . Det er nemt at kontrollere, at hævede manifolder aldrig er minimale.

Denne idé fungerer godt til algebraiske overflader (varianter af dimension 2). I moderne termer var det centrale resultat af den italienske skole for algebraisk geometri i 1890-1910, en del af klassifikationen , det faktum, at enhver overflade X er birationelt ækvivalent med enten produktet P 1  ×  C for en eller anden kurve C eller en minimal overflade Y [2] . Disse to tilfælde udelukker hinanden, og Y er unik, hvis den eksisterer. Hvis Y eksisterer , kaldes det minimumsoverflademodellen af ​​X.

Birational invarianter

Først og fremmest er det ikke helt klart, hvordan man viser, at der findes en ikke-rationel algebraisk overflade. For at bevise dette er vi nødt til at bruge nogle invarianter af algebraiske varianter.

Et nyttigt sæt af birationalinvarianter er flertalsslægterne . Det kanoniske bundt en glat manifold X med dimension n er linjebundtet n - former K X = Ω n , som er den n'te ydre potens af det kanoniske bundt manifolden X . For et heltal d er den d' te tensorpotens af K X igen et linjebundt. For d ≥ 0 har vektorrummet af globale sektioner H 0 ( X , K X d ) den bemærkelsesværdige egenskab, at en birational mapping f : X ⇢ Y mellem glatte projektive varianter genererer en isomorfi H 0 ( X , K X d ) ≅ H 0 ( Y , KY d ) [3 ] .

For d ≥ 0 definerer vi den dth plurirod P d som dimensionen af ​​vektorrummet H 0 ( X , K X d ). Så er plugenerne birationelle invarianter af glatte projektive varianter. Især hvis nogle plurirod P d ikke er lig med nul for d > 0, så er X ikke en rationel variant.

Den fundamentale birationale invariant er Kodaira-dimensionen , som måler væksten af ​​pluraliteterne Pd , da d har en tendens til uendelighed. Kodaira-dimensionen opdeler alle varianter af dimension n i n + 2 typer med Kodaira-dimensioner −∞, 0, 1, …, n . Denne invariant viser kompleksiteten af ​​manifolden, mens det projektive rum har Kodaira-dimensionen −∞. De mest komplekse manifolder er dem, hvis Kodaira-dimension er den samme som rumdimensionen n , og disse manifolds kaldes manifolder af almindelig type .

Mere generelt er enhver naturlig direkte summand E (Ω 1 ) af den r. tensorpotent af den cotangens Ω 1 med r ≥ 0, vektorrummet af globale sektioner H 0 ( X , E (Ω 1 )) en birational invariant for glatte projektive varianter. Især Hodge-tallene h r ,0 = dim H 0 ( X , Ω r ) er birationelle invarianter af X . (De fleste af de andre Hodge-tal h p, q er ikke birationelle invarianter, som vist ved blow -up .)

Grundgruppen π 1 ( X ) er en birational invariant for glatte komplekse projektive varianter.

Den "svage faktoriseringssætning" bevist af Abramovich, Karu, Matsuki og Wlodarczyk [4] siger, at enhver birational kortlægning mellem to glatte komplekse projektive varianter kan dekomponeres til et begrænset antal opblæsninger eller afblæsninger af glatte undervarieteter. Dette er vigtigt at vide, men det er stadig en vanskelig opgave at afgøre, om to glatte projektive varianter er birationelt ækvivalente.

Minimale modeller i høje dimensioner

En projektiv variant X kaldes minimal , hvis det kanoniske bundt K X er et nef-bundt . For X af dimension 2 er det tilstrækkeligt at overveje glatte manifolder. I dimensioner 3 og derover skal minimale sorter tillades at have nogle svage singulariteter, for hvilke K X forbliver velopdragen. De kaldes terminalfunktioner .

Gyldigheden af ​​den minimale modelformodning ville imidlertid indebære, at enhver sort X enten er dækket af rationelle kurver eller er birationelt ækvivalent med en minimal sort Y . Hvis den findes, kaldes Y den minimale model af X.

Minimal modeller er ikke unikke i dimensioner 3 og op, men to minimale birational varianter er meget tæt på. For eksempel er de isomorfe uden for delmængder af kodimension 2 og derover, og mere præcist er de forbundet med en sekvens af flip . Så den minimale modelformodning ville give væsentlig information om den birationale klassificering af algebraiske varianter.

Mori beviste formodningen for dimension 3 [5] . Der er mange fremskridt i højere dimensioner, selvom hovedproblemet stadig er åbent. Især Birkar, Cassini, Hakon og McKernan [6] beviste, at enhver variation af generel type over et felt med karakteristisk 0 har en minimal model.

Unilinede manifolder

En manifold kaldes uinolinet, hvis den er dækket af rationelle kurver. En ulineær sort har ikke en minimal model, men der er en god erstatning - Birkar, Cassini, Hakon og McKernan viste, at enhver ikke-linet sort over en mark med karakteristisk nul er en birational Fano-fibrering [7] . Dette fører til problemet med birational klassificering af Fano-fibrationer og (som det mest interessante tilfælde) Fano-varianter . Per definition er en projektiv variant X en Fano -variant, hvis den antikanoniske bunke K X * er rigelig . Fano-varianter kan betragtes som værende tættest på projektive rum.

I dimension 2 er enhver Fano tredobbelt (kendt som en del Pezzo-overflade ) over et algebraisk lukket felt rationel. Hovedopdagelsen i 1970'erne var, at der, fra dimension 3, er mange Fano-varianter, der ikke er rationelle . Især glatte kubiske 3-foldninger ifølge Clemens og Griffiths [8] er ikke rationelle, og glatte 3-foldninger af fjerde grad er ikke rationelle, ifølge Iskovskikh og Manin [9] . Alligevel er opgaven med at afgøre, præcis hvilke Fano-sorter, der er rationelle, langt fra løst. For eksempel vides det ikke, om der eksisterer en ikke-rationel glat kubisk hyperoverflade i Pn + 1 med n ≥ 4.

Grupper af birational automorfismer

Algebraiske varianter adskiller sig betydeligt i antallet af deres birationale automorfismer. Enhver varietet af generel type er meget stiv i den forstand, at dens birationale automorfigruppe er endelig. I den anden yderlighed er gruppen af ​​birationale automorfier af det projektive rum P n over et felt k , kendt som Cremona-gruppen Cr n ( k ), stor (af uendelig dimension) for n ≥ 2. For n = 2 kompleks Cremona gruppe Cr 2 ( C ) genereres af den "kvadratiske transformation"

[ x , y , z ] ↦ [1/ x , 1/ y , 1/ z ]

sammen med automorfigruppen PGL (3, C ) af P 2 , ifølge Max Noether og Guido Castelnuovo . I modsætning hertil er Cremona-gruppen i dimension n ≥ 3 meget mystisk; intet eksplicit sæt af generatorer er kendt for det.

Iskovskikh og Manin [9] viste, at gruppen af ​​birationale automorfier af fjerde-ordens glatte hyperoverflader (kvartikker) af 3-manifolder er lig med dens automorfi-gruppe, som er endelig. I denne forstand er fjerdeordens tredimensionelle varianter langt fra at være rationelle, da gruppen af ​​birationelle automorfismer af en rationel sort er enorm. Dette fænomen med "birational rigidity" er siden blevet opdaget for mange fiberrige Fano-rum.

Noter

  1. ↑ Dolgachev, Iskovskikh, 1977 , s. 463.
  2. ↑ Kollár, Mori, 1998 , s. Sætning 1.29.
  3. ↑ Hartshorne, 1977 , s. Øvelse II.8.8.
  4. ↑ Abramovich, Karu, Matsuki, Wlodarczyk, 2002 .
  5. ↑ Mori, 1988 .
  6. ↑ Birkar, Cascini, Hacon, McKernan, 2010 .
  7. ↑ ( Birkar, Cascini, Hacon, McKernan 2010 ); Konsekvens 1.3.3 indebærer, at enhver uforet sort med karakteristisk nul er birationel til en Fano-fibrering, idet man bruger det simple faktum, at en ikke-foret sort X er dækket af en familie af kurver, for hvilke K X har en negativ grad. Dette udsagn kan findes i Debarres bog ( Debarre 2001 ), Corollary 4.11 og Eksempel 4.7(1).
  8. ↑ Clemens, Griffiths, 1972 .
  9. ↑ 1 2 Iskovskikh, Manin, 1971 , s. 140-166.

Litteratur