Kongruent tal

Et kongruent tal er et naturligt tal lig med arealet af en retvinklet trekant med sider, hvis længde er udtrykt ved rationelle tal [1] . En mere generel definition omfatter alle positive rationale tal med denne egenskab [2] .

Kongruente tal danner en sekvens

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52... (sekvens A003273 i OEIS )

Kongruente taltabel: n ≤ 120 [3]
—: ikke-kongruent tal K: ukvadrat Kongruent tal Q: Kongruent tal med kvadratfaktor
n	en	2	3	fire	5	6	7	otte
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	9	ti	elleve	12	13	fjorten	femten	16
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	17	atten	19	tyve	21	22	23	24
	—	—	—	Q	K	K	K	Q
n	25	26	27	28	29	tredive	31	32
	—	—	—	Q	K	K	K	—
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	K	—	—	K	K	K	—
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	K	—	—	—	Q	K	K	—
n	49	halvtreds	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	Q	K	Q	K	Q
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	Q	K	K	Q	—
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	K	—	—	—	K	K	K	—
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	K	K	K	Q
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	Q	K	K	K	Q
n	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	Q	K	K	K	Q
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	K	K	K	Q
n	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	Q	Q	K	K	Q

For eksempel er 5 et kongruent tal, fordi det er arealet af en trekant med siderne 20/3, 3/2 og 41/6. På samme måde er tallet 6 kongruent, fordi det er arealet af en trekant med siderne 3,4 og 5. 3 er ikke kongruent.

Hvis q er et kongruent tal, så er s 2 q også kongruent for nogle tal s (du skal bare gange hver side af trekanten med s ), det omvendte er også sandt. Dette fører til den observation, at hvorvidt et ikke-nul rationelt tal q er et kongruent tal kun afhænger af dets coset i gruppen

{\mathbb {Q}}^{{*}}/{\mathbb {Q}}^{{*2}}

Ethvert kosæt i denne gruppe indeholder præcis ét ikke-kvadrat-tal , så når man taler om kongruente tal, mener man kun up-kvadraterede positive heltal.

Problemet med kongruente tal

Arealet af en retvinklet trekant i form af benene udtrykkes som følger:

S=ab/2

Kravet til en rektangulær trekant er udtrykt som følger:

a^{2}+b^{2}=c^{2}

hvor a , b er trekantens ben, c er dens hypotenus . Problemet med at afgøre, om et naturligt tal S er kongruent, kommer ned til at finde en rationel løsning på dette ligningssystem.

Problemet med at afgøre, om et givet heltal er kongruent, kaldes det kongruente talproblem . Opgaven (inden 2012) er ikke løst endnu. Tunnels sætning giver en simpel test til at bestemme, om et tal er kongruent, men dette resultat er baseret på Birch-Swinnerton-Dyer-formodningen , som ikke er blevet bevist.

Fermats retvinklede trekantsætning , opkaldt efter Pierre Fermat , siger, at intet kvadrattal kan være kongruente. Men i form af en erklæring om, at enhver forskel (trin) mellem successive led i en aritmetisk progression af kvadrater ikke er et perfekt kvadrat, var dette faktum allerede kendt (uden bevis) af Fibonacci [4] . Ethvert sådant progressionstrin er et kongruent tal, og ethvert kongruent tal er produktet af progressionstrinnet og kvadratet af et rationelt tal [5] . Det er dog en meget enklere opgave at afgøre, om et tal er et trin i en progression af kvadrater, da der er en parametrisk formel, hvor det kun er nødvendigt at kontrollere et endeligt antal parameterværdier [6] .

Forbindelse med elliptiske kurver

Spørgsmålet om et givet tal er kongruent viser sig at svare til betingelsen om, at en eller anden elliptisk kurve har positiv rangorden [2] . En alternativ tilgang til ideen er præsenteret nedenfor (og kan findes i indledningen i Tunnels arbejde).

Antag at a , b og c er tal (ikke nødvendigvis positive eller rationelle), der opfylder følgende betingelser:

{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&c^{2}\\{\tfrac {1}{2}}ab&=&n.\end{matrix}}

Lad x = n ( a + c )/ b og y = 2 n 2 ( a + c )/ b 2 . Få

y^{2}=x^{3}-n^{2}x

og y er ikke lig med 0 (hvis y = 0, så er a = - c , så b = 0, men (1/2) ab = n er ikke lig nul, en selvmodsigelse).

Omvendt, hvis x og y er tal, der opfylder ligningerne ovenfor, og y ikke er lig med 0, skal du sætte a = ( x 2 - n 2 )/ y , b = 2 nx / y , og c = ( x 2 + n 2 ) / y . Beregninger viser, at disse tre tal opfylder de to ovenstående ligninger.

Korrespondancen mellem ( a , b , c ) og ( x , y ) er reversibel, så vi har en en-til-en overensstemmelse mellem løsningerne af disse to ligninger for a , b og c , og løsningerne for x og y , hvor y ikke er nul. Især følger det af formlerne for a , b og c , at givet en rationel n , er tallene a , b og c rationelle hvis og kun hvis de tilsvarende x og y er rationelle og omvendt. (Vi får også at a , b og c er positive hvis og kun hvis x og y er positive. Ud fra ligningen y 2 = x 3 - xn 2 = x ( x 2 - n 2 ) bemærk at hvis x og y er positive , så skal x 2 - n 2 være positiv, så formlen ovenfor for a giver et positivt tal.)

Således er et positivt rationelt tal n kongruent, hvis og kun hvis y 2 = x 3 - n 2 x har et rationelt punkt med y ulig med nul . Det kan vises (som en elegant konsekvens af Dirichlets sætning om primtal i aritmetisk progression), at kun torsionspunkterne i denne elliptiske kurve har y lig med 0, hvilket indebærer, at eksistensen af rationelle punkter med ikke-nul y svarer til at sige at den elliptiske kurve har positiv rang.

Nuværende tilstand

Mange værker er afsat til klassificering af kongruente tal.

For eksempel er det kendt [7] , at for et primtal p gælder følgende:

hvis p ≡ 3 ( mod 8) så er p ikke kongruent, men 2 p er det.
hvis p ≡ 5 (mod 8), så er p kongruent.
hvis p ≡ 7 (mod 8), så er p og 2 p kongruente.

Det er også kendt [8] , at der i hver af restklasserne 5, 6, 7 (mod 8) og enhver given k , er uendeligt mange nulfri kongruente tal med k primfaktorer.

Se også

Pythagoras tal

Noter

↑ Mathworld .
↑ 12 Neal Koblitz . Introduktion til elliptiske kurver og modulære former . - New York: Springer-Verlag , 1993. - S. 3 . - ISBN 0-387-97966-2 .
↑ OEIS -sekvens A003273 _
↑ Øystein Ore. Talteori og dens historie. - Courier Dover Corporation, 2012. - S. 202-203 . — ISBN 9780486136431 .
↑ Keith Conrad. Det kongruente talproblem // Harvard College Mathematical Review. - 2008. - Vol. 2 , udgave. 2 . - S. 58-73 .
↑ David Darling. The Universal Book of Mathematics: Fra Abracadabra til Zenos paradokser. - John Wiley & Sons, 2004. - S. 77. - ISBN 9780471667001 .
↑ Paul Monsky. Mock Heegner Points and Congruent Numbers // Mathematische Zeitschrift. - 1990. - T. 204 , no. 1 . - S. 45-67 . - doi : 10.1007/BF02570859 .
↑ Ye Tian. Overensstemmende tal og Heegner-punkter. - 2012. - arXiv : 1210.8231v1 .

Litteratur

Koblitz N. Introduktion til elliptiske kurver og modulære former. — M .: Mir, 1988.
Ostrik VV, Tsfasman MA Algebraisk geometri og talteori: rationelle og elliptiske kurver . — M. : MTsNMO , 2010. — 48 s. - (Bibliotek "Matematisk belysning"). — ISBN 5-900916-71-5 .
Stewart, Ian . Diofantiske drømme. Birch-Swinnerton-Dyer-hypotese // De største matematiske problemer. - M. : < Alpina faglitteratur >, 2016. - 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .
Chistyakov II Om rationelle trekanter // Matematisk uddannelse . - M. - L .: ONTI , 1934. - Udgave. 1 . - S. 10-16 .
Silverberg, Alice. Åbne spørgsmål i aritmetisk algebraisk geometri ( PostScript ). - En kort diskussion af problemets tilstand og mange links.
Richard Guy . Uløste problemer i talteori. — ISBN 0-387-20860-7 . - Mange links.
Leonard Eugene Dickson . Talteoriens historie . - T. II. - ISBN 0-8218-1935-6 . — Problemets historie.
Ronald Alter. Det kongruente talproblem // American Mathematical Monthly. - Mathematical Association of America, 1980. - V. 87 , no. 1 . - S. 43-45 . - doi : 10.2307/2320381 . — .
Chandrasekar V. The Congruent Number Problem // Resonance. - 1998. - Vol. 3 , udgave. 8 . - S. 33-45 . - doi : 10.1007/BF02837344 .
Jerrold B. Tunnell. Et klassisk diophantisk problem og modulære former for vægt 3/2 // Inventiones Mathematicae . - 1983. - T. 72 , no. 2 . - S. 323-334 . - doi : 10.1007/BF01389327 .