Eulers formodning

Eulers formodning siger, at for ethvert naturligt tal, kan ingen n -te potens af et naturligt tal repræsenteres som summen af th potens af andre naturlige tal. Det vil sige ligningerne: $n > 2$ $(n-1)$ $n$

{\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\ a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\sum \limits _{{k=1}}^{{ n-1}}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrix}}

har ingen løsning i naturlige tal. Afkræftet af .

Formodningen blev fremsat i 1769 af Euler som en generalisering af Fermats sidste sætning , som svarer til specialtilfældet n = 3. Således er Eulers formodning sand for n = 3.

Modeksempler

n = 5

I 1966 fandt L. Lander , T. Parkin og J. Selfridge det første modeksempel for n = 5 ved hjælp af CDC 6600 -supercomputeren : [1] 2]

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.

n = 4

I 1986 fandt Noam Elkis et modeksempel på tilfældet n = 4: [3] [4]

2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}.

I 1988 fandt Roger Frye det mindste modeksempel for n = 4: [5] [4]

95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}.

Generaliseringer

I 1966 formodede L. D. Lander , T. R. Parkin og Selfridge , at hvis , hvor er positive heltal, , så . $\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}^{k}=\sum _{{j=1}}^{{m}}b_{j}^{k}$ $a_{i}\neq b_{j}$ $i={\overline {1,n)),j={\overline {1,m}}$ $m+n\geqslant k$

Hvis denne hypotese er sand, ville det især indebære, at hvis , så . $\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}^{k}=b^{k}$ $n\geqslant k-1$

Et sæt positive heltal, der opfylder ligheden , hvor , kaldes en ( k , n , m )-løsning. Søgningen efter sådanne løsninger for forskellige værdier af parametrene k , n , m udføres af projekterne for distribueret databehandling EulerNet [6] og yoyo@home . $\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}^{k}=\sum _{{j=1}}^{{m}}b_{j}^{k}$ $a_{i}\neq b_{j}$

Se også

Noter

↑ LJ Lander, T.R. Parkin: Modeksempel til Eulers' formodning om summer af ens potenser . Tyr. amer. Matematik. soc. vol. 72, 1966, s. 1079
↑ LJ Lander, TR Parkin, JL Selfridge. En undersøgelse af lige store summer af ens potenser // Matematik . Comp. : journal. - 1967. - Bd. 21 . - S. 446-459 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 .
↑ Noam Elkies. På A 4 + B 4 + C 4 = D 4 // Mathematics of Computing. - 1988. - Bd. 51 , nr. 184 . - S. 825-835 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . — .
↑ 1 2 R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. Alle løsninger af den diofantiske ligning a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a,b,c,d,e,f,g < 250000 fundet med et distribueret Boinc-projekt Arkiveret 3. september 2015 på Wayback Machine , 2011, fortryk.
↑ Frye, Roger E. (1988), Finding 95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4 on the Connection Machine , Proceedings of Supercomputing 88, Vol. II: Science and Applications , s. 106–116 , DOI 10.1109/SUPERC.1988.74138
↑ EulerNet Arkiveret 9. december 2013 på Wayback Machine .