Lich Grid

Lich - gitteret er en bestemt type gitter i 24-dimensionelt rum .

Bygninger

Konstruktion via Golay-kode

Leach-gitteret kan defineres ved hjælp af Golay-koden af typen som billedet af et sæt vektorer komprimeret af en faktor, således at ${\mathcal {C}}$ $[24,12,8]$ $2{\sqrt {2}}$ $(a_{1},\dots,a_{{24}})\i \mathbb{Z } ^{{24}}$

a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{{24}}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{{24}}{\pmod {8}}

og for hver klasse j af modulo 4-rester, det binære 24-bit ord v, givet af

v_{i}={\begin{cases}1,&a_{i}\equiv j{\pmod {4)),\\0,&a_{i}\ikke \equiv j{\pmod {4} },\end{cases}}

tilhører . ${\mathcal {C}}$

Konstruktion via pseudo-euklidisk signaturrum (25,1)

Leach-gitteret kan konstrueres ved hjælp af det pseudo- euklidiske signaturrum ( 25.1). I dette rum betragter vi nemlig et jævnt unimodulært gitter, der består af vektorer , hvis koordinater er samtidigt heltal eller samtidigt halvt heltal, og i dette tilfælde , med andre ord, er skalarproduktet med en vektor af alle enheder lige. $\mathrm {II} _{25,1}$ $(x_{0},\dots,x_{{25}})$ $x_{0}+\dots +x_{{24}}-x_{{25}}\i 2\mathbb{Z }$

En isotrop vektor hører til et sådant gitter . Bemærk, at på grund af isotropien af , kan vi derfor overveje kvotientrummet . Begrænsningen af det skalære produkt til dette kvotientrum (igen, på grund af isotropien af ) er veldefineret og viser sig at være positiv bestemt. Skæringsbilledet af det oprindelige gitter med ortogonalt komplement under en sådan faktorisering vil være Leach-gitteret i det resulterende 24-dimensionelle euklidiske rum [1] . $u=(0,1,\prikker ,24,70)$ $u\in \langle u\rangle ^{{\perp ))$ $\langle u\rangle ^{{\perp }}/\langle u\rangle$ $u$ $(\langle u\rangle ^{{\perp }}\cap {\mathrm {II}}_{{25,1}})/\langle u\rangle$

Egenskaber

Leach-gitteret er et jævnt selvdobbelt (især unimodulært ) gitter med længden af den korteste vektor lig med 2.

Leach-gitteret realiserer det maksimalt mulige [2] [3] kontaktnummer i dimension 24. Dets kontaktnummer er [2] [3] 196560

Leech gitteret implementerer den tætteste [4] [5] pakning af kugler i dimension 24. Pakningstætheden af Leech gitteret er . ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\ca. 0,001930$

Automorfigruppen i Leach-gitteret er Conway-gruppen Co 0 . Det inkluderer nogle sporadiske grupper , herunder Co 1 som en faktorgruppe af Co 0 ved ruminversion, Co 2 og Co 3 som undergrupper. Conway-gruppen har ordre på 8 315 553 613 086 720 000. Selvom rotationssymmetrien af Leach-gitteret er meget høj, inkluderer dens automorfigruppe ingen refleksioner; med andre ord er Leach-gitteret chiralt .

Se også

Gitter E8

Litteratur

J. Conway, N. Sloan . Pakninger af kugler, gitter og grupper. — M.: Mir, 1990.

Noter

↑ JH Conway, NJA Sloane. Kapitel 26, Sætning 3(b) // Kuglepakninger, gitter og grupper (engelsk) . — S. 524.
↑ 1 2 "Kontaktnummeret for bolde og sfæriske koder" Arkivkopi af 14. oktober 2008 på Wayback Machine - en film fra serien " Matematiske Etuder "
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Leech Lattice (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Annotation af kurset af V. V. Uspensky The Lich Lattice, eller Towards the Monster Archival kopi af 7. februar 2009 på Wayback Machine
↑ Lisa Grossman. Nyt matematisk bevis viser, hvordan man stabler appelsiner i 24 dimensioner // New Scientist . - 2016. - 28. marts.