Topologi base

Basen af en topologi ( basis af et topologisk rum, basis for en topologi, åben base ) er en familie af åbne delmængder af et topologisk rum , sådan at ethvert åbent sæt i kan repræsenteres som en forening af elementer i denne familie. $x$ $x$

Ofte præsenteres topologiens basis for at introducere topologien. For eksempel, på et metrisk rum er topologien defineret i form af den base, der dannes af alle åbne kugler.

Definition

En familie af åbne sæt af et topologisk rum kaldes bunden af en topologi (eller et topologisk rum), hvis ethvert åbent sæt fra kan repræsenteres som en forening af elementer i familien . ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$ ${\mathfrak {B}}$

En familie af åbne sæt i et topologisk rum er en base, hvis og kun hvis der for hvert punkt i rummet og dets nabolag er et sæt fra sådan, at . ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$ $x$ $U$ $V$ ${\mathfrak {B}}$ $x\i V\undersæt U$

Vægt af et topologisk rum

Minimumskardinaliteten af alle rummets baser kaldes vægten af det topologiske rum . Rumvægten er normalt angivet med . $x$ $x$ $x$ $w(X)$

Ejendomme

For hver base er der en delmængde , som er basen og har kardinalitet svarende til vægten af rummet. ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}_{0}$
Hvis vægten af rummet ikke er mere end tællig (det vil sige, den har en tællig base), så kaldes det et rum med det andet tælleaksiom . $x$ $x$ $x$
Der er overalt en tæt kraft i vægtrummet . $\tau$ $\leqslant \tau$

Variationer og generaliseringer

Den lokale basis af rummet ved et punkt (punktets basis ) er en familie af kvarterer i punktet med følgende egenskab: for ethvert kvarter i punktet er der et element, sådan at . $x$ $x\i X$ $x$ $\mathfrak{B}(x)$ $x$ $Okse$ $x$ $V \in \mathfrak{B}(x)$ $x \in V \undersæt O_x$
- Minimumskardinaliteten af alle lokale baser i rummet ved et punkt kaldes karakteren af rummet ved punktet og er betegnet med . $x$ $x\i X$ $x$ $x$ $\chi (x,X)$
- Det øverste af rummets tegn på alle punkter kaldes rummets karakter og er betegnet med . $x$ $x\i X$ $x$ $\chi (X)$
- Rum, der har en tællig lokal base på hvert punkt, kaldes rum med det første aksiom for tællelighed .
- En familie af åbne mængder i X er en base, hvis og kun hvis, for hvert punkt , underfamilien af alle elementer, der indeholder punktet, er den lokale base for punktet . ${\mathfrak {B}}$ $x\i X$ $\mathfrak{B}(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$
Et kvartersystem er en familie , der er den lokale base for rummet på et punkt for hver . $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$ $\mathfrak{B}(x)$ $x$ $x$ $x\i X$
En præbase er en familie af åbne delmængder af et topologisk rum , således at mængden af alle mængder, der er skæringspunktet mellem et endeligt antal elementer , danner basis for rummet . $Y$ $x$ $Y$ $x$
En lukket base er en familie af alle tilføjelser til elementer af en base.
$\pi$ -base ( gitterbase ) er en familie af ikke-tomme åbne delmængder af rum, således at ethvert ikke-tomt sæt åbent for indeholder et sæt af , dvs. Hausdorff tæt i rummet . Enhver base er en base. Det omvendte er ikke sandt, for eksempel i Stone-Cech-komprimeringen af sættet af naturlige tal, er familien af et-punkts delmængder af sættet en -base, men er ikke en base. ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ $x$ $\pi$ $\beta \mathbb{N}$ $\mathbb {N}$ $\pi$
En pseudobase er en familie af åbne delmængder, således at skæringspunktet mellem alle dets elementer, der indeholder et fast punkt, falder sammen med dette punkt. Findes kun i T 1 -mellemrum . Et eksempel på et rum med en tællig pseudobase, der ikke har en tællig base, er rummet af sekvenser af nuller og ener med en diskret topologi (pseudobase er et sæt bestående af alle sekvenser med en fast værdi på en eller anden position).

Definering af en topologi ved hjælp af et base-, prebase- og nabosystem

En familie af delmængder af et vilkårligt sæt er grundlaget for en eller anden topologi på, hvis og kun hvis den opfylder følgende betingelser: ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$ ${\mathfrak {B}}$

Hvert punkt tilhører et sæt fra familien . $x\i X$ $U$ ${\mathfrak {B}}$
For ethvert sæt og ethvert punkt eksisterer der et sæt sådan, at . $U,V\in {\mathfrak {B}}$ $x\in U\cap V$ $W\in {\mathfrak {B}}$ $x\in W\subset U\cap V$

I dette tilfælde er en base af topologien , hvor sætene er åbne, hvis og kun hvis de kan repræsenteres som en forening af nogle delmængder af . En sådan topologi kaldes topologien genereret af basen .

{\mathfrak {B}}

x

{\mathfrak {B}}

{\mathfrak {B}}

For at en familie af delmængder af et vilkårligt sæt skal være en præbase for en eller anden topologi på , er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at ovenstående betingelse 1 er opfyldt. Desuden er i denne topologi disse og kun de sæt åbne, der kan repræsenteres som en forening af endelige skæringspunkter af nogle delmængder fra . En sådan topologi kaldes den præbase-genererede topologi . Dette er den mindste topologi, der indeholder familien . ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$

Et sæt familier af delmængder af et vilkårligt sæt er et system af kvarterer af en eller anden topologi, hvis og kun hvis det opfylder følgende betingelser: $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$ $x$ $x$

For hver er familien ikke-tom og for evt . $x\i X$ $\mathfrak{B}(x)$ $x\i U$ $U\in {\mathfrak {B}}(x)$
For alle er der sådan, at . $y\in U\in {\mathfrak {B}}(x)$ $V\in {\mathfrak {B}}(y)$ $V\undersæt U$
For ethvert sæt findes der , sådan at . $V,W\in {\mathfrak {B}}(x)$ $U\in {\mathfrak {B}}(x)$ $U\undersæt V\cap W$

I dette tilfælde er et kvartersystem af topologien på , bestående af alle undergrupper, der kan repræsenteres som en forening af underfamilier af familien . En sådan topologi kaldes topologien genereret af nabosystemet .

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

x

\bigcup _{{x\in X}}{\mathfrak {B}}(x)

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

Eksempler

Grundlaget for ethvert topologisk rum er familien af alle dets åbne sæt.
En diskret topologi har som sin base familien af alle dens etpunktsundersæt .
Hvis og er topologiske rum med basis af topologier og , så er topologien på det kartesiske produkt givet af basen $x$ $Y$ $\mathfrak{B}_X$ $\mathfrak{B}_Y$ $X\ gange Y$

\mathfrak{B}_{X\ gange Y} = \{U\ gange V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}

I dette tilfælde vil topologien på ikke afhænge af, hvilke baser af mellemrummene X og Y der bruges til at definere den. En sådan topologi kaldes (standard) topologien af det kartesiske produkt af topologiske rum .

X\ gange Y

Topologien af rummet af reelle tal er givet af systemet af alle intervaller , som danner grundlaget for denne topologi. På samme måde er topologien af et rum givet af bunden af åbne søjler , og denne topologi falder naturligvis sammen med standardtopologien for det direkte produkt af rum. $\mathbb {R}$ $(a,b)$ ${\R}^n$ $(a_1,b_1)\ gange (a_2, b_2)\ gange\ prikker\ gange (a_n, b_n)$
En ordnet topologi er normalt defineret som en topologi genereret af et sæt af åbne intervalsæt.
En metrisk topologi er normalt defineret som en topologi genereret af et sæt åbne kugler givet af en bestemt metrisk .

Se også

Yesenin-Volpin teorem
Bindingsaksiom
Bunden af basen

Litteratur

Alexandrov PS, Kolmogorov AN Introduktion til den generelle teori om mængder og funktioner. - M.-L., 1948.
Uryson PS Proceedings om topologi og andre områder af matematik. - V. 1-2. - M.-L., 1951.
Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Introduktion til dimensionsteorien. Introduktion til teorien om topologiske rum og den generelle dimensionsteori. - M., 1973.
Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Grundlæggende om generel topologi i problemer og øvelser. - M., 1974.
Bourbaki N. Generel topologi. Grundlæggende strukturer / Pr. fra fransk - M., 1968.
Engelking, R. Generel topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
Kelly, J.L. Generel topologi. — M .: Nauka, 1968.