Paracompact rum

Et parakompakt rum er et topologisk rum , hvor ethvert åbent låg kan indskrives med et lokalt endeligt åbent låg.

Samtidig: en familie af mængder, der ligger i et topologisk rum , kaldes lokalt finite i, hvis hvert punkt har et kvarter i , der kun skærer et endeligt sæt af elementer i familien ; en familie af mængder er indskrevet i en familie af sæt , hvis hvert element i familien er indeholdt i et eller andet element af familien .) ${\mathcal {U}}$ $x$ $x$ $x\i X$ $x$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal V}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal V}$

Et paracompact rum kaldes et paracompact Hausdorff rum . Paracompactness er et af de indledende krav i manifold teori .

Hver Hausdorff paracompact plads er normal . Dette giver os mulighed for at konstruere skillevægge af enhed på parakompakte rum underlagt et vilkårligt givet åbent låg.

Egenskaber

I nærvær af parakompakthed syntetiseres nogle lokale egenskaber i rummet og implementeres globalt. I særdeleshed,
- hvis et parakompakt rum er lokalt metrizable, så er det metrizable ;
- hvis et Hausdorff-rum lokalt er Cech komplet og parakompakt, så er det Cech komplet .
Parakompakthed nedarves ikke af vilkårlige underrum, men hvert lukket underrum i et parakompakt rum er et parakompakt rum.
Produktet af to parakompakte rum er muligvis ikke et parakompakt rum.
I klassen af Hausdorff-rum
- Det omvendte billede af et parakompakt rum under en perfekt kortlægning er et parakompakt rum,
- Billedet af et parakompakt rum under en kontinuerlig lukket kortlægning er et parakompakt rum.
Paracompact-rum omfatter især Lindelöf-rum . For rummet af alle kontinuerte reelle funktioner på et vilkårligt Tikhonov-rum udstyret med topologien af punktvis konvergens, er parakompakthed ækvivalent med Lindolöf.
Hvis et Banach-rum i den svage topologi er topologisk genereret af et eller andet kompakt sæt, der ligger i det, så er det parakompakt.
Alle metriserbare rum er parakompakte (Stones sætning).
- Et parakompakt rum er metrizable, hvis og kun hvis det har en base af tællelig orden, det vil sige en base, en hvilken som helst faldende sekvens af elementer, som indeholder et hvilket som helst punkt , nødvendigvis danner en base på det punkt. $x\i X$
Alle compacta er parakompakte, men
- Men ikke alle lokalt kompakte Hausdorff-rum er parakompakte.

Relaterede definitioner

Et tælleligt parakompakt rum er et topologisk rum, hvor ethvert tælligt åbent låg kan indskrives med et lokalt endeligt åbent låg.

Et svagt parakompakt rum (metakompakt, punktvis parakompakt) er et topologisk rum, hvor ethvert åbent låg kan indskrives med et punktvist endeligt åbent låg.

Et stærkt parakompakt (hypokompakt) rum er et topologisk rum, hvor ethvert åbent låg kan indskrives med et stjerneendeligt åbent låg.

Et subparakompakt rum (F σ -sigtet) er et topologisk rum, hvori ethvert åbent dæksel kan indskrives med et lukket σ-lokalt endeligt dæksel

Litteratur

Engelking, R. Generel topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 s.