Symplektisk manifold
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den
version , der blev gennemgået den 19. september 2022; verifikation kræver
1 redigering .
En symplektisk manifold er en manifold med en symplektisk form defineret på den , det vil sige en lukket ikke- degenereret differentiel 2-form .
Det vigtigste eksempel på en symplektisk manifold er cotangensbundtet . Den symplektiske struktur gør det muligt at introducere Hamiltons mekanik på en naturlig geometrisk måde og giver en visuel fortolkning af mange af dens egenskaber: hvis er konfigurationsrummet for et mekanisk system, så svarer faserummet til det .
Definition
En differentiel 2-form kaldes en symplektisk struktur, hvis den er ikke-degenereret og lukket , dvs. dens eksterne afledte er lig med nul,
og for enhver ikke-nul tangentvektor er der en vektor sådan, at
En manifold med en symbolsk form angivet på kaldes en symplektisk manifold .
Noter
- Det følger af definitionen, at en symplektisk manifold har en jævn dimension.
- Hvis dimensionen er , svarer formlens ikke-degeneration til betingelsen .
Relaterede definitioner
- En diffeomorfisme af symplektiske manifolder kaldes en symplektomorfisme , hvis den bevarer den symplektiske struktur.
- Lad være en vilkårlig glat funktion på en symplektisk manifold. Den symbolske form forbinder funktionen med et vektorfelt defineret af følgende identitet:
- Denne definition er analog med definitionen af en gradient og kaldes nogle gange funktionens symplektiske gradient .
- Et felt , der kan opnås på denne måde, kaldes en Hamiltonian .
- Da formen er ikke-degenereret, er vektorfeltet entydigt defineret. I Darboux-koordinater tager dette kort formen
svarende
til Hamiltons ligninger , og kaldes
Hamiltonian (Hamilton-funktion).
Egenskaber
- Darboux' sætning : Alle symplektiske manifolder er lokalt symplektomorfe. I et kvarter til et hvilket som helst punkt i manifolden kan man således vælge koordinater, kaldet Darboux-koordinater , hvori den symbolske form har formen
I dette tilfælde vælges Darboux-grundlaget i tangentrummet for hvert punkt i det pågældende kvarter .
- Det Hamiltonske faseflow bevarer den symplektiske struktur (følger af Cartan-formlen):
Her er
Lie afledt med hensyn til vektorfeltet . Den Hamiltonske fasestrøm er således en symplektomorfisme.
Kontaktstruktur
Enhver symplektisk -dimensionel manifold er kanonisk forbundet med en - dimensional kontaktmanifold , kaldet dens kontaktisering . Omvendt eksisterer der for enhver -dimensionel kontaktmanifold dens symbolisering , som er en -dimensionel manifold.
Variationer og generaliseringer
En manifold kaldes multisymplektisk grad, hvis der er givet en lukket ikke-degenereret differentiel k -form på den .
Se også
Links
Litteratur
- Arnold VI Klassisk mekaniks matematiske metoder. - 5. udg., stereotypisk. - M. : Redaktionel URSS, 2003. - 416 s. - 1500 eksemplarer. — ISBN 5-354-00341-5 .
- Arnold V. I., Givental A. B. Symplektisk geometri. 2. udg. - Izhevsk: RHD, 2000. - 168s.
- Thirring V. Kursus i matematisk og teoretisk fysik. - K . : TIMPANI, 2004. - 1040 s.
- Fomenko A. T. Symplektisk geometri. Metoder og anvendelser. - M. : Red. Moscow State University, 1988. - 414s.