Græsmand

En Grassmann-manifold eller en Grassmann -manifold med en lineær dimension rum er en manifold bestående af dens -dimensionelle underrum. Benævnt eller eller . Især er mangfoldigheden af linjer i rummet , der falder sammen med det projektive rum . Opkaldt efter Hermann Grassmann . $V$ $n$ $s$ $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ $\mathbf {Gr} (p,n)$ $\mathbf {Gr} (p,V)$ $\mathbf {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n-1))$

Der er en naturlig projektiv parametrisering på Grassmannian (koordinaterne er defineret op til multiplikation med en konstant). De tilsvarende koordinater kaldes Plücker-koordinater . De definerer en investering . Algebraiske relationer på Plücker-koordinater, der definerer billedet af en indlejring i et projektivt rum, kaldes Plücker-relationer . ${\displaystyle \mathbf {Gr} (p,n)\subset \mathbf {P} ^{{n \choose p}-1))$

Bevis

Grassmannen kan udstyres med følgende atlas . $\mathbf {Gr} _{p}(V)$

Lade være et dimensionelt underrum af . Lad os introducere skalarproduktet i vektorrummet og betegne det med det ortogonale komplement . $\Pi \in \mathbf {Gr} _{p}(V)$ $s$ $V$ $V$ ${\displaystyle \Pi ^{\perp ))$ $\Pi$

Siden kan ethvert dimensionelt underrum tæt nok på identificeres med en lineær afbildning , hvis hver vektor er repræsenteret som en sum , hvor og , og put . $\Pi \oplus \Pi ^{\perp }=V$ $s$ $\Pi '$ $\Pi$ $A:\Pi \to \Pi ^{\perp }$ $a\in \Pi '$ $a=x+y$ $x\in \Pi$ $y\in \Pi ^{\perp }$ $A(x)=y$

Derefter kortlægges punktets nabolag en-til-en på en åben delmængde af rummet af lineære afbildninger . Det konstruerede atlas gør det til en analytisk mangfoldighed af dimensioner , hvor . $\Pi \in \mathbf {Gr} _{p}(V)$ ${\mathcal {L}}(\Pi ,\Pi ^{\perp })$ $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ $p(np)$ $n=\dim V$

For at vise, hvad der er en projektiv algebraisk varietet, skal man bruge Plücker-relationerne , som er homogene algebraiske ligninger af anden grad. $\mathbf {Gr} _{p}(V)$

Egenskaber

Grassmannian er en projektiv algebraisk variation af dimensioner , hvor . Derfor, hvis er et komplekst rum, så er Grassmannian en kompleks algebraisk variant. $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ $p(np)$ $n=\dim V$ $V=\mathbb {C} ^{n}$
Grassmann ordenskeglen er sættet af nedbrydelige elementer af ekstern grad , det vil sige -former, der kan repræsenteres som et produkt af 1-former. Projektiviseringen af Grassmann ordenskeglen falder sammen med . $s$ $\wedge ^{p}V$ $s$ $s$ $s$ $\mathbf {Gr} _{p}(V)$

På grund af den naturlige isomorfi af -former og -former falder de græsmannsmanifolder af orden og sammenfaldende sammen. $s$ $(np)$ $s$ $np$

Den ægte Grassmann kan repræsenteres som et homogent rum af en ortogonal gruppe .

\mathbf {Gr} (k,\mathbb {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\gange O(nk)\right)

På samme måde svarer det komplekse Grassmannian til enhedsgruppen .

\mathbf {Gr} (k,\mathbb {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\ gange U(nk)\right)

. Disse relationer betyder, at et lineært underrum af det euklidiske rum kan specificeres ved at vælge en ortonormal basis i det omgivende rum , hvis første vektorer danner basis i . En sådan parametrisering er ikke unik; forskellige valg af basis er mulige både i sig selv og i dets ortogonale komplement. Elimineringen af denne vilkårlighed svarer til at tage faktorgruppen .

W

\dim W

W

W

Celledeling

Grassmannian er et cellulært rum . Den tilsvarende celledeling kaldes Schubert-cellen . Den er bygget som følger. Vi vælger en basis i det omgivende rum . Til et givet k -dimensionelt underrum knytter vi et sæt tal ( Schubert-symbolet ) i henhold til reglen $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ $V$ ${\displaystyle s_{1,\dots ,k))$

s_{i}=\min\{p\in \{1,\dots ,n\}\vert \dim \left(V\cap \left\langle e_{1},\dots,e_{p }\right\rangle \right)=i\},\qquad i=1,\dots ,k

Her er underrummet spændt over af de første vektorer af basis. Mættet af alle underrum med givne værdier er homøomorfisk til en celle, hvis dimension er . For en kompleks Grassmannian er alle celler komplekse rum, så der er ikke-trivielle celler kun i lige dimensioner. Som en konsekvens heraf har homologien af det komplekse Grassmannian formen $\left\langle e_{1},\dots ,e_{p}\right\rangle$ $s$ ${\displaystyle s_{1,\dots ,k))$ $(s_{1}-1)+(s_{2}-2)+\dots +(s_{n}-n)$

H_{m}(\mathbf {Gr} (k,n))={\begin{cases}0,\;m=2l+1\\\mathbb {Z} ^{d(k,l) },\;m=2l\end{cases}}

Her er antallet af distinkte Schubert-symboler i den (komplekse) dimension . $d(k,n)$ $l$

Generaliseringer

Sorten af alle ortonormale k -rammer i kaldes Stiefel-varianten . Det har den naturlige struktur som et lokalt trivielt bundt, hvis fiber er den ortogonale gruppe : $\mathbb {R} ^{n}$ $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$

O(k)\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbf {Gr} _{k}(\mathbb {R} ^{n})

Især , .

V_{n-1}(\mathbb {R} ^{n})\simeq SO_{n},

V_{n}(\mathbb {R} ^{n})\simeq O_{n},

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra kursus. - 3. udg. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 eksemplarer. — ISBN 5-88688-060-7 . .

Zelikin M. I. Homogene rum og Riccati-ligningen i variationsregningen, - Facttorial, Moskva, 1998.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.