Metrisk tensor

Den metriske tensor , eller metrisk , er et symmetrisk tensorfelt af rang (0,2) på en glat manifold , ved hjælp af hvilken skalarproduktet af vektorer i tangentrummet er specificeret . Med andre ord definerer den metriske tensor en bilineær form på tangentrummet til dette punkt, som har egenskaberne af et indre produkt og jævnt afhænger af punktet.

Den metriske tensor giver dig mulighed for at definere længden af kurver, vinkler mellem kurver, volumen og andre begreber, der er iboende i det euklidiske rum. I det specielle tilfælde af en overflademetrik kaldes det også den første kvadratiske form .

I den generelle relativitetsteori betragtes metrikken som et fundamentalt fysisk felt (gravitation) på en firedimensionel mangfoldighed af fysisk rum-tid. Det er meget udbredt i andre konstruktioner af teoretisk fysik, især i bimetriske teorier om tyngdekraft på rum-tid, betragtes to metrikker på én gang.

Yderligere, i formlerne i denne artikel med gentagne indekser, antydes summering af Einsteins regel overalt , det vil sige over hvert gentagne indeks.

Quest metoder

Koordinat repræsentation

Den metriske tensor i lokale koordinater er normalt angivet som et kovariant tensorfelt . Gennem det bestemmes skalære produkter af koordinatvektorfelter : $x^{1},x^{2},\dots,x^{n}$ $g_{ij}\$ $\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i))}$

\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =g_{{ij}}.

Og for alle vektorfelter beregnes skalarproduktet af formlen

\left\langle v,w\right\rangle =g_{{ij}}v^{i}w^{j}

hvor er repræsentationen af vektorfelter i lokale koordinater. $v=v^{i}\partial _{i}\ ,w=w^{i}\partial _{i}$

Noter

Nogle gange er den metriske tensor specificeret på en dobbelt måde ved hjælp af den kontravariante tensor . $g^{ij}$

I tilfælde af ikke-degenererede metrikker

g^{{ij}}g_{{jk}}=\delta _{k}^{i},

hvor er Kronecker-symbolet . I dette tilfælde er begge metoder ækvivalente, og begge repræsentationer af metrikken er nyttige. $\delta _{k}^{i}$

For degenererede metrikker er det nogle gange mere bekvemt kun at bruge den kontravariante metrik. For eksempel kan en sub-riemannsk metrik defineres i form af tensoren , men tensoren er ikke defineret for den. $g^{ij}$ $g_{ij}$

Repræsentation inden for benchmarks

Nogle gange er det praktisk at angive den metriske tensor gennem det valgte (ikke nødvendigvis koordinat, som beskrevet ovenfor) felt af rammer , det vil sige ved at vælge referencefeltet og matrixen . $\{e_{i}(p)\}$ $g_{{ik}}(p)=\langle e_{i}(p),e_{k}(p)\rangle$

For eksempel kan den riemannske metriske tensor gives af et ortonormalt rammefelt [ 1] .

Induceret metrisk

Metrikken, som er induceret af en jævn indlejring af en manifold i det euklidiske rum , kan beregnes med formlen: $r$ $M$ $E$

g=J_{r}^{T}J_{r},

hvor betegner indlejringens Jacobi-matrix og er transponeret til den. Med andre ord er skalarprodukterne af basiskoordinatvektorerne for tangentrummet , som i dette tilfælde kan identificeres med , defineret som $J_{r}$ $r$ $J_{r}^{T}$ ${\frac {\partial }{\partial x_{i))}$ ${\frac {\partial r}{\partial x_{i))}$

g_{{ij))=g\venstre({\frac \partial {\partial x_{i))},{\frac \partial {\partial x_{j))}\right)=\left\langle {\ frac {\partial r}{\partial x_{i))},{\frac {\partial r}{\partial x_{j))}\right\rangle ,

hvor angiver prikproduktet i . $\langle *,*\rangle$ $E$

Mere generelt

Lad en manifold med en metrisk og en glat indlejring. Derefter metrikken på , defineret af ligheden $(N,h)$ $r:M\til N$ $g$ $M$

g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))

kaldes den inducerede metriske . Her angiver displaydifferentialet . _ $dr$ $r$

Typer af metriske tensorer

Sættet af metriske tensorer er opdelt i to klasser: $g$

ikke-degenererede eller pseudo-riemannske metrikker, når de er på alle punkter af manifolden. Blandt de ikke-degenererede metriske tensorer er der til gengæld: $\ \det(g_{{ij}})\neq 0$
- Riemannsk metrisk tensor (eller Riemannsk metrisk ), for hvilken den kvadratiske form er positiv bestemt. En manifold med en fornem Riemannsk metrisk tensor kaldes en Riemannmanifold , de har den naturlige struktur som et metrisk rum .
- Faktisk pseudo-riemannsk metrisk tensor (eller ubestemt metrisk ), når formen ikke er i bestemt fortegn. En manifold med en fornemt pseudo-riemannsk metrisk tensor kaldes (korrekt) pseudo-riemannsk .
  - Lorentz-metrikken tilhører denne klasse .
Degenererede metrikker nogensinde på nogle punkter. $\ \det(g_{{ij}})=0$ $\ \det(g^{{ij}})=0$
- En manifold, hvis metrik er degenereret på et hvilket som helst tidspunkt, siges at være isotropisk (såsom en lyskegle i Minkowski-rummet ). $M^{n}$
- Sub-Riemannske metrikker .

Den metriske tensor forstås normalt i matematik uden særlig angivelse af den riemannske metriske tensor; men hvis de i betragtning af en ikke-degenereret metrisk tensor vil understrege, at vi taler om en riemannsk, og ikke en pseudo-riemannsk metrisk tensor, så taler de om det som en ordentlig riemannsk metrisk tensor . I fysik forstås den metriske tensor normalt som Lorentz rum-tid metrikken.

Nogle gange forstås en pseudo-riemannsk tensor og en pseudo-riemannmanifold som det, der er defineret ovenfor som en egentlig pseudo-riemannsk metrisk og manifold, mens for førstnævnte kun udtrykket "ikke-degenereret metrisk" og følgelig "manifold med ikke -degenereret metrisk" bibeholdes.

Relaterede definitioner

En nullængdevektor i et rum med en pseudo-riemannsk metrik kaldes isotropisk (også nul eller lyslignende) og angiver en bestemt isotrop retning på manifolden; for eksempel bevæger lys i rum-tid kontinuum sig langs isotrope retninger.
En manifold med en fornemt riemannsk metrisk tensor kaldes en riemannmanifold .
En manifold med en fornemt pseudo-Riemannsk metrisk tensor kaldes en pseudo-Riemannsk manifold .
Metrikker på en manifold siges at være geodetisk ækvivalente , hvis deres geodetik (betragtet som ikke-parametriserede kurver) er de samme.

Egenskaber

Den Riemannske metriske tensor kan introduceres på enhver parakompakt glat manifold.
Den riemannske metriske tensor inducerer på manifolden den naturlige struktur af det metriske rum
En ubestemt metrik genererer ikke et metrisk rum. Men på dens basis, i hvert fald i nogle tilfælde, kan en topologi konstrueres på en særlig måde (se Aleksandrovs topologi ), som generelt set ikke falder sammen med mangfoldighedens naturlige topologi.

Metrisk og volumen

Determinanten af den metriske tensormatrix giver kvadratet på volumenet af parallelepipedummet udspændt af basisvektorerne. (I ortonormale baser er dette enhed). $|\det\{g_{{ij}}\}|$

Derfor spiller mængden en vigtig rolle i beregningen af volumener, såvel som ved integration over volumen. Især er det inkluderet i det generelle udtryk for Levi-Civita-tensoren , der bruges til at beregne det blandede produkt , krydsproduktet og deres højere dimensionelle modstykker. ${\sqrt {|\det\{g_{{ij}}\}|}}$ ${\sqrt {|\det\{g_{{ij}}\}|}}$

Integration over volumen inkluderer denne faktor, for eksempel, om nødvendigt, integrer nogle skalarer i koordinater (så resultatet er invariant):

S=\int s(x)\,d\Omega =\int s(x){\sqrt {|\det\{g_{{ij}}\}|}}\,dx^{1}\,dx ^{2}\,\ldots \,dx^{n},

hvor er et element af dimensionsvolumen, og er koordinatforskelle . $d\Omega$ $n$ $dx^{i}$

For submanifolds er volumenet (arealet) defineret som volumenet (arealet) i forhold til den inducerede metrik.

Eksempler

Metrisk tensor på det euklidiske plan:
- I rektangulær enhedsskala kartesiske koordinater er den metriske tensor konstant (afhænger ikke af koordinater) og er repræsenteret af identitetsmatrixen (dens komponenter er lig med Kronecker-symbolet ) $g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{{ij}}=\delta _{{ij}}$
- I rektangulære kartesiske koordinater af ikke-enhedsskala er den metriske tensor repræsenteret af en konstant (koordinat-uafhængig) diagonal matrix, hvis ikke-nul-komponenter bestemmes af skalaen langs hver akse (generelt er de ikke ens).
- I skrå kartesiske koordinater er den metriske tensor konstant (afhænger ikke af koordinaterne) og positiv bestemt, men ellers generelt repræsenteret af en vilkårlig symmetrisk matrix.
- I polære koordinater : $(r,\theta )$ $g={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\$
Metrisk tensor på kuglen. En (to-dimensionel) kugle med radius indlejret i det tredimensionale rum har en naturlig metrisk induceret af den euklidiske metrik i det omgivende rum. I standard sfæriske koordinater har metrikken formen: $R$ $(\theta ,\varphi )$ $g={\begin{bmatrix}R^{2}&0\\0&R^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$
Metrisk tensor for tredimensionelt euklidisk rum:
- I rektangulær enhedsskala kartesiske koordinater er den metriske tensor konstant (afhænger ikke af koordinater) og er repræsenteret af identitetsmatrixen (dens komponenter er lig med Kronecker-symbolet ) $g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{{ij}}=\delta _{{ij}}$
- I rektangulære kartesiske koordinater af ikke-enhedsskala er den metriske tensor repræsenteret af en konstant (koordinat-uafhængig) diagonal matrix, hvis ikke-nul-komponenter bestemmes af skalaen langs hver akse (generelt er de ikke ens).
- I skrå kartesiske koordinater er den metriske tensor konstant (afhænger ikke af koordinaterne) og positiv bestemt, men ellers generelt repræsenteret af en vilkårlig symmetrisk matrix.
- I sfæriske koordinater : : $(r,\theta,\phi)$ $g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$
Lorentz- metrik ( Minkowski-metrik ).
Schwarzschild-metrik

Isomorfi mellem tangent- og cotangente rum

Den metriske tensor etablerer en isomorfi mellem tangentrummet og det cotangensrum : lad være en vektor fra tangentrummet, så for den metriske tensor på , får vi det , dvs. den afbildning, der tager en anden vektor til et tal , er en element i det dobbelte rum af lineære funktionaler (1-former ) . Ikke-degenerationen af den metriske tensor (hvis eller hvor den er) gør denne kortlægning til en bijektion , og det faktum, at den selv er en tensor, gør denne kortlægning uafhængig af koordinater. $v\in T_{p}M$ $g$ $M$ $g(v,\cdot )$ $w\in T_{p}M$ $g(v,w)$ $T_{p}^{*}M$ $g$

For tensorfelter giver dette dig mulighed for at "hæve og sænke indekser" for ethvert tensorfelt (slangnavnet er "indeksjonglering"). I komponenter ser operationen med at hæve-sænke indekset sådan ud:

\ g_{{ij}}v^{j}=v_{i}

— sænke indekset for vektoren,

\ g^{{ij}}v_{j}=v^{i}

- hæve indekset for vektoren,

\ g^{{ij}}g_{{mn}}T_{{j\ \ \ pq}}^({\ nrs}}=T_({\ m\ \ pq}}^{{i\ \ rs} }

er et eksempel på samtidig indeksforhøjelse og indekssænkning for en stor valenstensor.

j

n

(Denne operation gælder selvfølgelig ikke for skalarer).

For tensorlignende objekter (som ikke er tensorer), såsom Christoffel-symboler , er transformationen af kontravariante komponenter til kovariante og tilbage som regel defineret på samme måde som for tensorer. Hvis det ønskes, kan jonglering også anvendes på Jacobi-matricer , kun i dette tilfælde er det nødvendigt at sikre, at metrikken for at hæve og sænke det første indeks vil naturligvis generelt set afvige fra metrikken for den samme operation med den anden en.

Se også

Noter

↑
Se f.eks.
- Cartan E. Zh. Riemannsk geometri i en ortogonal ramme. - M .: Moscow State Universitys forlag, [1926-1927] 1960
- Kartan E. Zh. Teorien om endelige kontinuerte grupper og differentialgeometri angivet ved den bevægelige ramme-metode. - M .: Moscow State Universitys forlag, [1930] 1963