Et krumlinjet integral er et integral beregnet langs en kurve .
Der skelnes mellem et krumlinjet integral af den første slags , hvor skalarfunktionen ganges med en uendelig lille længde af kurveområdet, og af den anden slags , hvor vektorfunktionen skalarisk ganges med en uendelig lille vektor, der ligger langs kurven, som er udstyret med en retning .
Lad være en jævn ( kontinuerlig differentierbar ) kurve uden entalspunkter og selvskæringer (et selvkryds er tilladt - tilfældet med en lukket kurve), givet parametrisk :
hvor r er radiusvektoren , hvis ende beskriver kurven, og parameteren t er rettet fra en begyndelsesværdi a til slutværdien b . For et integral af den anden slags bestemmer retningen, som parameteren bevæger sig i, selve kurvens retning.Det er lige meget, hvad der er større - b eller a . [en]
Integrerbar funktionLad en skalar- eller vektorfunktion gives, hvorfra integralet langs kurven hhv
Nedenfor, for at bestemme integral-summerne, bruges mellempunkter, partitionering og sektioner af kurven . Overvej to integral-summer :
Hvis n i integralet øges ubegrænset, så finheden har en tendens til nul, så får vi i grænsen et krumlinjet integral af funktionen ( ) langs kurven Hvis denne grænse virkelig eksisterer, så siger vi, at funktionen ( ) er kan integreres langs kurven . Så er integralerne af den første og anden slags:
hvor dr er differentialvektoren langs kurven. I tilfælde af et integral af den anden slags er kurvens retning vigtig: retningen af selve differentialet dr afhænger af dette .
Hvis kurven er lukket (begyndelsen falder sammen med slutningen), så er det i stedet for ikonet sædvanligt at skrive
Lade være en glat, retificerbar (af begrænset længde) kurve givet parametrisk (som i definitionen af ). Lad funktionen være defineret og integrerbar langs kurven, så i det generelle tilfælde
eller, hvis vi udvider modulet af differentialet d t ,
hvor prikken angiver den afledte med hensyn til t .
1. Linearitet:
2. Additivitet:
3.
Kommentar. For krumlinjede integraler af den anden art er monotoniegenskaben, modulestimatet og middelværdisætningen ikke gyldige.
Lad AB være en glat kurve givet parametrisk (som i definitionen af ) og udstyret med en retning fra A til B . Lad funktionen være defineret og integrerbar langs kurven Derefter
og når du ændrer gennemløbet af kurven:
Hvis vi betegner som en enhedsvektor, er tangenten til kurven , der har samme retning som selve kurven, parametriseret, så er forholdet mellem de kurvelineære integraler som følger:
Med hensyn til selve integralerne ser det sådan ud:
hvor er en glat, retificerbar kurve udstyret med en retning, og vektorfunktionen er integrerbar på den.
I tredimensionelt euklidisk rum udtrykkes differentialerne af koordinaterne for en vektor rettet langs en rettet kurve i form af retningscosinus ved hjælp af definitionen af et prikprodukt :
Ved at udvide det skalære produkt i koordinater kan forholdet mellem kurvelineære integraler udtrykkes som følger:
![]() | |
---|---|
I bibliografiske kataloger |
Integralregning | ||
---|---|---|
Hoved | ||
Generaliseringer af Riemann-integralet | ||
Integrale transformationer |
| |
Numerisk integration | ||
måle teori | ||
relaterede emner | ||
Lister over integraler |