Krumt integral

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. juli 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Et krumlinjet integral er et integral beregnet langs en kurve .

Der skelnes mellem et krumlinjet integral af den første slags , hvor skalarfunktionen ganges med en uendelig lille længde af kurveområdet, og af den anden slags , hvor vektorfunktionen skalarisk ganges med en uendelig lille vektor, der ligger langs kurven, som er udstyret med en retning .

Definition

Indledende betingelser

Kurve

Lad være en jævn ( kontinuerlig differentierbar ) kurve uden entalspunkter og selvskæringer (et selvkryds er tilladt - tilfældet med en lukket kurve), givet parametrisk : $l$

l\colon ~\mathbf {r} (t),

hvor r er radiusvektoren , hvis ende beskriver kurven, og parameteren t er rettet fra en begyndelsesværdi a til slutværdien b . For et integral af den anden slags bestemmer retningen, som parameteren bevæger sig i, selve kurvens retning.Det er lige meget, hvad der er større - b eller a . [en] $l.$

Integrerbar funktion

Lad en skalar- eller vektorfunktion gives, hvorfra integralet langs kurven hhv $l\colon$ $f(\mathbf {r} )$ $\mathbf {f} (\mathbf {r} ).$

Opdeling

Opdeling af segmentet for parametrisering

Lad en partition af et segment (eller ) være givet, det vil sige et sæt hvor: $[a,b]$ $[b,a]$ $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}=\{t_{0},~...,t_{n}\},$
- $a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b,$ hvis $a<b;$
- eller hvis $a={{t}_{0}}>\ldots >{{t}_{n}}=b,$ $a>b.$

Finheden af denne partition er et tal, der angiver den maksimalt mulige afstand mellem alle tilstødende værdier af denne partition. $\max _{k={\overline {1,n))}\{|t_{k}-t_{k-1}|\},$

Lad os introducere et sæt af mellemliggende partitionspunkter - punkter som hver ligger mellem og ( ). $\xi _{k},$ ${\displaystyle t_{k-1))$ $t_k$ $k=\overline {1,n}$

Bryde en kurve

Lad os definere en partition af kurven , der svarer til partitionen af parameteriseringssegmentet. $\{\mathbf {r} (t_{k})\}_{k=0}^{n},$ ${\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n))$

For betegner den del af kurven fra værdien af parameteren til værdien hvor ${\displaystyle l_{k))$ $\mathbf {r} (t)$ ${\displaystyle t=t_{k-1))$ $t=t_{k},$ $k={\overline {1,n)).$

Lad os definere et sæt mellemliggende punkter for opdeling af kurven - punkter, som hver ligger på ( ). $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ ${\displaystyle l_{k))$ $k=\overline {1,n}$

Integral summer

Nedenfor, for at bestemme integral-summerne, bruges mellempunkter, partitionering og sektioner af kurven . Overvej to integral-summer : $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ ${\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n))$ ${\displaystyle l_{k))$ $l.$

integralsummen for integralet af den første slags: $\sum \limits _{k=1}^{n}f{\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot |l_{k}|,$ hvor | lk | _ — snitlængde l k ;

integral sum for integralet af den anden slags: $\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot {\big (}\mathbf {r} (t_{k})-\mathbf {r} (t_{k-1}){\big )},$

hvor vektorfunktionen f er skalar ganget med tilvæksten r ( t k ) − r ( t k −1 ).

Kurvilineært integral

Hvis n i integralet øges ubegrænset, så finheden har en tendens til nul, så får vi i grænsen et krumlinjet integral af funktionen ( ) langs kurven Hvis denne grænse virkelig eksisterer, så siger vi, at funktionen ( ) er kan integreres langs kurven . Så er integralerne af den første og anden slags: $f$ $\mathbf {f}$ $l.$ $f$ $\mathbf {f}$ $l.$

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |},\quad \int _{l}\mathbf {f(r)\cdot dr} ,

hvor dr er differentialvektoren langs kurven. I tilfælde af et integral af den anden slags er kurvens retning vigtig: retningen af selve differentialet dr afhænger af dette .

Hvis kurven er lukket (begyndelsen falder sammen med slutningen), så er det i stedet for ikonet sædvanligt at skrive $l$ $\textstyle \int$ $\textstyle \oint .$

Kurvilineært integral af den første slags

Egenskaber

Linearitet: $\int _{l}(\alpha f(\mathbf {r} )+\beta g(\mathbf {r} ))\cdot \mathbf {|dr|} =\alpha \int _{l} f\mathbf {|dr|} +\beta \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
Additivitet: hvis og skærer hinanden på et tidspunkt, så $l_{1}$ $l_{2}$ $\int _{l_{1}\cup l_{2}}f\mathbf {|dr|} =\int _{l_{1}}f\mathbf {|dr|} +\int _{l_ {2}}f\mathbf {|dr|} .$
Monotonicitet: hvis på , så $f\leqslant g$ $l$ $\int _{l}f\mathbf {|dr|} \leqslant \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
Middelværdisætningen: hvis funktionen på er kontinuert , er det muligt for integralet at vælge et punkt således , at $f$ $l$ $\textstyle \int _{l}f\mathbf {|dr|}$ $\xi \in l,$ $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =\int _{l}f(\xi )\mathbf {|dr|} ,$ eller, som er det samme, $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =f(\xi )\cdot |l|.$
Ændring af retningen for at omgå integrationskurven påvirker ikke integralets fortegn: $\int _{AB}f\cdot |\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |{-}\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot | \mathbf {dr} |.$
Det krumlinede integral af den første slags afhænger ikke af kurvens parametrisering.

Beregning

Lade være en glat, retificerbar (af begrænset længde) kurve givet parametrisk (som i definitionen af ). Lad funktionen være defineret og integrerbar langs kurven, så i det generelle tilfælde $l$ $f(\mathbf {r} )$ $l.$

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|=\int _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|,

eller, hvis vi udvider modulet af differentialet d t ,

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}={\begin{cases}\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf { r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot { r}} (t)|(-dt),&{\text{if}}~a<b,\\\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot | \mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt)=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt,&{\text{if}}~a>b.\end{cases}}

hvor prikken angiver den afledte med hensyn til t .

Kurvilineært integral af anden slags

Egenskaber

1. Linearitet:

\int _{l}(\alpha \mathbf {f} +\beta \mathbf {g} )\cdot \mathbf {dr} =\alpha \int _{l}\mathbf {f\cdot dr} +\beta \int _{l}\mathbf {g\cdot dr} .

2. Additivitet:

\int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} +\int _{BC}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{ABC}\mathbf {f\cdot dr} .

3. $\int _{BA}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{AB}\mathbf {f} \cdot (-\mathbf {dr} )=-\int _{AB}\mathbf { f\cdot dr} .$

Kommentar. For krumlinjede integraler af den anden art er monotoniegenskaben, modulestimatet og middelværdisætningen ikke gyldige.

Beregning

Lad AB være en glat kurve givet parametrisk (som i definitionen af ) og udstyret med en retning fra A til B . Lad funktionen være defineret og integrerbar langs kurven Derefter $\mathbf {f}$ $l.$

\int _{AB}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r))} (t )dt,

og når du ændrer gennemløbet af kurven:

\int _{BA}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{b}^{a}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r))} (t )dt=-\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r))} (t)dt.

Forholdet mellem krumlinede integraler

Hvis vi betegner som en enhedsvektor, er tangenten til kurven , der har samme retning som selve kurven, parametriseret, så er forholdet mellem de kurvelineære integraler som følger: ${{\vec {\tau}}}$ $l,$

\mathbf {\color {Grøn}dr} ={\vec {\tau }}\mathbf {\color {Grøn}|dr|} .

Med hensyn til selve integralerne ser det sådan ud:

\int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Grøn}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Grøn} |dr|} ,

hvor er en glat, retificerbar kurve udstyret med en retning, og vektorfunktionen er integrerbar på den. $l$ $\mathbf {f}$

Tredimensionelt euklidisk rum

I tredimensionelt euklidisk rum udtrykkes differentialerne af koordinaterne for en vektor rettet langs en rettet kurve i form af retningscosinus ved hjælp af definitionen af et prikprodukt :

dx=\cos \angle ({\vec {i)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

dy=\cos \angle ({\vec {j)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

dz=\cos \angle ({\vec {k)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |.

Ved at udvide det skalære produkt i koordinater kan forholdet mellem kurvelineære integraler udtrykkes som følger: $\textstyle \int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Grøn}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color { Grøn}|dr|}$