Vector feltcirkulation

Cirkulationen af et vektorfelt langs en given lukket kontur Γ er et krumlinjet integral af den anden art, overtaget Γ . Per definition

C=\oint \limits _{\Gamma }{\mathbf {F} d\mathbf {l} }=\oint \limits _{\Gamma }{(F_{x}dx+F_{y}dy +F_{z}dz)},

hvor er et vektorfelt (eller vektorfunktion) defineret i et eller andet domæne D, der indeholder konturen Γ , er en uendelig lille stigning af radiusvektoren langs konturen. Cirklen på integralsymbolet understreger det faktum, at integrationen udføres langs en lukket kontur. Ovenstående definition er gyldig for det tredimensionelle tilfælde, men ligesom hovedegenskaberne nedenfor kan den generaliseres direkte til en vilkårlig rumdimension. ${\mathbf {F}}=\{F_{{x}},F_{{y}},F_{{z}}\}$ $d{\mathbf {l}}=\{dx,dy,dz\}$ ${\mathbf {l}}$

Oplagsegenskaber

Additivitet

Cirkulationen langs konturen, der afgrænser flere tilstødende overflader, er lig med summen af cirkulationerne langs konturerne, der afgrænser hver overflade separat, dvs.

C=\sum \limits _{{i}}{C_{{i}}}.

Stokes formel

Cirkulationen af vektoren F langs en vilkårlig kontur Г er lig med vektorstrømmen gennem en vilkårlig overflade S , afgrænset af denne kontur. $\operatørnavn {rot}{\mathbf {F}}$

\oint \limits _{{\Gamma }}{{\mathbf {F}}d{\mathbf {l}}=\iint \limits _{{S}}{\operatørnavn {rot}}}{\mathbf { F}}\cdot {\mathbf {n}}dS,

hvor er rotoren (hvirvelen) af vektoren F . $\operatørnavn {rot}{\mathbf {F}}=[\nabla ,{\mathbf {F}}]=\venstre|{\begin{matrix}{\mathbf {e}}_{{x}}&{ \mathbf {e}}_{{y}}&{\mathbf {e}}_{{z}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{ \partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{{x}}&F_{{y}}&F_{{z}}\\\end{matrix}}\right|$

Hvis konturen er flad, for eksempel ligger i OXY-planet, er Greens sætning gyldig

\oint \limits _{\Gamma }{(F_{x}dx+F_{y}dy)}=\iint \limits _{\Gamma ^{\circ }}{\left({\frac { \partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)dxdy},

hvor er planet afgrænset af konturen (konturens indre). $\Gamma ^{\circ }$ $\Gamma$

Fysisk fortolkning

Hvis F er et kraftfelt , så er cirkulationen af dette felt langs en eller anden vilkårlig kontur Γ dette felts arbejde , når punktet bevæger sig langs konturen Г. Herfra følger feltpotentialitetskriteriet direkte : Feltet er potentielt, når dets cirkulation langs en vilkårlig lukket kontur er nul. Eller, som det følger af Stokes-formlen, på et hvilket som helst punkt i området D er rotoren i dette felt nul.

\forall \Gamma \subset D:\oint \limits _({\Gamma }}{{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})d{\mathbf {l}}}=0\Leftrightarrow \ forall {\mathbf {r}}\in D:\operatørnavn {rot}{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})={\mathbf {0}}.

Historisk baggrund

Udtrykket "cirkulation" blev oprindeligt introduceret i hydrodynamik for at beregne bevægelsen af en væske gennem en lukket kanal. Overvej strømmen af en ideel inkompressibel væske. Vi vælger en vilkårlig kontur Γ . Forestil dig mentalt, at vi (øjeblikkeligt) frøs al væsken i volumenet, med undtagelse af en tynd kanal med konstant tværsnit, som inkluderer konturen Γ . Derefter vil den, afhængigt af den oprindelige karakter af væskestrømmen, enten være stationær i kanalen eller bevæge sig langs konturen (cirkulere). Som karakteristika for en sådan bevægelse tages en værdi lig med produktet af væskens gennemsnitlige hastighed gennem kanalen og længden af konturen l : $u$

C=ul

da det er hastigheden , der til sidst vil blive etableret i dette tilfælde overalt i kanalen, og cirkulationsværdien C vil give et (generaliseret) momentum for en væske med enhedsdensitet, konjugeret til en (generaliseret) koordinat, der karakteriserer væskens position som helhed i kanalen, svarende, noget forenklet, til positionen af et enkelt "støvkorn" i en væske, målt ved en lineal, der buer langs en kanal. $u$

Da hastighedskomponenten vinkelret på konturen under størkningen af kanalvæggene vil blive slukket (vi forestiller os, at dette sker før tangentialhastigheden i kanalen bliver den samme overalt på grund af væskens inkompressibilitet), vil væsken bevæge sig langs kanalen umiddelbart efter størkning med den tangentielle komponent af starthastigheden . Så kan cirkulationen repræsenteres som $v_{{\tau}}$

C=\oint \limits _{{\Gamma }}{v_{{\tau }}dl}=\oint \limits _{{\Gamma }}{{\mathbf {v}}d{\mathbf {l} }},

hvor dl er konturlængdeelementet.

Senere blev begrebet "cirkulation" udvidet til alle vektorfelter, selv dem, hvori der bogstaveligt talt ikke er noget at "cirkulere".

Litteratur

Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. T.3. M.: "Nauka", 1960.
Savelyev IV Kursus i generel fysik . T2. M.: Astrel • AST, 2004.