Newtonsk potentiale

Et Newtonsk potentiale er en funktion givet i og defineret som en foldning af en generaliseret funktion , kaldet tæthed i potentialteori , med funktionen | x | −1 : $\mathbb {R} ^{3}$

V={\frac {1}{|x|}}*\rho .

Potentialet V opfylder Poisson-ligningen : Δ V = −4πρ.

Massepotentiale

Hvis ρ er en integrerbar funktion på et eller andet domæne G og ρ( x ) = 0, , så kan det newtonske potentiale, kaldet volumenpotentialet , udtrykkes i integralet $x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G))$

V(x)=\iiiint \limits _{G}{\frac {\rho (y)}{|xy|}}dy

Følgende kan siges om potentialets glathed. Hvis ρ ∈ C ( G ), så V ( x ) ∈ C 1 (ℝ 3 ) og Δ V ( x ) = 0 for x ∈ . $\mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G}}$

Simpelt lagpotentiale

I stedet for domænet G betragter vi nu en afgrænset stykkevis glat overflade med normalen n , hvor μ er en kontinuert funktion på S . Det newtonske potentiale af et simpelt lag kaldes foldning

V^{(0)}={\frac {1}{|x|}}*\mu \delta _{S}

eller i integreret form:

V^{(0)}(x)=\iint \limits _{S}{\frac {\mu (y)}{|xy|}}dS_{y},

Potentialet for et simpelt lag er harmonisk uden for området S , er kontinuerligt overalt i ℝ 3 , og har en tendens til nul ved et uendeligt punkt. Derudover, hvis S er en Lyapunov-overflade , observeres en diskontinuitet af den normale afledte af det simple lagpotentiale på den:

{\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{+}=-2\pi \mu (S)+{\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{S},

{\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{-}=2\pi \mu (S)+{\frac { \partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{S},

hvor indekserne "+" og "-" angiver henholdsvis den ydre og den indre afledte på S .

I tilfælde af en konstant tæthed μ og en Lyapunov overflade er potentialet for et simpelt lag:

V^{(0)}(x)={\begin{cases}4\pi \mu {\frac {R^{2}}{|x|}},\ |x|\geqslant R, \\4\pi \mu R,\ |x|<R.\end{cases}}

Dobbeltlagspotentiale

Fuldstændig analogt med potentialet for et simpelt lag, introduceres det newtonske potentiale for et dobbeltlag :

V^{(1)}(x)=-{\frac {1}{|x|}}*{\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\iint \limits _{S}\nu (y){\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} _{y))}{\frac {1}{|xy| }}dS_{y}=\iint \limits _{S}\mu {\frac {\cos \varphi }{|xy|^{2}}}dS_{y},

hvor φ er vinklen mellem normalen til overfladen S i punktet y og radiusvektoren rettet fra punktet x til punktet y .

Dobbeltlagspotentialet er kontinuert i lukningen af området afgrænset af overfladen S , kontinuert uden for dette område og kontinuert på selve overfladen S , hvis det er en Lyapunov-overflade , men når det passerer gennem overfladen S , gennemgår det en diskontinuitet :

V_{+}^{(1)}(S)=2\pi \nu (S)+V^{(1)}(S),

V_{-}^{(1)}(S)=-2\pi \nu (S)+V^{(1)}(S).

Ved uendelig er potentialet for det dobbelte lag tilbøjeligt til nul.

I tilfælde af en konstant tæthed ν og en Lyapunov overflade er potentialet for dobbeltlaget:

V^{(1)}(x)={\begin{cases}0,\ x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G)),\\-2\ pi \nu ,\ x\i S,\\-4\pi \nu ,\ x\i G.\end{cases}}

Den fysiske betydning af Newtonske potentialer

Da potentialet V opfylder Poisson-ligningen , kan det skabes af masser eller ladninger fordelt i rummet med tæthed ρ. Især en kontinuerlig fordeling af masser eller ladninger skaber et volumenpotentiale; hvis masserne eller ladningerne er koncentreret på overfladen, så skaber de potentialet for et simpelt lag; hvis dipoler er koncentreret på overfladen , så er dette potentialet for dobbeltlaget.

Se også

Litteratur

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matematisk fysiks ligninger. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .

Links

[bse.sci-lib.com/article091961.html Potentiale i den store sovjetiske encyklopædi]