Zorns lemma

Zorn-lemmaet (nogle gange Kuratowski-Zorn-lemmaet ) er et af de udsagn, der svarer til valgaksiomet , sammen med Zermelo-sætningen (det velordnende princip) og Hausdorff-maksimumsprincippet (som faktisk er en alternativ formulering af Zorn-lemmaet).

Det bærer navnet på den tyske matematiker Max Zorn , er ofte også nævnt under navnet på den polske matematiker Kazimir Kuratowski , som formulerede et lignende udsagn tidligere .

Udsagn : Et delvist ordnet sæt , hvor enhver kæde har en øvre grænse, indeholder et maksimumelement . Der er en række ækvivalente alternative formuleringer af .

Historie

Udsagn, der ligner og svarer til Zorns lemma, blev foreslået af matematikere meget tidligere end Zorn. Så i 1904 beviste Ernst Zermelo et teorem, ifølge hvilket hvert sæt kan ordnes godt . For at bevise det påberåbte han sig "et indiskutabelt logisk princip", som han kaldte valgaksiomet . Hausdorffs maksimumprincip , formuleret og bevist af ham i 1914 , er en alternativ og tidligere formulering af Zorns lemma.

I 1922 beviste Kuratovsky lemmaet i en formulering tæt på den moderne (for en familie af sæt ordnet efter inklusion og lukket under foreningen af velordnede kæder). Praktisk talt den samme påstand (i en svagere formulering, ikke for helt ordnede kæder, men for vilkårlige) blev uafhængigt formuleret af Zorn i 1935 i artiklen "On a Method from Transfinite Algebra". Zorn kaldte det selv for " maksimumsprincippet ", og foreslog at inkludere det i mængdeteoriens aksiomer og bruge det til at bevise forskellige feltteoremers teoremer i stedet for Zermelos velordnede princip.

Navnet "Zorns lemma" blev først introduceret af John Tukey i 1940 .

Formuleringer

Der er flere alternative formuleringer af Zorns lemma.

Grundlæggende formulering:

Hvis der i et delvist ordnet sæt for en lineært ordnet delmængde er en øvre grænse, så er der et maksimumelement i. $M$ $M$

Det er værd at forstå, hvad der præcist menes med denne formulering. Betingelsen for eksistensen af en øvre grænse for hver lineært ordnet delmængde kræver ikke, at denne grænse nødvendigvis ligger i selve delmængden. Det kræver kun, at den øvre grænse er indeholdt i hele sættet . Det maksimale element her forstås på den måde, at det ikke er mindre end alle dem, det er sammenligneligt med. Det behøver ikke at være større end eller lig med noget element. For eksempel vil et element, der ikke kan sammenlignes med ethvert andet element i sættet , være maksimum. $M$ $M$

Hovedformuleringen af Zorns lemma kan styrkes.

Forbedret formulering:

Hvis der i et delvist ordnet sæt for en lineært ordnet delmængde er en øvre grænse, så er der for hvert element et maksimalt element i mængden, der er større end eller lig med elementet . $M$ $a\in M$ $M$ $-en$

Grundformuleringen hævder eksistensen af et element, som for hvert enkelt element enten er større end eller lig med eller uforlignelig med det. Den styrkede formulering hævder eksistensen for hvert af et sådant element, at det er større end eller lig med , og på samme tid for alle andre elementer er det enten større end eller lig med eller uforlignelig. Det vil sige, at for hvert enkelt element kan du vælge maksimum, så det bliver større end eller lig med det. Dette maksimale element kan være forskelligt afhængigt af det bestemte element . $a\in M$ $-en$ $a\in M$ $-en$ $-en$

I det originale papir fra 1935 formulerede Zorn en erklæring for sæt delvist ordnet efter inklusion.

Erklæring for en familie af sæt:

Hvis en familie af sæt har den egenskab, at foreningen af enhver kæde af sæt fra igen er en mængde fra denne familie, så indeholder den et maksimalt sæt. $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

Denne formulering følger naturligvis af den vigtigste. På samme tid, som det kan ses, selv for familier af sæt, er det svagere end det vigtigste, da det kræver tilstedeværelsen i familien af blot foreningen af sæt, og ikke et vilkårligt supersæt.

På trods af at nogle af formuleringerne er stærkere og nogle er svagere, er alle 3 formuleringer af Zorns lemma ækvivalente i Zermelo-Fraenkel-systemet af aksiomer . Beviset for dette er i artiklen Statements, der svarer til Axiom of Choice .

Ansøgninger

I mange problemer er Zorn-lemmaet den mest bekvemme af alle formuleringer svarende til det valgte aksiom; det bruges især i beviset for følgende teoremer:

Hahn-Banach-sætningen om forlængelse af en lineær funktional;
teorem om eksistensen af Hamel-grundlaget i et vilkårligt lineært rum ;
Tikhonovs sætning ;
en teorem om eksistensen af en algebraisk lukning af et vilkårligt felt ;
teorem om eksistensen af et maksimalt ideal i en ring med enhed .

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion til mængdeteori og generel topologi. — M .: Nauka, 1977. — 368 s.
Yosida K. Funktionel analyse. - M . : Mir, 1967. - kap. IV, V, 616 s.
Kolmogorov AN, Fomin SV Elementer i funktionsteorien og funktionel analyse. - 7. udg. - M. : Fizmatlit, 2004. - 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Kurosh A. G. Forelæsninger om generel algebra. - 2. udg. - M. : Nauka, 1973. - 400 s.
Hausdorff F. Sæteori. - 4. udg. - M. : URSS, 2007. - 304 s. - ISBN 978-5-382-00127-2 .