Cauchy funktionel ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. januar 2014; checks kræver 20 redigeringer .

Den funktionelle Cauchy-ligning for en funktion har formen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

f(x+y)=f(x)+f(y)

En funktion, der opfylder denne ligning, kaldes additiv . Dette udtryk gælder for vilkårlige funktioner, ikke kun rigtige.

Cauchy-ligningen er en af de ældste og enkleste funktionelle ligninger , men løsningen i reelle tal er ret kompliceret. I rationelle tal kan det bevises ved hjælp af elementær matematik , at der er en unik familie af løsninger af formen , hvor c er en vilkårlig konstant. Denne familie af løsninger er også en af løsningerne på sættet af reelle tal. Yderligere begrænsninger pålagt , kan udelukke muligheden for, at der findes andre løsninger. For eksempel er lineære funktioner de eneste mulige løsninger, hvis: $f(x)=cx$ $f$ $f(x)=cx$

$f$ er kontinuerlig (bevist af Cauchy i 1821 ). Denne betingelse blev lempet i 1875 af Darboux , som viste, at kontinuiteten af en funktion kun er nødvendig på et tidspunkt.
$f$ er monoton på et eller andet interval.
$f$ afgrænset ovenfra eller nedefra på et eller andet interval (specielt tilfælde: bevarer tegn på et eller andet interval). $f$
for nogle interval af argumentværdier er der et ikke-nul-interval af værdier, som funktionen ikke tager på dette interval (en mere generel version af det tidligere tilfælde). $f$
$f$ integrerbar (især ifølge Lebesgue ) på et eller andet interval.
$f$ kan måles over et vist interval.

På den anden side, hvis der ikke er yderligere begrænsninger på , så er der uendeligt mange andre funktioner, der opfylder ligningen (se artiklen " Hamels grundlag "). Dette blev bevist i 1905 af Georg Hamel ved hjælp af Hamel-grundlaget og dermed aksiomet for valg . En generalisering af Hilberts tredje problem til tilfældet med multidimensionelle rum bruger denne ligning. $f$

Andre former for den funktionelle Cauchy-ligning

Følgende funktionelle ligninger svarer til den additive Cauchy-ligning : $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$

logaritmisk Cauchy-ligning (en af løsningsfamilierne har formen ). $f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ $f\left(x\right)=c\ln \left|x\right|=\log _{a}\left|x\right|$
potens Cauchy-ligning (en af løsningsfamilierne har formen ). $f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ ${\displaystyle f\left(x\right)=\left|x\right|^{a))$
eksponentiel Cauchy-ligning (en af løsningsfamilierne har formen ). $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ ${\displaystyle f\left(x\right)=\exp \left(cx\right)=a^{x))$

Den degenererede løsning af disse ligninger er funktionen . $f\left(x\right)=0$

Løsning i rationelle tal

Lad os bevise, at rationelle tal kan tages ud af funktionstegnet. Lad os tage : $n\in \mathbb {N}$

f(nx)=f(x+x+\cdots +x)=f(x)+f(x)+\cdots +f(x)=nf(x)

f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {nf(x/n)}{n}}={\frac {f(x)}{n}}

Lad os nu sætte og : $x=y=0$ $y=-x$

f(0)=f(0)+f(0)\Højrepil f(0)=0

f(0)=f(x)+f(-x)\Højrepil f(-x)=-f(x)

Når vi sætter det hele sammen får vi:

\forall a\in \mathbb {Q} ,x\in \mathbb {R} :f(ax)=af(x)

Indstilling og betegnelse har vi en unik familie af løsninger over . $x=1$ $c=f\left(1\right)$ $f(x)=cx$ $\mathbb {Q}$

Eksistens af ikke-lineære løsninger

Beviset for eksistensen af ikke-lineære løsninger er ikke- konstruktivt og bygger på valgaksiomet . Med dens hjælp bevises eksistensen af Hamel-grundlaget i ethvert vektorrum , inklusive uendelig-dimensionelle.

Betragt som et vektorrum over feltet : det har en Hamel-basis. Lad os tage koefficienten foran en eller anden basisvektor i udvidelsen af tallet i henhold til basis - dette vil være værdien . Den resulterende funktion tager rationelle værdier (som en koefficient i ekspansionen over ) og er ikke identisk lig med nul ( ), og kan derfor ikke være lineær. Det er let at forstå, at det er additivt, det vil sige, at det opfylder Cauchy-ligningen. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\alfa$ $x$ $f(x)$ $\mathbb {Q}$ $f(\alpha )=1$

I det generelle tilfælde, lad være Hamel-grundlaget for sættet af reelle tal over feltet af rationelle tal . Så for hver real er der en udvidelse i Hamel-grundlaget (hvor ), og en sådan udvidelse er unik op til rækkefølgen af ekspansionsvilkår og -vilkår med nulfaktorer. For en additiv funktion skal betingelsen være opfyldt , hvor der er faste reelle tal (rationelle faktorer kan tages ud af additivfunktionens fortegn, se forrige afsnit). Det er indlysende, at funktionen givet af denne relation opfylder den additive Cauchy-ligning for ethvert valg af hjælpenumre . Men kun når , hvor er et vilkårligt reelt tal, viser den pågældende funktion sig at være en lineær funktion af . $\{r_{\alpha }\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $x$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\in {\mathbb {Q}}$ $f(x)$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ $f_{\alpha _{n))$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\equiv c\cdot r_{\alpha _{n}}$ $c$

Egenskaber for ikke-lineære løsninger

Nu vil vi bevise, at enhver ikke-lineær løsning skal være en ret usædvanlig funktion - dens graf skal være tæt overalt i . Det betyder, at enhver vilkårlig lille cirkel på planet indeholder mindst ét punkt i denne graf. Andre egenskaber kan let udledes af dette, såsom diskontinuitet på ethvert tidspunkt, nonmonotonicitet og ubegrænsethed i ethvert interval. $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$

Vi kan ved at dividere funktionen med , antage at . (Hvis , så , og ræsonnementet nedenfor forbliver gyldigt med minimale ændringer, forudsat at der er et punkt for hvilket .) Hvis funktionen ikke er lineær, så for nogle : vi sætter . Lad os nu vise, hvordan man finder et grafpunkt i en vilkårlig cirkel centreret i et radiuspunkt , hvor . Det er klart, at dette er tilstrækkeligt til grafens tæthed overalt i . $c=f(1)$ $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=a$ $f(1)=0$ $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=0$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $f(\alpha )\neq 0$ $f(x)$ $f(\alpha )\neq \alpha$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0$ $(x,y)$ $r$ $x,y,r\in \mathbb {Q} ,r>0,x\neq y$ $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$

Lad os indstille og vælge et rationelt tal tæt på , således at: $\beta ={\frac {yx}{\delta ))$ $b\neq 0$ $\beta$

\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{3\left|\delta \right|}}

Vælg derefter et rationelt tal tæt på , så: $-en$ $\alfa$

\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{3\left|b\right|}}

Lad os nu tage og ved hjælp af den funktionelle ligning får vi: $X=x+b(\alpha -a)$

Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))

=x+bf(\alpha )-bf(a)

=y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)

=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba

=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)

Men altså, det vil sige, at punktet var inde i cirklen. $(Yy)^{2}+(Xx)^{2}=(b(\alpha -a)-\delta (\beta -b))^{2}+(b(\alpha -a) )^{2}\leqslant \left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3 }}\right)^{2}<r^{2}$ $(X,Y)$

Det kan også vises [1] , at når en additiv funktion ikke er lineær, vil den være diskontinuerlig på et hvilket som helst punkt på den reelle akse og heller ikke bevare fortegn, er ikke afgrænset over eller under, er ikke monotonisk , er ikke integrerbar , og er ikke målbar på et hvilket som helst vilkårligt lille interval, udfylder, i overensstemmelse med udsagnet om tætheden af grafen vist ovenfor, overalt på planet , på et hvilket som helst vilkårligt lille interval, og fylder hele den reelle akse tæt med dens værdier . $f(x)$ $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\left(-\infty ,+\infty \right)$

Noter

↑ Rutgers University . Hentet 3. november 2019. Arkiveret fra originalen 3. november 2019. (ubestemt)

Litteratur

N.K. Vereshchagin, A. Shen. Begyndelsen af mængdeteori . — S. 82. — (Forelæsninger om matematisk logik og algoritmer).
Løsning af Cauchy funktionelle ligning - Rutgers University