Indikator (matematik)

En indikator eller karakteristisk funktion eller en indikatorfunktion eller en delmængdemedlemskabsfunktion er en funktion defineret på et sæt , der angiver, om et element tilhører en delmængde . $A\subseteq X$ $x$ $x\i X$ $EN$

Da udtrykket " karakteristisk funktion " allerede bruges i sandsynlighedsteori , bruges udtrykket " indikatorfunktion " oftest i forbindelse med sandsynlighedsteori, for andre områder bruges udtrykket " karakteristisk funktion " oftere.

Til den analytiske repræsentation af indikatorfunktionen bruges Heaviside- funktionen ofte .

Definition

Lad være en valgt delmængde af et vilkårligt sæt . Funktionen defineret som følger: $A\subseteq X$ $x$ ${\mathbf {1}}_{A}:X\to \{0,1\}$

{\mathbf {1}}_{A}(x)=\venstre\{{\begin{matrix}1,&x\in A,\\0,&x\notin A,\end{matrix}}\right.

kaldes en indstillet indikator . $EN$

Alternative sætindikatornotationer er: eller , og nogle gange endda og Iverson-parentesen . $EN$ $\chi _{A}$ ${\mathbf {I}}_{A}$ $Økse)$ $[x\in A]$

( Det græske bogstav kommer fra begyndelsesbogstavet i den græske stavemåde af ordet karakteristisk .) $\chi$

Advarsel . Notationen kan betyde en identitetsfunktion . $\mathbf {1} _{A}$

Grundlæggende egenskaber

En kortlægning, der forbinder en delmængde med dens indikator injektivt . Hvis og er to delmængder af , så $A\subseteq X$ $\mathbf {1} _{A}$ $EN$ $B$ $X\$

{\mathbf {1}}_{{A\cap B}}=\min\{{\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}\}={\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\cup B}}=\max\{({\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}}\}={ \mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-{\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\triangle B}}={\mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-2({\mathbf {1}} _{{A\cap B}}),

{\mathbf {1}}_{{A^{c}}}=1-{\mathbf {1}}_{A}.

Mere generelt, antag er et sæt af delmængder af . Det er klart, at for evt $A_{1},\ldots ,A_{n}$ $x$ $x\i X$

\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}}(x))

er produktet af nuller og ettaller. Dette produkt tager værdien 1 nøjagtigt for dem , der ikke tilhører noget sæt og 0 ellers. Derfor $x\i X$ $A_k$

\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}})={\mathbf {1}}_{{X-\bigcup _{{k }}A_{k}}}=1-{\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}.

Udvider venstre side, får vi

{\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}=1-\sum _{{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}}( -1)^{{|F|}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}}=\sum _{{\emptyset \neq F\subseteq \{1, 2,\ldots ,n\}}}(-1)^{{|F|+1}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}},

hvor er magten . Dette er en form for inklusion-eksklusion- princippet . Dette eksempel indikerer, at indikatoren er en nyttig notation i kombinatorik , som også bruges på andre områder, for eksempel i sandsynlighedsteori : hvis er et sandsynlighedsrum med et sandsynlighedsmål , og er et målbart sæt , så bliver indikatoren en tilfældig variabel, hvis matematiske forventning er lig med sandsynligheden $|F|$ $F$ $x$ ${\mathbf {P}}$ $EN$ $\mathbf {1} _{A}$ $EN:$

E({\mathbf {1}}_{A})=\int \limits _{{X}}{\mathbf {1}}_{A}(x)\,d{\mathbf {P}}= \int \limits _{{A}}d{\mathbf {P}}={\mathbf {P}}(A).\quad

Denne identitet bruges i simple beviser for Markovs ulighed .

Bibliografi

Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications , 2. udgave, John Wiley & Sons , Inc., 1999.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest og Clifford Stein. Introduktion til algoritmer , anden udgave. MIT Press og McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7 . Afsnit 5.2: Indikator stokastiske variable, s. 94-99.

Indikator (matematik)

Definition

Grundlæggende egenskaber

Bibliografi

Se også